广东省2024-2025学年高三年级上册开学摸底联考 数学试题（含解析）

2025届高三年级摸底联考

数学试题

本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上

的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试

题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题

卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

一11.I］、，［兀兀八兀］,

1.已知M——,，sim;,=<,一一,0,一卜，则AfcN=（）

2.某公司购入了400根钢管拟切割打磨为其他产品，统计钢管口径后得以下频数分布表:

钢管口径（cm）11.012.514.016.518.520.521.022.0

频数26741004046523824

则这批钢管口径的中位数为（）

A.14.00cmB.15.25cmC.16.25cmD.16.50cm

3.已知直线4:―加2%+〉—1=0,直线L:（2加—3）x+.v—3=0,则加=—3是4〃，2的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

4.已知向量3=（2,1）,B=（加一2,加），若万〃B，则卜+可=（）

A.5B.3C，V5D.V2

5.在平面直角坐标系中，将圆C：/+y2=1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短为原来的」,

3

则得到的新曲线的曲线方程为（）

22

A.—+4/=1B.9/+匕=1

94

Cl/+匕=1D.—+9/=1

94

6.在Aase中，内角4民c的对边分别为“C，且2b（sin2Z-sin5cosc）=csin2B,若点。在8C边

上，且40平分/氏4C,则40=（）

be

B.-------

b+c

也be

Vr/.---------------------D.—~-

b+cb-+c'

243

7.在电子游戏中，若甲，乙，丙通关的概率分别是一,一,一，且三人通关与否相互独立，则在甲，乙，丙中

354

恰有两人通关的条件下,甲通关的概率为（）

2167

A.—B.-C.—D.—

531313

8.当a..e时，方程e*+x+lnx=lna+0在［1,+e）上根的个数为（）

x

A.OB.lC.2D.3

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.若z在复平面内对应的点为4z+2彳=3+gi,贝1J（）

A.z的实部为1B.z的虚部为_

S7

C.|z|=4D.直线。4的倾斜角为1r

6

10.已知。为坐标原点，点R（l,o）是抛物线C:y2=2px（p〉0）的焦点，过点尸的直线交。于两点,

。为。上的动点（与均不重合），且点。位于第一象限，过点。向J轴作垂线，垂足记为点。，点

2（2,5）,则（）

A.C:j2=4xB.ZOPQ+ZFON<180°

C.|P2|+|P0|的最小值为J*D.AOAW面积的最小值为2

11.已知函数/（x）的定义域为R,则（）

A.若/⑵则/(x)是R上的单调递增函数

B.若则/⑴是奇函数

C.若/。―x)=/(l+x),且/(2—x)=/(2+x),则〃x+2)=/(x)

D-若|/卜)|=|/(-x)|，则/(x)是奇函数或/(x)是偶函数

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

ffl

12.若2加+5〃=；,则log2(4x32")=.

(jr3TL]24

13涵数/(x)=cos(GX+(p)\co>^,—<(p<—,若/(X)的一个单调递增区间为,且

353

/(o)=q，贝i/(i)=.

14.已知圆台的上、下底半径分别为r和尺，若圆台外接球的球心在圆台外，则圆台的高的取值范围是

；若R=2r=2,圆台的高为〃，且I,4、历，则圆台外接球表面积的最大值为(第

一空2分，第二空3分)

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)

在△45C中，已知内角4民。所对的边分别为见“c,且a,ac依次为等比数列｛4｝的前3项，设其公比

为q,且。＞1闯.』.

：,2卜求｛4｝的前〃项和S〃；

(1)若a=2,qG

(2)证明：当q=&时，长度为lga』gb』gc的三条线段可以构成三角形.

q

16.(本小题满分15分)

已知函数+-|-x2+2x+bsiwc(tz,Z?eR).

(1)当6=0时，若/(x)存在极大值，且存在极小值，求。的取值范围;

(2)证明：当a=2b=2时，VxeR,/,(x)>0.

17.(本小题满分15分)

如图，在四棱锥尸—48CD中，P4_L平面4BCD,AB〃CD,CD=2AB=26,PA=BC=AD=L

（1）求证：平面P8C，平面R4。；

（2）若衣=3瓦,求平面尸/£与平面P3C的夹角.

18.（本小题满分17分）

已知双曲线r：W—，=1（°>0]>0）的离心率为半，焦距为26.

（1）求:r的标准方程；

（2）若过点（o,-与作直线/分别交r的左、右两支于48两点，交：r的渐近线于c,。两点，求而的取

值范围.

19.（本小题满分17分）

将4个面上分别写有数字1,2,3,4的一个正四面体在桌面上连续独立地抛〃次（〃为正整数），设X为与桌

面接触的数字为偶数的次数，P为抛正四面体一次与桌面接触的数字为偶数的概率.

（1）当〃=5时，若正四面体的质地是均匀的，求X的数学期望和方差；

（2）若正四面体有瑕疵，即夕彳」.

2

①设P„是抛掷正四面体〃次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率，求证:

Pn=7+（1—2夕）Pi（〃..2）；

②求抛掷正四面体〃次中与桌面接触的数字为偶数出现偶数次的概率.

