数学互动课堂数学归纳法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精互动课堂疏导引导一、数学归纳法的概念与注意事项1.数学归纳法的概念（1）归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法。（2)数学归纳法：在证明某些与自然数有关的命题时，如果先证明当n取第一个值n0（例如n0=1或n0=2)时命题成立,然后假设当n=k（k∈N＊,k≥n0）时命题成立，并证明当n=k+1时命题也成立.因为证明了这一点，就可以断定这个命题对于n取第一个值n0后面的所有正整数也都成立，这种证明方法叫做数学归纳法。2。用数学归纳法证明一个与自然数有关的命题的步骤：（1）证明当n取第一个值n0时结论成立;(2)假设当n=k（k∈N＊，k≥n0)时结论成立，证明当n=k+1时结论也成立.在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从n0开始的所有自然数n都成立。3。数学归纳法是专门证明与自然数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善。证明分两步，其中第一步是命题成立的基础,称为“归纳奠基”；第二步解决的是延续性问题又称“归纳递推”.数学归纳法用框图表示如下：4。运用数学归纳法证明有关命题注意以下几点：（1)两个步骤缺一不可.（2）在第一步中，n的初始值不一定从1取起,也不一定只取一个数(有时需取n=n0，n0＋1等)，证明应视具体情况而定。（3)第二步中证明n=k+1时,必须使用归纳假设，否则就会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系，造成推理无效.(4)证明n=k+1成立时，要明确求证的目标形式，一般要凑出归纳假设里给出的形式，以便使用归纳假设，然后再去凑出当n=k+1时的结论，这样就能有效减少论证的盲目性.(5)用数学归纳法可证明有关正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。数学归纳法的理论根据是皮亚诺的归纳公理：任何一个正整数集A，若（1）1∈A;(2）由k∈A可推出k+1∈A，则A含有所有的正整数。二、运用数学归纳法时易犯的错误1。在证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n，因此,n不一定是1.如证明凸n边形的对角线的条数为f(n）=n（n—3)，第一步要验证n=3.因为边数最少的凸n边形是三角形。又如证明对于足够大的正整数n，总有不等式2n＞n3。虽然n=1时,21＞13不等式成立，但是n=2,3，…8，9时，不等式均不成立，所以第一步要验证n=10时不等式成立。此外，即使第一步是验证n=1，但n=1时,所验证的式子不一定是一项.如证明1+2+3+…+n+(n+1)+(n+2）=,n=1时，等式左边有三项,即1+2+3。2.第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用，在证明n=k+1时，一定要运用它，否则就不是数学归纳法。如在证明等式1-2+4—8+…+(—1）n—1·2n-1=(-1）n-1·+时，第二步假设n=k时等式成立，即1-2+4-8+…+（-1）k-1·2k—1=(—1)k—1·，则当n=k+1时，有1—2+4—8+…+（-1)k—1·2k-1+(-1)k·2k=+（-1)k·成立，这种证明根本就没有用到归纳假设，而是利用等比数列求和公式直接算出来，因此是套用数学归纳法步骤的一种伪证,这是利用数学归纳法证题之大忌.又如有人用数学归纳法证明不等式(n∈N*）时，第二步如下:假设n=k时，不等式成立，即,则当n=k+1时，=(k+1)+1，所以n=k+1时不等式成立.由(1）、（2)知，不等式(n∈N+)成立。以上证明过程是错误的.错在n=k+1时，直接用放缩法而没有使用归纳假设.3.注意由n=k到n=k+1的证明过程中，待证式中的项数的变化。如在证明不等式(n∈N＊)时，第二步假设n=k时，不等式成立,即，则当n=k+1时，有成立,从而得证.在这里，错以为由n=k到n=k+1时，只增加一项.事实上，本题由n=k到n=k+1时增加的项是，而减少的项是。象这种每一项都与n有关的“和、差、积、商”式，由n=k到n=k+1时一定要仔细计算其增加和减少的项数。4.注意不要机械套用数学归纳法中的两个步骤，要明确在递推步骤中，两步相差的是否为1.例如有人证明当n为正奇数时，7n+1能被8整除时是这样证的：（1）当n=1时,7+1=8能被8整除.命题成立。(2）假设n=k时命题成立。即7k+1能被8整除。则当n=k+1时，7k+1+1=7(7k+1）—6不能被8整除.由（1）、（2）知n为正偶数时，7n+1就不能被8整除。