数学互动课堂导数在实际生活中的应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精互动课堂疏导引导本课时的重点和难点是用导数解决实际问题.1。导数在实际生活中有着广泛的应用，如用料最省、利润最大、路程最短等问题一般都可以归结为函数的最值问题,从而可利用导数来研究.（1）导数应用的主要内容之一就是求实际问题的最值,其关键是分清各量间的关系，建立目标函数,在判断函数极值的基础上就可以确定出函数的最值情况.（2）能利用导数求解有关实际问题的最值，学会将实际问题转化为数学问题的方法。（3）通过本单元的学习,学会如何建模，如何利用导数求最值，以提高分析和解决问题的能力。（4）通过本节课的学习,体会数学来源于生活，应用于实践，提高学习数学的兴趣。2.解应用题，首先要在阅读材料、理解题意的基础上,把实际问题抽象成数学问题.就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型；其次，利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论；最后再把数学结论返回到实际问题中去.其思路如下：（1)审题:阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系。（2）建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型。(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解。（4)对结果进行验证评估,定性定量分析，作出正确的判断,确定其答案.3。用导数解决优化问题主要指函数类型中求最值的问题，其思路是：4。实际应用问题利用导数求f（x)在（a,b)上的最值时，f′（x）=0在（a，b)的解只有一个，由题意最值确实存在，则使f′(x）=0的解就是最值点。案例1(2005全国高考Ⅲ)用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如下图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大?最大容积是多少?【探究】设容器高为xcm,容器的容积为V(x)cm3,则V（x）=x(90-2x)(48-2x）=4x3-276x2+4320x(0＜x＜24).求V（x）的导数，得V′(x）=12x2-552x+4320=12（x2—46x+360）=12（x-10）（x-36）。令V′(x)=0,得x1=10，x2=36(舍去）.当0＜x＜10时,V′(x)＞0，那么V(x）为增函数；当10＜x＜24时，V′(x）＜0，那么V（x)为减函数。因此,在定义域（0，24)内，函数V（x)只有当x=10时取得最大值，其最大值为V（10）=10×（90—20)×（48-20）=19600(cm3).所以当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积为19600cm3。【规律总结】本题主要考查函数的概念，运用导数求函数最值的方法,以及运用数学知识建立简单数学模型并解决实际问题的能力.实际应用问题要根据题目的条件，写出相应关系式，是解决此类问题的关键.案例2有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km,两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？【探究】根据题设条件作出图形,分析各已知条件之间的关系,借助图形的特征,合理选择这些条件间的联系方式,适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值，可确定点C的位置.解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，如图所示，设C点距D点xkm,则∵BD=40，AC=50—x，∴BC=，又设总水管费用为y元，依题意有y=3a(50—x）+(0＜x＜50)。y′=-3a+.令y′=0，得=3a（a≠0).解得x=30.在（0,50）上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x=30(km)处取得最小值,此时，AC=50—x=20（km）.∴供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省.解法二：设∠BCD=θ，如图所示,则BC=，CD=40cotθ（).∴AC=50—CD=50—40cotθ设总的水管费用为f(θ）,依题意，有f(θ)=3a(50-40cotθ）+5a·。=150a+40a.∴f′（θ）=40a.。令f′（θ)=0，得cosθ=。根据问题的实际意义,当cosθ=时,函数取得最小值，此时sinθ=,∴cotθ=，∴AC=50-40cotθ=20（km),即供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省。案例3某工地备有直径为R的圆柱形木料(足够长），若所需的是横断面为矩形的承重木梁，且已知木梁的承重强度(P）与梁宽及梁高的平方的乘积成正比,问如何截可使截得的木梁的承重强度最大？【探究】设木梁的横断面的宽为x1，高为y,则x2+y2=R2。