2025届高三年级摸底联考数学

参考答案及解析

一、选择题

1.A【解析】将N=[——F，O，g]中的元素依次代入一乙，sim;,」验证，只有—工,0满足

[463J226

—„Siwe,,—,所以McN=1—0].故选A.

22I6J

2.B【解析】因为400x50%=200为整数，所以样本数据的中位数为从小到大排列的第200个数据和第

201个数据的平均数，因为前三组的频数之和为200,所以这批钢管口径的中位数为匕吧竺二15.25cm.

2

故选B.

—2—2加一3

3.A【解析】因为/i〃，2='=加=1或加=—3,所以加二—3是4〃6的充分不必要条

—一1w-3一

件.故选A.

4.C【解析】因为G〃B，所以生=f,所以加=—2,3=（—4,—2）,万+3=（—2,—1）,所以5+可=

故选C.

5.D【解析】设尸（X4）为C上任意一点，将点尸的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标压缩到原来的g得

2

到点。（加,〃），则加=2x,〃=],所以x=£,y=3〃，因为一+/=],所以q_+9/=i,所以新的

丫2

曲线方程为工+9/=1.故选D.

4

6.C【解析】因为26（5出24-5111灰）0$。）=。5亩25,

所以由正弦定理，得251115（5山2/-$1113以万。）二5111。511125,所以

2sia5（2sin71cos/-sin5cosc）=2sia5cosHsin。，因为2siaS>0,所以

2siib4cos/-sinScosC=cos5sinC,所以2siiL4cos/二sin（5+C）,所以2sin?lcosZ=sim4,因为

sim4>0,所以COSZ=5,4W（0,71）,所以/=1,由S△切D+S.CZ。=S/BC，得

—c•ADsm—+—b-ADsm—=—bcsin—,所以AD=心g.故选C.

262623b+c

2

7.D【解析】设甲，乙，丙通关分别为事件4民。，三人中恰有两人通关为事件。,？(/)=1,P(5)=

43---

j,尸(C)=-,P(D)=P(ABCuABCuABC)=

--143

P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=-x-x-+

23L2X"上¥"

35435430v7

---7

P(ABCuABC)=P(ABQ+P(ABC)=——,

7

・”0)=露

30=2_

13-13,

30

故选D.

8.B【解析】ex+x+lnx=lntz+—ev+x=—+ln—,设函数=e'+x,现讨论方程

尸(x)=EIn：根的个数，E(x)在X.」时单调递增，故问题可转化为x+lnjc=lna根的问题，令

/z(x)=x+单调递增，故/z(x)e[1,+巧，当a..e时，方程x+lnx=Ina只有一根，所以方

程e"+x+lnx=lna+区在[1,+8)上根的个数为1.故选B.

x

二、多选题

9.AB【解析】设2=》+贝(%,j€11),因为z+2亍=3+后，所以x+yi+2(x—yi)=3x—yi=3+J§i,

3V——3ifY——1

即，厂,'广，所以A、B正确;，所以错误；对应的点/为百卜

目=+(-也y=2C2(1,-

hv=V3[y=-j3

所以直线。4的倾斜角为"，所以D错误.故选AB.

3

10.ABD[解析)A选项，由题意知券=1,故0=2,所以C：/="故A正确;B选项，由题意知PQ〃X

轴，所以/OPQ=NFOP,M\^NOPQ+NFON=NFOP+NFON=NNOP,又/NOP<180°，

即/OPQ+/R9N<180°,故B正确；C选项，由抛物线的性质知，|「国+|尸。|=，"|+|「可—1,因此

当P,4尸三点共线时，|/训+|尸川取得最小值，此时|尸国十日|=|/尸|=J(2—Ip+(5—Op=痴,即

(|P^|+|P2|)min=^6-l,故C错误；D选项，设直线"N的方程为》=叩+1,与抛物线C的方程联

立得「一4加了一4=0,故A=(—4掰y—4x(-4)=16(加2+1)〉0,%+72=4加，y[y2=-4,因止匕

|ACV|=\Jl+m21%-％|=y]l+m2-J(必+n2114K於=Vl+w2,yJ16m2+16=+11>又因为点

l-ll1

O到直线的距离为d=/,，所以的

一Ali2/—2

加之

面积为S=；"MM=7X]----¥4（M+I）=251+，当加=0时，△QW的面积取最小值2,故

2271+m

D正确.故选ABD.

11.BC【解析】A.若/(x)=Y,则但/(x)不是R上的单调递增函数，所以A错误；B.

