北师大版九年级数学上册《第一章特殊平行四边形》单元测试卷及答案

第第页答案第=page1212页，共=sectionpages2020页北师大版九年级数学上册《第一章特殊平行四边形》单元测试卷及答案一、菱形1．如图，平行四边形的对角线，相交于点O．点E为的中点，连接并延长交于点F，下列结论：①；②；③四边形是菱形；④．其中正确结论的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．12．如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分的面积是（

）

A． B． C． D．3．下列命题中正确的是（

）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．有一个角是直角的平行四边形是矩形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形4．下列说法：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形；③三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半；④两条对角线相等的四边形是矩形；正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．菱形的边长为2点、分别是、上的动点，的最小值为．6．如图，在四边形中，AB//CD，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，的周长为36，求菱形的面积．7．已知，如图，在中是的中线，F是的中点，连接并延长到E，使，连接．(1)求证：四边形是菱形；(2)若求菱形的面积．8．如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，平行线与间的距离为，求菱形的面积．9．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积．二、矩形10．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．111．如图，在矩形中，E为边上一点，把沿翻折，使点D恰好落在边上的点F处．若，AD=6，P，Q分别是上的动点，则的最小值（

）A． B． C． D．12．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的长为．13．如图，将一张矩形纸片沿着对角线BD向上折叠，顶点落到点处，交AD于点．(1)求证：；(2)如图，过点作，交于点，连结交BD于点．①求证：四边形是菱形；②若AB=3，AD=4，求的长．14．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、DN．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，MD=5，求的长．15．在矩形中，AB=6，BC=8，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中．(1)若G，H分别是AD，中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？______（不用说明理由）(2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值；(3)在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值．三、正方形16．下列命题是真命题的是（

）A．对角线相等的平行四边形是菱形B．有一角为直角的四边形是矩形C．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形D．矩形的对角线互相垂直平分且相等17．顺次连接菱形四边中点所得的四边形一定是（

）A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．不能确定18．如图，在中，分别在AB、BC、AC上求作一点D、E、F，使得连接和后，四边形是正方形．（要求用尺规作图法完成，保留作图痕迹，不写作法）19．如图，已知正方形的边长为12，BE=EC，将正方形边沿折叠到，延长交于，连接，现在有如下4个结论：①；②；③；④．在以上4个结论中，正确的有（填序号）20．如图，直角梯形中，AD//BC，AD=8，BC=6，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点作于点，连接交于点，连接设运动时间为秒．(1)______，______（用含的代数式表示）(2)当四边形为平行四边形时，求的值；(3)如图，将沿AD翻折，得，是否存在某时刻①使四边形为为菱形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；②使四边形为正方形，则______．参考答案：题号123410111617答案ADCBBCCB1．A【分析】通过判定为等边三角形求得，利用等腰三角形的性质求得，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．【详解】解：点为的中点又是等边三角形即，故①正确；在平行四边形中在和中四边形是平行四边形又，点为的中点平行四边形是菱形，故③正确；在中，故②正确；在平行四边形中又点为的中点故④正确；综上所述：正确的结论有4个故选：A．【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键．2．D【分析】首先过点作于点E，于点，由题意可得四边形是平行四边形，继而求得的长，判定四边形是菱形，则可求得答案．【详解】过点作于点E，于点

