广东省2024-2025学年高三年级上册开学摸底联考数学试题（含答案解析）

=_x—x—+-x-x-+-x-x-=—,P(AD)=P(ABCuABC)=P(ABC)+P(ABC)=—,

3543543543030

7

P(A0=35=7

.*.P(A|D)=

P(D)1313

30

故选：D.

8.B

【分析】根据同型结构构造函数尸(x)=e，+x,通过其单调性转化为研究x+lnx=lna根的

问题，再利用双力=尤+lnx的单调性判定根的个数即可.

【详解】1+才+1必=111。+3=/+尤=g+111@,设函数P(x)=e'+x,

现讨论方程厂("=尸卜£|根的个数，F(x)在时单调递增，

故问题可转化为无+lux=1na根的问题，

令/i(x)=x+lnM%21)，易知h(%)单调递增，故〃(%)«1,+8),

当Q2e时，方程九+lnx=lna只有一根，

所以方程e,+x+Inx=Ina+4在[1,+«＞)上根的个数为1.

x

故选：B.

【点睛】思路点睛：注意观察式子，通过指对转化构造同型结构，再构造函数研究其单调性、

判定根的个数即可.

9.AB

【分析】利用复数的概念及共辗复数的定义、复数的模长公式与几何意义计算即可.

【详解】设z=x+M(x,yeR),

因为z+2彳=3+\/3i,所以x+yi+2(x—ji)=3x—yi=3+>/3i,

3x=3[x=1,

即＜厂,，＜r,所以A、B正确；

—y=73[y=-V3

|z|=、F+(一后=2,所以C错误；

z对应的点A为(1,一百)，所以直线。4的倾斜角为g,所以D错误.

故选：AB.

答案第3页，共13页

10.ABD

【分析】利用焦点坐标可判定A,利用平行线性质化两角和为一个角可判定B,利用抛物线

的定义化折线段和为直线段可判定C,设的方程利用点到直线的距离公式及弦长公式计

算面积，并根据二次函数的性质求最值即可.

【详解】对于A选项，由题意知］=1,故。=2,所以。:V=以，故A正确；

对于B选项，由题意知P0//X轴，所以/。尸。=//。「，

所以NOPQ+NFON=ZFOP+NFON=NNOP,

又一NOP<180,即/0/5。+/歹0可<180,故B正确；

对于C选项，由抛物线的性质知，\PA\+\P^=\PA\+\PF\-1,

因此当P,4尸三点共线时，|*+归尸|取得最小值,

此时|PA|+|尸盟=|=J(2-1)?+(5-0)2=V26,

即(|/科+p0)3=原一1,故C错误；

对于D选项，设直线"N的方程为x=my+l,

与抛物线C的方程联立得/-4my-4=0,

故△=(-4加尸-4x(-4)=16(疗+1)>0,%+%-4m,yxy2=-4,

因it\MN\=sjl+m21%%|=\ll+m2--4%为

=A/1+>n2■\/16m2+16=4(M2+1),

-11

又因为点。到直线MN的距离为久=/,

\l+m7l+m

22

所以的面积为S==—x,1x4(m+1)=2,1+m

2\'

当力=0时，二沏的面积取最小值2,故D正确.

故选：ABD.

答案第4页，共13页

11.BC

【分析】举反例可排除A、D,利用奇函数的定义结合换元法可判定B,利用

/(x+2)=/(2-x)=/[l+(l-x)]=f[l-(l-x)]=f(x)即可判定C.

【详解】对于A,若/(x)=d,则〃2)>〃1),

但/(X)不是R上的单调递增函数，所以A错误；

对于B,若VteR,当f>0时，令/=/,

因为/(尤2)=一/(-/)，所以/(。=一/(-)，即/(T)=_/«);

当，=0时，令/=o,因为/卜2)=一]一无2),所以/(o)=_〃_o),即/⑼=0；

当/<0时，令/=一/，因为尤2)=一/(_/),所以/(-)=一/«),

综上，VteR,/(-)=-/1),所以是奇函数，所以B正确；

对于C,若/(1T)=/(1+X),且〃2T)=/(2+X),

则〃x+2)=〃2-x)=f[l+(l-切=/[1一(1一x)]=〃x),所以C正确；

对于D,若〃满足’(小|〃川，

但函数是非奇非偶函数，故D错误.

故选：BC.

【点睛】思路点睛：对于抽象函数的性质综合问题，可通过构造函数或利用单调性、奇偶性、

对称性等定义一一判定选项.

12.-/0.5

2

【分析】根据指数暴的运算化简，再由对数的运算性质求解.

答案第5页，共13页

1

【详解】因为4mX32"=02J"X（25）"=22mX25«=22m+5n=2刁，

J_1

所以Iog2（4"‘x32"）=log225=：.

故答案为：—.

2

13.且

2

【分析】利用余弦函数的单调区间先计算周期得出。，结合/（o）=-：确定。，从而求出解

析式计算函数值即可.

「24-

【详解】因为“X）的一个单调递增区间为,

所以周期T=2=4,所以。=/=楙，

因为/（。）=一所以夕或与，

因为/（X）在K上单调递增，所以9=4，所以〃x）=cos，+F|,

所以/6=cos[]+t]=#.

故答案为：旦

2

14.（0,,R2T2）20兀

【分析】利用圆台的特征确定外接球球心的位置，结合勾股定理解方程与不等式可得第一空;

再利用球体的表面积公式结合函数的单调性计算最大值即可.

