2024年中考数学专项复习：图形的折叠

中考真题—折叠

选择题（共6小题）

1.（2023•牡丹江）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作:

第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形防，然后把纸片展平；

第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕如图②.

根据以上的操作，若AB=8,AD=\2,则线段3M的长是（）

A.3B.y/5C.2D.1

2.（2023•无锡）如图，正方形ABCD的边长为2,Af是AD的中点，将四边形ABCM沿CM翻折得到四边

形EFCM,连接DF,贝!Jsin/D尸E的值等于（）

,屈口3丽「出n26

101055

3.（2023•黄石）如图，有一张矩形纸片ABCD.先对折矩形使仞与重合，得到折痕防，把

纸片展平.再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点3,得到折痕•，同时得到线段3N,

MN.观察所得的线段，若AE=1,则MN=（）

A.—B.1C.空D.2

23

4.（2023•浙江）如图，已知矩形纸片ABCD,其中AB=3,BC=4,现将纸片进行如下操作:

第一步，如图①将纸片对折，使钻与DC重合，折痕为EF,展开后如图②;

第二步，再将图②中的纸片沿对角线BD折叠，展开后如图③;

第三步，将图③中的纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在对角线上的点H处，如图④.则的长

为（）

5.（2022•湖州）如图，已知80是矩形ABCD的对角线，AB=6,3c=8,点E,厂分别在边AD,3c上,

连结BE,DF.将A/WE沿跳翻折，将ADCF沿小翻折，若翻折后，点A,C分别落在对角线班）上的

点、G,H处,连结GF.则下列结论不正确的是（）

6.（2021•丽水）如图，在RtAABC纸片中，NACB=90。，AC=4,BC=3,点、D,E分别在AB,AC上，

连结DE,将AADE沿DE翻折，使点A的对应点P落在6C的延长线上，若FD平分ZEFB,则AD的长为

（）

A.史B."C.丝D.亚

9877

7.（2023•徐州）如图，在RtAABC中，ZC=90°,C4=CB=3,点。在边3C上.将AACD沿AD折叠,

使点C落在点C处，连接则8c的最小值为

8.（2023•襄阳）如图，在A40c中，AB=AC,点。是AC的中点，将ASCD沿瓦）折叠得到ABED,连

接AE.若DE_LAB于点P,BC=1O,则AF的长为

9.（2023•成都）如图，在RtAABC中，ZABC=90°,CD平分NACB交回于点。，过。作DE/ABC交AC

AG7

于点E,将ADEC沿DE折叠得到AD£F,OF交AC于点G.若一=—,则tanA=

GE3

10.（2023•济南）如图，将菱形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点。落在射线C4上的点E处，折痕CP

11.（2023•吉林）如图，在RtAABC中，ZC=90°,BC<AC.点。，E分别在边AB,BC±,连接DE,

将ABDE沿DE折叠，点3的对应点为点8,若点笈刚好落在边AC上，NCB'E=30。，CE=3,则的

长为__________

12.（2023•邵阳）如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=^,动点尸在矩形的边上沿5-CfOfA运

动.当点尸不与点A、3重合时，将AAB尸沿针对折，得到△A笈尸，连接CB,则在点尸的运动过程中，

线段CB，的最小值为.

B1

P

13.（2023•朝阳）在矩形ABCD中，AB=5,3C=6,点〃是边4）上一点（点A/不与点A,。重合）,

连接CM，将ACDM沿CM翻折得到ACNM,连接AN,DN.当AAM）为等腰三角形时，DM的长为.

第13题

14.（2023•南京）如图，在菱形纸片ABCO中，点E在边四上，将纸片沿CE折叠，点3落在玄处，CBVAD,

垂足为尸.若CF=4cm,FB'=1cm,则5E=cm.

15.（2023•齐齐哈尔）矩形纸片ABCD中，AB=3,BC=5,点M在AD边所在的直线上，且DM=1,

将矩形纸片ABCD折叠，使点3与点M重合，折痕与4）,3c分别交于点E,F,则线段所的长度

为.

