山西省名校2024-2025学年高二上学期10月联合考试数学试卷

2024—2025学年山西名校十月联合考试高二数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册第一章至第二章2.4.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，.若，则（）A.4 B. C.8 D.2，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（）A. B. C. D.3，若直线：与直线：垂直，且直线：与直线：垂直，则（）A.1 B. C.2 D.4.若点在圆：的外部，则的取值范围为（）A. B.C. D.5.在山西的某个旅游景点内有刀削面、油炸糕、糖火烧、炕馍、莜面这5种传统小吃.某游客从中随机选择3种品尝，则该游客选择了油炸糕和莜面品尝的概率为（）A. B. C. D.6.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵中，，，，，分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足的有（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个7.在四面体中，为的外心，底面，，，，则四面体外接球的表面积为（）A. B. C. D.8.已知，直线：，过点作的垂线，垂足为，则点到轴的距离的最小值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分.9.已知集合，，，则（）A. B. C. D.10.已知一组数据为1，，，3，4，，1，1，3，2，其中，则（）A.这组数据的中位数不可能为3B.当这组数据的众数为1时，C.当时，这组数据的方差为1.25D.当这组数据的平均数为2.2时，的最小值为11.已知四棱柱的底面是边长为6的菱形，平面，，，点满足，其中，则（）A.当为底面的中心时，B.当时，长度的最小值为C.当时，长度的最大值为6D.当时，为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.若复数满足，则的虚部为______，______.13.已知在正四棱台中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______.14.已知函数.若不等式对任意恒成立，则的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）在中，角，，的对边分别为，，，已知.（1）若，求；（2）若，，求的面积.16.（15分）如图，在正六棱柱中，为的中点.设，，.（1）用，，表示向量，；（2）若，求的值.17.（15分）已知圆经过点，，.（1）求圆的标准方程；（2）若一条光线从点射向直线，经该直线反射后经过圆上的点，求该光线从点到点的路线长的最小值.18.（17分）如图，已知，，，四点均在直径为6的球的球面上，，，，，，直线与平面所成的角为，点在线段上运动.（1）证明：平面.（2）设平面与平面的夹角为，求的最大值.19.（17分）过点作斜率分别为，的直线，，若（），则称直线，是定积直线或定积直线.（1）已知直线：（），直线：，试问是否存在点，使得直线，是定积直线？请说明理由.（2）在中，为坐标原点，点与点均在第一象限，且点在二次函数的图象上.若直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，求点的坐标.（3）已知直线与是定积直线，设点到直线，的距离分别为，，求的取值范围.

2024—2025学年山西名校十月联合考试高二数学参考答案1.D根据题意可得，解得.2.A易得.3.B由得.4.D根据题意可得解得或.5.B将刀削面、油炸糕、糖火烧、炕馍、莜面这5种传统小吃分别设为，，，，，根据题意可得该游客从中随机选择3种品尝的所有情况有，，，，，，，，，，共10种，其中该游客选择了油炸糕和莜面品尝的情况有3种，故所求概率为.6.C设，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（图略），则.在图①中，，，，则，，所以，满足；在图②中，，，，则，，所以，满足；在图③中，，，，则，，所以，不满足.7.C设四面体的外接球为球，其半径为，外接圆的半径为.由正弦定理得，则.由，，得，解得，所以球的表面积为.8.B由，得.令解得即过定点，所以点在以为直径的圆上，其中圆心，半径为.因为圆心到轴的距离为4，所以点到轴的距离的最小值为.9.AC由题意得，，所以，A，C正确，B，D错误.10.BCD当时，这组数据的中位数为3，A错误.当这组数据的众数为1时，若，则这组数据的众数为3，这与这组数据的众数为1矛盾，所以，B正确.当时，，，，，C正确.当这组数据的平均数为2.2时，，则，当且仅当，即时，等号成立，D正确.11.BCD连接，.设与交于点，则.当为底面的中心时，.因为，所以，，所以，A错误.当时，点在平面内，则长度的最大值为6，长度的最小值即到平面的距离.设到平面的距离为，则，解得，B，C均正确.因为，所以在底面上，且，则，得，D正确.12.；依题意得，则的虚部为，.13.依题意得，设异面直线与所成的角为，因为，所以.14.因为的定义域为，，所以为奇函数.因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，所以在上单调递增.因为为奇函数，所以在上单调递增，因为，所以不等式即为，则.因为，所以，即.因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，即的取值范围是.15.解：（1）因为，所以.因为，所以，则或（舍去），所以.因为，所以.（2）由（1）得.因为，所以，解得，所以，，，所以.故的面积为.16.解：（1）.（2）由题意易得，，则.17.解：（1）设圆的标准方程为（）.代入，，的坐标，得解得所以圆的标准方程为.（2）设点关于直线对称的点的坐标为，则解得即.由（1）可得圆的圆心为，半径，则该光线从点到点的路线长的最小值为.18.（1）证明：由题意可知为球的直径，所以，.又因为，所以，，所以平面，平面，所以，，所以平面.（2）解：如图，以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系.根据题意可得，，，则，，所以，，，，，，则，，，设平面的法向量为，则取.设（），则.设平面的法向量为，则取..令，，，则，当，即，时，取得最大值，最大值为.19.解：（1）由题意可得，由得故存在点，使得，是定积直线，且.