数学-课堂探究：数系的扩充和复数的概念（第课时）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一复数的概念1．虚数单位的性质i2＝－1，1·i＝i，0·i＝0.2．复数的实部与虚部的确定方法首先将所给的复数化简为复数的代数形式,然后根据实部与虚部的概念确定实部与虚部．3．数集从实数集扩充到复数集后，一些运算结论不一定成立．【典型例题1】（1)下列说法错误的有__________．（填序号)①若z∈C时，z2≥0；②若a∈R,则(a＋1)i是纯虚数；③若a＞b，则a＋i＞b＋i。（2)给出以下命题：①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②形如a＋bi的数一定是虚数；③两个复数不能比较大小；④若a∈C，则（a＋3)i是纯虚数．其中正确命题的个数是________．思路分析:按照复数、实数、纯虚数的概念进行分析与判断．解析:（1)①错误,若z＝i，则z2＝－1＜0；②错误,当a＝－1时，(a＋1)i＝0∈R;③错误,两个虚数不能比较大小．(2)①复数由实数和虚数组成，虚数中包含着纯虚数,故①错;②形如a＋bi的数不一定是虚数，也可能是实数,故②错；③中两个复数并非不可以比较大小，当两个复数都是实数时就可以比较大小，故③错；④中当a＝－3时，（a＋3）i＝0，不是纯虚数，故④错．因此正确命题的个数为0.答案:(1）①②③(2）0探究二复数的分类1．解决这类复数的分类问题时，主要依据复数z＝a＋bi(a,b∈R）是实数、虚数、纯虚数的充要条件进行求解，列出相应的等式或不等式组求出参数的值或范围,但若已知的复数z不是a＋bi（a,b∈R）的形式,应先化为这种形式,得到复数的实部、虚部再进行求解．2．应特别注意z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数的条件是a＝0且b≠0，不能忘记b≠0这一限制条件．【典型例题2】实数m取什么值时，复数(m2－3m＋2)＋(m2－4）i是：（1)实数．(2)虚数．（3）纯虚数．思路分析：根据复数分类的充要条件，列出方程（不等式)组求m。解：设z＝（m2－3m＋2)＋(m2－4)i。(1)要使z为实数，必须有m2－4＝0,得m＝－2或m＝2，即m＝－2或m＝2时，z为实数．（2）要使z为虚数，必须有m2－4≠0,即m≠－2且m≠2，故m≠－2且m≠2时，z为虚数．（3)要使z为纯虚数,必须有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－4≠0，,m2－3m＋2＝0.))所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠－2且m≠2，,m＝1或m＝2，）)所以m＝1,即m＝1时,z为纯虚数．探究三复数相等的充要条件复数相等问题的解题技巧1．必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．2．根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化的体现．【典型例题3】求使等式（2x－1）＋i＝y－（3－y)i成立的实数x，y的值．解：由复数相等的充要条件可得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2x－1＝y,,1＝－（3－y)，））解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5，2）,,y＝4.)）探究四易错辨析易错点：对复数的相关概念理解不到位而导致出错【典型例题4】下列命题：①x＋yi＝2＋2i⇔x＝y＝2；②z＝bi（b∈R）为纯虚数；③若x∈R，则(x2－1）＋（x－1)i＝0，则x＝1。其中正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3错解:D错因分析：①中没有说明x，y是实数，则x,y不一定分