数学互动课堂演绎推理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精互动课堂疏导引导“三段论”是由古希腊的亚里士多德创立的。亚里士多德还提出了用演绎推理来建立各门学科体系的思想。例如欧几里得的《原本》就是一个典型的演绎系统,它从10条公理和公设出发，利用演绎推理,推出所有其他命题.像这种尽可能少地选取原始概念和一组不加证明的原始命题(公理、公设),以此为出发点，应用演绎推理,推出尽可能多的结论的方法,称为公理化方法。公理化方法的精髓是：利用尽可能少的前提，推出尽可能多的结论。演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式.演绎推理的主要形式,就是由大前提、小前提推出结论的三段论式推理.三段论式推理常用的一种格式,可以用以下公式来表示：M—P（M是P)三段论推理的根据,用集合论的观点来讲，就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P。三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提,它提供了一个一般的原理;第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来,揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断--结论.例如,用三段论证明并指出每一步推理的大前提和小前提.如图所示,在锐角△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D、E是垂足.求证:AB的中点M到D、E的距离相等。分析：解答题需要利用直角三角形斜边上的中线性质作为大前提。证明：（1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形,(大前提）在△ABD中，AD⊥BC，即∠ADB=90°,（小前提）所以△ABD是直角三角形。（结论)同理,△AEB也是直角三角形.（2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,（大前提）而M是Rt△ABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线，(小前提)所以DM=。（结论）同理，EM=，所以，DM=EM.案例已知函数f(x）=ax+（a＞1）.证明：函数f（x)在(—1，+∞)上为增函数。【探究】用演绎推理解决问题的常见模式是三段论.证明本题所依据的大前提是增函数的定义，即函数y=f（x）满足：在给定区间内任取两个自变量x1，x2，若x1＜x2,则有f(x1）＜f（x2)，小前提是函数f(x）=ax+(a＞1）在(—1，+∞）上满足增函数的定义，这是证明本例的关键。证明：设—1＜x1＜x2，f(x2)-f(x1）=+-—=-+-=（）+=(）+因为x2—x1＞0,又a＞1，所以-x1＞1。所以，而—1＜x1＜x2，所以x1+1＞0,x2+1＞0,所以f(x2)-f(x1)＞0,∴f(x）在(—1,+∞)上为增函数。规律总结演绎推理一般分三段，称为“三段论"，其中第一段称为“大前提”，指的是一个一般原理。第二段称为“小前提”指的是一种特殊情况，第三段称为“结论”是所得的结论，当大前提是很显然时，一般可以省略不写。演绎推理在数学命题的推理中是常用的方法，证题中要注意灵活应用。活学巧用例1已知a、b∈R，求证：.证明：设f(x）=，x∈［0,+∞),x1、x2是［0，+∞）上的任意两个实数，且0≤x1＜x2,f（x2)-f(x1)=。因为x2＞x1≥0,所以f（x2）＞f(x1）.所以f（x)=在［0，+∞)上是增函数。（大前提)由｜a|+｜b|≥｜a+b｜≥0，（小前提）知f（｜a｜+｜b｜）≥f（｜a+b|)（结论），即成立。例2梯形的两腰和一底如果相等,它的对角线必平分另一底上的两个角。已知在梯形ABCD中(如图),AB=DC=AD，AC和BD是它的对角线，求证：AC平分∠BCD,DB平分∠CBA。证明:(1）等腰三角形两底角相等（大前提),△DAC是等腰三角形，DA、DC是两腰（小前提），∠1=∠2（结论）。（2)两条平行线被第三条直线截出的内错角相等(大前提)，∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截出的内错角（小前提),∠1=∠3（结论）。（3)等于同一个量的两个量相等(大前提),∠2和∠3都等于∠1（小前提),∠2=∠3（结论)，即AC平分∠BCD。(4）同理,DB平分∠CBA.例3已知函数f（x)=,其中a＞0，b＞0,x∈(0，+∞),确定f（x)的单调区间,并证明在每个单调区间上的增减性。证明：设0＜x1＜x2,则f（x1）—f(x2)=（）—（）=（x2-x1）().当0＜x1＜x2≤时,则x2—x1＞0，，∴f(x1）—f(x2）＞0,即f（x1)＞f(x2）。∴f（x)在(0，]上是减函数.当时,则x2—x1＞0,,，∴f(x1）—f（x2)＜0,即f(x1)＜f(x2）。∴f（x)在［,+∞)上是增函数。例4已知函数f(x)=(a＞0且a≠1)(1）证明：函数y=f(x）的图象关于点（）对称；(2)求f(—2）+f（—1)+f(0）+f（1)+f（2)+f(3）的值。证明：函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点（x,y），它关于点（，）对称的点的坐标为(1—x,-1—y）.由已知,y=,则—1—y=,f(1—x）==，∴—1-y=f(1—x）。即函数y=f（x)的图象关于点(）对称。(2