上述证法机械套用数学归纳法中的两个步骤，而忽略了n是正奇数的条件。事实上，第二步证明应如下:假设n=k时命题成立，即7k+1能被8整除，则当n=k+2时,7k+2+1=72（7k+1)+1-72=49(7k+1)-48。因7k+1能被8整除，且48能被8整除。所以7k+2+1能被8整除，所以当n=k+2时命题成立.由(1)、（2）知当n为正奇数时，7k+1能被8整除.数学归纳法应用广泛,可证明恒等式、不等式、整除问题、几何问题等.证整除问题时,要注意“添”项、“减”项技巧,同时还应注意数或式的整除性知识。证几何问题时,关键在于寻找由n=k到n=k+1时的递推公式，同时应用到一些几何图形的性质.如一些几何计数问题应抓住所划分的线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等.活学巧用1.比较2n与n2的大小(n∈N+)。解析：当n=1时，21＞12,当n=2时，22=22，当n=3时,23＜32，当n=4时，24=42，当n=5时，25＞52，猜想：当n≥5时,2n＞n2下面用数学归纳法证明：(1）当n=5时，25＞52成立，(2）假设n=k(k∈N＊，k≥5）时2k＞k2，那么2k+1=2·2k=2k+2k＞k2+(1+1）k＞k2+=k2+2k+1=（k+1）2.∴当n=k+1时，2n＞n2。由（1）（2)可知,对n≥5的一切自然数2n＞n2都成立.综上，得当n=1或n≥5时，2n＞n2；当n=2,4时，2n=n2；当n=3时，2n＜n2.2。用数学归纳法证明：.证明：（1）当n=1时，左边=,右边=，等式成立。(2)假设n=k时，成立.当n=k+1时，==.∴n=k+1时，等式成立。由(1)（2）可得对一切正整数n∈N*,等式成立.3。已知an=(n∈N＊）,是否存在n的整式q（n），使得等式a1+a2+…+an—1=q（n）(an-1）对于大于1的一切自然数n都成立？证明你的结论。解析：假设存在q(n）,去探索q(n）等于多少.当n=2时，由a1=q(2)（a2—1),即1=q（2)()，解得q（2）=2.当n=3时，由a1+a2=q（3）（a3—1），即1+（）=q（3）（-1），解得q(3）=3。当n=4时,由a1+a2+a3=q(4）(a4-1）,即1+()+()=q(4）()，解得q（4)=4。由此猜想q(n）=n（n≥2，n∈N*）。下面用数学归纳法证明：当n≥2，n∈N＊时，等式a1+a2+…+an-1=n(an-1）成立.①当n=2时，由以上验证可知等式成立.②假设当n=k(k≥2，k∈N＊）时等式成立，即a1+a2+…+ak—1=k（ak-1），则当n=k+1时，a1+a2+…+ak—1+ak=k(ak-1)+ak=（k+1）ak-k=（k+1）ak-(k+1)+1=（k+1）（)=(k+1)（ak+1—1）.∴当n=k+1时，等式亦成立.由①②知，对于大于1的自然数n，存在整式q（n)=n,使得等式a1+a2+…+an—1=q(n)(an—1）总成立.4。已知数列{an｝的通项公式为an=,数列｛bn｝的通项满足bn=(1-a1)（1—a2)…-an)，用数学归纳法证明bn=.证明:（1)当n=1时，a1=4，b1=1-a1=1—4=-3,b1==-3成立.(2）假设当n=k时等式成立，即bk=,那么bk+1=（1—a1)（1-a2）…—ak)(1-ak+1)=bk（1-ak+1）=。这就是说，当n=k+1时，等式也成立.由（1）（2)可以断定，对任何正整数n,bn=都成立.5.试判断下面的证明过程是否正确：用数学归纳法证明：1+4+7+…3n-2)=(3n-1)证明:（1)当n=1时,左边=1，右边=1∴当n=1时命题成立。（2)假设当n=k时命题成立,即1+4+7+…(3k—2)=（3k-1)则当n=k+1时，需证1+4+7+…3k-2）+［3（k+1)-2］=(k+1)(3k+2)(＊)由于左端等式是一个以1为首项，公差为3，项数为k+1的等差数列的前n项和，其和为（k+1）（1+3k+1)=（k+1）（3k+2）∴（＊)式成立，即n=k+1时,命题成立，根据（1)（2)可知,对一切n∈N*，命题成立。解析：以上用数学归纳法证明的过程是错误的。在证明当n=k+1时等式成立时,没有用到当n=k时命题成立的归纳假设，故不符合数学归纳法证题的要求.第二步正确的证明方法是：假设当n=k时命题成立,即1+4+7+…3k-2）=(3k-1),则当n=k+1时，1+4+7+…（3k-2)+[3（k+1)—2]=（3k—1）（3k+1）=(3k2+5k+2)=（k+1)（3k+2）=(k+1)［3（k+1）—1]即当n=k+1时，命题成立。6.证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3…(2n—1)，其中n∈N*。证明：(1)当n=1时，左边=1+1=2，右边=21·1=2，等式成立.(2）假设当n=k时，等式成立，即（k+1）（k+2)