若V/eR,当/〉0时，令t=f，因为/(/)=—/(―必)，所以/«)=—/(_/),即

当/=0时，令％2=0,因为/(1)=一/(一工2),所以/(0)=—/(—0),即/⑼=0；当/<0时，令/=_工2,

因为/(/)=-/(—1)，所以综上，VfeRJ(T)=—/()所以〃x)是奇函数，

所以B正确；C.若/。―x)=/(l+x),且以(2-x)=/(2+x),则

/(x+2)=/(2-x)=/[l+(l-x)]=/[l-(l-x)]=/(x),所以C正确；D.若

/(%)='/'」,、/,、，满足=X),但函数是非奇非偶函数,故D错误.故选BC.

x,xe(—8,—l)D(l,+8)1111

三、填空题

12.〈【解析】4mx32M=(227X(25)"=22mx25n=22m+5n=2"所以log2(4"x32")=g.故答案为g.

13.与【解析】因为/(x)的一个单调递增区间为

241「4/21].

，所以周期丁=2----=4,

[33」]313JJ

所以69==—，因为/(0)=,一<(p<，所以°=或，因为/(X)在一,,,上单调递增,

7'22223333

所以0=所以/(x)=cos[Wx+F],所以y(l)=cos1+扑方.故答案为母.

14.(0,JR2./}207r【解析】圆台外接球的球心。必在圆台的轴线上，因为。在圆台外，设O到下底

面的距离为X,则/+(/2+乃2=氏2+》2,所以x=R_一广_厅>0,所以无<,尺2_厂2,所以圆台的外

2h

/n22、2(x、2

接球表面积为S=4兀(&2+%2)=4兀尺2+4兀/=4兀尺2+4兀-----------=16兀+兀——h,因为

I2/zJ\h)

33

〃二：—〃在L,叫行时单调递减，且〃1mx=——1=2,所以Smax=167T+兀X22=2O71.故答案为

h1

(0,V^2-r2),2071.(第一空2分，第二空3分)

四、解答题

15.解：(1)因为q..L所以0<%c,

因为a,“c分别为△ASC的三边，所以a+b〉c,

所以a+aq〉aq~,

所以/_g_]<0,

1+下

所以I,q<

2

因为qe

3

所以q=j

(2)因为a>1闯.』,

所以0<lga,lg&,Ige,

因为

q

所以(Iga+Igb)-Ige=lg—=lg瞿=lg-

caqq

=lgV2>0，

所以长度为lga,lgb』gc的三条线段可以构成三角形.

16.解：(1)当b=0时，/(X)=+耳/+2x,定义域为R,

所以/'(X)=X?+ax+2,

因为/(x)存在极大值，且存在极小值，

所以ff(x)必须有两个不同的零点，

所以A=Q2—4X2>0，

所以a>2V2或a<-2-V2-

(2)当a=2〃=2时，/(x)=^x3+x2+2x+sinx,

定义域为R，

所以/'(%)=x2+2x+2+cosx=(x+1)2+(1+cosx),

当X£R时，(x+1)2...0,1+cosx..0,

所以/'(x)…0,

x=-1,

当且仅当《々时，取等号，

x--1,

因为‘x=2E+7r(左eZ)无解’

所以/'(x)＞。

17.证明：(1)如图，取CD的中点为G,连结NG,

因为CD=2AB=26，所以48=CG，

因为48〃CD,所以四边形4BCG为平行四边形,

所以ZG〃8C,

在三角形/GO中，因为/G=BC=l,4D=l,G£>=%=Ji,

2

所以/G2+ZQ2=£)G2,所以ZGLAD,

所以8CL4D,

因为上4J_平面ABCD,BC<z平面ABCD，

所以PZL8C,

因为P4c40=4P4u平面P4D,40u平面

PAD,所以3C，平面尸4。，

因为8Cu平面P3C,所以平面P8C_1_平面尸40.

(2)由/G_L4D,24,平面45CD得/G,4D,4P两两垂直，分别以4G,40,4P为再，2轴建立空间

直角坐标系，

由已知得，G（l,0,0）,D（0,l,0）,P（0,0,l）,

C（2,-1,0）,5（1,-1,0）,

—.____r~

因为EC=3DE,CD=2C，所以。£=—，又。G=

2

、历，所以E为。G的中点,

因为AD=AG,

所以GDL/E,又上4,平面48C2GDU平面48CQ,

所以R4，G£>,

因为P/c/£=4上4,/£<=平面上4£,

所以平面产/£,

所以平面上4E的法向量为0=（-1』,0）,

PC=（2,-1,-1）,P5=（1,-1,-1）,

设平面P3C的一个法向量为为=（x,y,z）,

2x-y-z=0

所以<

x-y-z=0

则x=0,令y=l,则z=-l,所以拓二（0,1,T）,

\n-GD\i1

所以平面PAE与平面四C夹角的余弦值为M一=亍一尸=-

\n\\GD\V2XV22

jr

所以平面上4E与平面必。的夹角为一.

3

18.解：（1）因为：T:*—今=1（4>0]>0）的离心率为邛，焦距为2石，

C_y[6

所以£一7',

2c=2也,

_2

解得，0=0/=1.所以r的标准方程为三―丁=1.

（2）由题意可设直线/的斜率存在，设为左，直线/的

X

方程为y=kx-l,r的渐近线方程为y=±K,

不妨设分别在左、右位置,

_X

联立,了一行，

y=kx-\,

联立