由已知，设P=kxy2（k为常数)，因此P=kx(R2—x2）=kR2x—kx3（0＜x＜R)。因为P′=kR2—3kx2，令P′=0得x=.由于函数在区间（0，R）内只有一个极值点,因此，当x=,即木梁横断面宽为，高为时，木梁的承重强度最大.【规律总结】解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情景"译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化,抽象成数学问题，选择合适的数学方法求解.对于这类问题，同学们往往忽视了数学语言与普通语言的理解与转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍.活学巧用1。某种型号的电器降价x成(1成为10%），那么销售数量就增加mx成(m∈R+）.某商店此种电器的定价为每台a元，则可以出售b台，若经降价x成后，此种电器营业额为y元.试建立y与x的函数关系，并求m=时，每台降价多少成其营业额最大?解析：由条件,降低后的营业额为y=a（1—x）b(1+mx）=ab［-mx2+(m-1）x+1］，∴当m=时，y=ab（—x2+x+1）.∴y′=ab(x+).令y′=0，∴x=,即x=时，ymax=ab，即降价0。1成时,营业额最大.2.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到有关部门更多的关注，据有关统计数据显示,从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y（分钟）与车辆进入该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出：y=求从上午6点到中午12点，通过该路程用时最多的时刻.解析：按已给出的分段函数求导数。（1）当6≤t＜9时，y′=t+36=(t+12）(t—8)令y′=0得t=-12(舍去）或t=8.当6≤t＜8时,y′＞0；当8＜t＜9时，y′＜0,∴t=8时，y有最大值ymax=18。75（分钟）。(2)当9≤t≤10时,y=是增函数，∴t=10时，ymax=15(分钟)（3）当10＜t≤12时，y=—3(t-11)2+18∴t=11时，ymax=18（分钟）.综上所述,上午8时，通过该路段用时最多，为18。75分钟.3.（广告费与收益）某集团为了获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费t（百万元)，可增加的销售额约为—t2+5t(百万元）(0≤t≤5）（1）若该公司将当年的广告费控制在三百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？（2）现该公司准备共投入300万元,分别用于广告促销和技术改造.经预测,每投入技术改造费x（百万元)，可增加的销售额约为+x2+3x（百万元）.请设计一个资金分配方案,使该公司由此获得的收益最大？(注：收益=销售额—投入）。解析:（1）设投入t（百万元）的广告费后增加的收益为f（t)(百万元）,则有f(t)=(—t2+5t）-t=—t2+4t=—（t—2)2+4(0＜t≤3)∴当t=2百万元时，f（t）取得最大值4百万元。即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大.(2）设用于技术改造的资金为x（百万元)，则用于广告促销的资金为（3-x）（百万元)，又设由此获得的收益是g(x)，则有g(x）=(+x2+3x)+［—(3-x）2+5(3-x）]—3=+4x+3（0≤x≤3）∴g′（x）=-x2+4令g′（x）=0解得x=—2（舍去）若x=2又当0≤x＜2时，g′（x)＞0当2＜x≤3时，g′（x)＜0故g（x)在［0，2］上是增函数，在［2,3］上是减函数。所以x=2时，g（x）取最大值,即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大。4。将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截法使正方形与圆面积之和最小？解析:设弯成圆的一段铁丝长为x，则另一段长为100—x，记正方形与圆的面积之和为S，则正方形的边长a=,圆的半径r=.∴S=π()2+()2（0＜x＜100).又S′=+2（）·()′=-.令S′=0，则x=（cm)。由于在（0，100)内，函数S（x)只有一个导数为0的点，问题中面积之和的最小值显然存在，故当x=cm时，面积之和最小.5。在某工业品生产过程中，每日次品数y是日产量x的函数该工厂售出一件正品可获利A元，但生产一件次品就损失元.为了获得最大利润，日产量应定为多少？解析：在每天生产的x件产品中,x-y是正品数，y是次品数，每日获利总数为T(x)=A(x-y)—y。T′(x)=A（1—y）′令T′(x）=0，得y′=。∵y=当x＞100时,每一件产品都是次品，公司要赔钱，最佳日产量只能在x≤100时求得。由y′==得x≈89。4∵产品数必须是自然数，∴产品数是89或90件.∵T(89)≈79.11A,T（90)≈79.09A。∴每日应生产89件将获得最大利润。6。甲船以20km/h的速度向东航行，正午时在其北面82km处有乙船以16km/h的速度向南航行,问何时两船相距最近？解析：如图，正午过后th，乙船到达点A，甲船到达点B，此时AO=82—16t，OB=20t，两船的距