根据题意得：∴四边形是平行四边形∵∴∴∵∴同理：∴∴四边形是菱形∴∴．故选：D．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，解题关键在于掌握菱形判定定理和作辅助线．3．C【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据矩形、菱形、平行四边形的判定定理判断即可．【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项错误，不符合题意；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故此选项错误，不符合题意；C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项正确，符合题意；D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，故此选项错误，不符合题意；故选：C．4．B【分析】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据平行四边形的判定，矩形的判定，三角形的中位线定理即可一一判断；【详解】若四边形中如图四边形是平行四边形所以一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，①正确；一组对边相等且平行，并有一个角是直角的四边形是矩形，②错误；三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半，③正确；两条对角线相等的平行四边形是矩形，④错误．故选B．5．【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小菱形的边长为2中PQ+QC的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题的关键．6．(1)见解析(2)96【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义证得，再利用等腰三角形的等角对等边得到，进而利用菱形的判定定理即可证得结论；（2）先根据菱形的性质和三角形的周长求得，进而利用勾股定理求得即可求解．【详解】（1）证明：∵∴四边形是平行四边形∵平分∴∴∴∴四边形是菱形；（2）解：∵四边形是菱形∴∵，的周长为36∴，则在中∴∴菱形的面积为．【点睛】本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、勾股定理、平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键．7．(1)证明见解析(2)24【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识点，熟悉掌握以上知识点是解题的关键．（1）根据三角形中线性质可得，再由已知条件可证得；根据直角三角形斜边中线性质得，可证，进而可求解；（2）通过证明四边形是平行四边形，求得，利用勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式即可求解．【详解】（1）证明：∵是的中点∴∵∴∵是中线∴∵∴∴∵∴四边形是平行四边形∵∴四边形是菱形；（2）解：连接∴四边形是平行四边形是中线∵四边形是菱形∴菱形的面积=．8．(1)见解析(2)菱形的面积是32【分析】（1）用一组对边平行且相等来得出四边形为平行四边形，再根据直角三角形斜边上中线的性质即可证明四边形是菱形；（2）作于点G，则，证明是等边三角形可得，根据勾股定理求出，进而可求出菱形的面积.【详解】（1）∵是的中点∴．∵∴在和中∴∴．∵是边中线∴∴．∵∴四边形是平行四边形∵∴四边形是菱形．（2）作于点G，则∵∴是等边三角形∴∵∴∴∴∴菱形的面积是．【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形和平行四边形的判定是解题的关键．9．（1）证明见解析；（2）S平行四边形ABCD=24【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题；（2）连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题.【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴∠B=∠D∵AE⊥BC，AF⊥CD∴∠AEB=∠AFD=90°∵BE=DF∴△AEB≌△AFD∴AB=AD∴四边形ABCD是菱形；（2）连接BD交AC于O∵四边形ABCD是菱形，AC=6∴AC⊥BDAO=OC=AC=×6=3∵AB=5，AO=3∴BO===4∴BD=2BO=8∴S平行四边形ABCD=×AC×BD=24．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质与定理、正确添加辅助线是解题的关键.10．B【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解．判断③，根据角平分线的性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．【详解】如图，设与的交点为根据作图可得，且平分四边形是矩形又四边形是平行四边形垂直平分四边形是菱形，故①正确；②∠AFB＝2∠ACB；故②正确；③由菱形的面积可得AC•EF＝CF•CD；故③不正确④四边形是矩形若AF平分∠BAC则CF＝2BF．故④正确；故选B【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．11．C【分析】作于点交于点，连接，连接，交于点，连接、DP，由“垂线段最短”可知，当点与点重合时，此时的值最小，则的值最小，证出四边形是矩形，则可得出答案．本题考查了矩形的性质，折叠的性质，中垂线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【详解】解：作于点交于点，连接，连接，交于点，连接、DP由翻折得，垂直平分由“两点之间，线段最短”可知，线段的长即表示的最小值由“垂线段最短”可知，当点与点重合时，此时的值最小，则的值最小四边形是矩形的最小值是．故选：C．12．2【分析】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质以及直角三角形斜边上中线是斜边的一半是解题的关键．根据菱形的面积公式求出对角线的长度，再利用菱形的性质和勾股定理求出菱形的边长，即可得到答案．【详解】解：故答案为：．13．(1)见解析(2)①见解析；②【分析】(1)根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断；(2)①根据矩形性质及第一问证得邻边相等进行证明；②根据折叠特性设未知边，根据勾股定理列方程求解．【详解】（1）证明：如图，根据折叠又；（2）①证明：四边形是矩形又四边形是平行四边形四边形是菱形；解：．．设．在直角中，即解得即．【点睛】本题属于四边形综合题，考査了结合矩形的性质、等角对等边及平行线的性质、菱形的判定和性质、勾股定理，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．14．(1)见解析(2)【分析】（1）根据题意，证明，得出，根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直，即可证明四边形是菱形；（2）设，在和中根据勾股定理列出方程，即可求解．【详解】（1）证明：四边形是矩形，垂直平分在和中又四边形是平行四边形垂直平分，即平行四边形是菱形；（2）解：四边形是菱形设，则在和中解得：．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质，证明四边形是菱形是解题的关键．15．(1)四边形是平行四边形(2)四边形为矩形时或(3)当时，四边形为菱形【分析】（1）利用三角形全等可得则即可证明；（2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解；（3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形，再利用勾股定理即可求解.【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：由题意得：∵四边形是矩形∵分别是中点∴四边形是平行四边形；（2）如图1，连接由（1）得∴四边形是矩形∴①如图1，当四边形是矩形时∴∵∴∴；②如图2，当四边形是矩形时∵∴∴；综上，四边形为矩形时或；（3）如图3，M和N分别是AD和的中点，连接AH，CG，GH，Ac与交于O∵四边形为菱形∴∴∴四边形为菱形∴设，则由勾股定理可得：即：解得：∴，即∴当时，四边形为菱形．【点睛】本题考查矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用.16．C【分析】本题考查菱形，矩形，正方形的判定以及矩形的性质，根据菱形，矩形，正方形的判定以及矩形的性质分别判断即可．掌握基本判定定理和性质定理是解题的关键．【详解】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，原说法错误，不符合题意；B、有一角为直角的平行四边形是矩形，原说法错误，不符合题意；C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确，符合题意；D、矩形的对角线互相平分且相等，原说法错误，不符合题意；故选：C．17．B【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，正确理解菱形的性质以及三角形的中位线定理是解题的关键．根据三角形的中位线定理可得进而得到四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可证明，进而得到答案．【详解】如图：四边形是菱形，点EFGH分别是的中点，顺次连接E、F、G、H∵E，H是中点∴同理，∴则四边形是平行四边形又∵∴∵∴∴平行四边形是矩形．故选：B．18．图见解析．【分析】本题考查了作图-基本作图，正方形的判定与性质，作的角平分线交于点，再作的垂直平分线，分别交、于点，F，连接，即可，掌握基本的作图方法是解题的