【详解】圆台外接球的球心。必在圆台的轴线上，因为。在圆台外，则球心在下底面下方,

设。到下底面的距离为无，则/+（/7+尤）2=我+尤2,所以*=.«2广―/户＞0,

2h

所以o＜〃＜收一尸,

所以圆台的外接球表面积为S=47t（R2+x2）=4成2+4m2=4成2+4/

2

=16n+7r|--//

U

33

易知在应时单调递减，且/ax=；—1=2,

n1

答案第6页，共13页

所以Smax=16兀+兀X22=2°7T-

【点睛】思路点睛：根据圆台的特征容易判定外接球球心的位置，利用勾股定理建立方程,

解不等式可判定圆台高的范围；表示出外接球的表面积，利用函数的单调性计算最大值即可.

3

15.(l)5„=4x

(2)证明见解析

【分析】(1)由题意可得a+6>c,求得4的范围，再由等比数列的前“项和公式求解;

(2)根据题意可得0<lga<lg6Vlgc,作差判断lga+lg6>lgc即可得解.

【详解】(1)因为"21,所以0<a<b<c,

因为a,6,c分别为VABC的三边，所以a+6>c,

所以a+aq>aq1,即/-1-1<。，

解得1<4<上手，又因为

所以q=(3,

又4=2,所以S.=4x-1,

(2)因为。>1应21,所以IcaVbVc,

则0<IgaWIgb<Ige,

答案第7页，共13页

因为9=0,

q

所以(馆4+/6)_坨。=/皿=吆巴？=坨q=坨6'>0,

caq-q

即lga+lg6>lgc,

所以长度为lg4,lg6,lgc的三条线段可以构成三角形.

16.⑴a>20或a<-20

(2)证明见解析

【分析】(1)利用导数研究函数的极值，结合判别式计算即可；

(2)直接得出导函数，利用余弦函数的有界性及二次函数的性质证明即可.

【详解】⑴当人=0时，f(x)=1x3+|x2+2%,定义域为R,

所以/'(X)=公+ax+2,

因为/(X)存在极大值，且存在极小值，

所以/'(x)必须有两个不同的零点，

所以A=O2-4X2>0,

所以。>20或。<-2血.

(2)当a=2b=2时，/(x)=—%^+%2+2x+sin%,

定义域为R,

所以/'(尤)=尤2+2尤+2+CO&X=(x+l)2+(l+co&x),

当xeR时，(X+1)2N0,1+COSA:20,

所以/(X)N0,

X——1,

当且仅当Z,7、时，取等号，

x=2E+兀(左G

因为[%x=-2也1,+71(鹿2)无解’

所以/'(x)>0.

17.(1)证明见解析

答案第8页，共13页

吗

【分析】（1）取CD中点G,得出四边形A3CG为平行四边形，利用勾股定理逆定理先判定

AGLAD,再利用线面垂直的性质与判定得出BC_L平面PAD,即可得出面面垂直；

（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面夹角即可.

【详解】（1）如图，取C。的中点为G,连结AG,

P

C

因为CD=2AB=2近，所以AB=CG,

因为AB//CD,所以四边形ABCG为平行四边形，

所以4G/ABC,

在三角形AGD中，因为AG=3C=AO=1,G£）=^=应，

所以AG2+AO2=DG2,所以AG_LAD,则BC_LAD,

因为R4_L平面ABCOBCu平面ABCD,所以PA_L3C,

因为PAAO=AR4、ADu平面上M>,所以3C_L平面PAD,

因为BCu平面P3C,所以平面尸3C_L平面PAD.

（2）由AGLAD,E4J_平面ABC。得AG,AD,AP两两垂直，分别以43,4。,人尸为彳》/轴

建立空间直角坐标系，

C

由己知及（1）得，G（l,0,0）,Z）（0,l,0）,P（0,0,l）,C（2,-1,0）,5（1,-1,0）,

答案第9页，共13页

L

因为£^=3。48=2攻，所以。E=J,

2

又£>G=&,所以E为DG的中点，

因为AD=AG,所以卅]对，

又PA_L平面ABCRGDu平面ABCD,所以B4_LGD,

因为PAcAE=APA,AEu平面B4E,

所以GO_L平面R1E,所以平面24£1的法向量为GD=(-1,1,O),

PC=(2,-1-1),PB=(1,-1,-1),设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z),

[2x-y-z=0./、

所以-C,则x=0,令＞=1,则Z=—1,所以〃

[x-y-z=O

\n-GD\ii

所以平面B4E与平面PBC夹角的余弦值为%~=~f=-7==-,

\n\\GD\J2xj22

71

所以平面与平面PBC的夹角为§.

v.2

18.(1)--/=1

(2)(1,/]

【分析】（1）根据题意列出”,b,c的方程运算得解；

（2）设直线/的方程为y=履-1,代入双曲线方程，利用直线与双曲线左右相交求得％的范

围，由弦长公式求得|4B|,再求得的坐标得线段|8|长，然后计算比值，由％的范围求

得结论.

【详解】（1）因为「：［-《=1（。>01>0）的离心率为四，焦距为2vL

ab2

£=V|

所以,。2,解得a=A/2,C=6，所以Z?2=3_2=l.

2c=26

所以r的标准方程为J-y2=l.

（2）由题意可知直线/的斜率存在，设直线/的方程为y=丘-1,双曲线「的渐近线方程为

答案第10页，共13页

X

y=±忑'

X

不妨设CD分别在左、右位置，联立得％

42k-l

y=kx-1

联立'y二一忑,

得XD

y/2k+l

y=kx-1

点

22Jl+Z?

所以==yjl+kX

叵+1K-1!

联立，下一，2=1,得(1—2用/+4爪_4=0,

y=kx-1

4k-4

设4(%1，%),8(%2，丫2)，则%+%2-77T9xix2=：-7/T'

1—Z/C