16.（2023•凉山州）如图，在RtAABC纸片中，ZACB=90°,CD是AB边上的中线，将AACD沿CD折叠,

当点A落在点A处时，恰好若3c=2,贝|GV=

第16题第17题

17.（2023•娄底）如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将AADE沿/石折叠，点。恰好落在边3c上的点厂

4

处，若3C=10,sinZAFB=-,则DE=

5

3

18.（2023•深圳）如图，在AABC中，AB^AC,tanB=—,

4

点。为3c上一动点，连接兑）,将AAfiD沿4）翻折得到

AADE,DE交AC于点、G,GE<DG,且AG:CG=3:1,则

S三角形4GE_

'三角形ADG

19.（2023•黑龙江）矩形ABCD中，AB=3,AD=9,将矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点3落在点

E处,若AADE是直角三角形，则点E到直线3c的距离是.

20.（2023•随州）如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=4,M是边A5上一动点（不含端点），将AA9W

沿直线对折，得到A7VDM.当射线&V交线段于点尸时，连接DP,则ACD尸的面积为；DP

的最大值为—.

21.（2023•南充）如图，在等边A4BC中，过点C作射线CD_LBC,点V,N分别在边3c上，将AABC

沿折叠，使点3落在射线CD上的点8处，连接ABL已知AB=2.给出下列四个结论：①CN+NB1

为定值；②当BN=2NC时，四边形为菱形；③当点N与C重合时，N/0M=18。；④当AB，最短

时，MN=U.其中正确的结论是______.（填写序号）

20

22.（2022•嘉兴）如图，在扇形AQB中，点C,。在AB上，将CD沿弦CD折叠后恰好与。4,08相切

于点E,F.已知NAQ8=120。，04=6,则EF的度数为____,折痕CD的长为____.

Fn

0FBBMC

第22题第23题

23.（2022•台州）如图,在菱形ABCD中,N4=60。，AB=6.折叠该菱形，使点A落在边3C上的点M

处，折痕分别与边AB,AD交于点E,F.当点M与点3重合时，EF的长为____;当点”的位置变化

时，DF长的最大值为

24.（2021•杭州）如图是一张矩形纸片ABCD,点M是对角线AC的中点，点E在3c边上，把ADCE沿

直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点尸处，连接OF,EF.若MF=AB,则NZMF=度.

25.（2020•杭州）如图是一张矩形纸片，点E在AS边上，把ABCE沿直线CE对折，使点3落在对角线AC

上的点尸处，连接止.若点E,F,。在同一条直线上，AE=2,则/m=,BE=.

26.（2019•杭州）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF,G//折叠（点E,H在AD边上，点F,G在3C边

上），使点3和点C落在4）边上同一点尸处，A点的对称点为A，点，D点的对称点为〃点，若NFPG=90。，

△川¥的面积为4,△DTH的面积为1,则矩形ABCD的面积等于

三.解答题（共4小题）

28.（2023•无锡）如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，/4=60。，点。为CD的中点，尸为线段AB上

的动点，现将四边形PBCQ沿PQ翻折得到四边形PB'C'Q.

（1）当NQPB=45。时，求四边形BMC'C的面积；

（2）当点尸在线段上移动时，设=四边形33'C'C的面积为S,求S关于x的函数表达式.

27.（2023•泰州）如图，矩形ABCD是一张A4纸，其中=,小天用该A4纸玩折纸游戏.

游戏1折出对角线BD,将点3翻折到ND上的点E处，折痕AF交33于点G.展开后得到图①，发现点

F恰为3C的中点.

游戏2在游戏1的基础上，将点C翻折到上，折痕为成；展开后将点3沿过点尸的直线翻折到族上

的点”处；再展开并连接G8后得到图②，发现NAGH是一个特定的角.

（1）请你证明游戏1中发现的结论；

（2）请你猜想游戏2中ZAGH的度数，并说明理由.

29.（2023•通辽）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学

操作过程如下：

操作一：对折正方形纸片ABCD,使AD与重合，得到折痕把纸片展平；

操作二：在AD上选一点P,沿3P折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM,BM,

延长尸M交CD于点Q,连接BQ.

（1）如图1,当点在EF上时，ZEMB=度；

（2）改变点P在AZ）上的位置（点P不与点A,。重合）如图2,判断与NCBQ的数量关系，并说

明理由.

30.（2023•湖北）如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线折叠，使点3的对应点M落在边相＞上（点

M不与点A,D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点尸，折痕分别与边CD交于点E,F,

连接3M.

Cl）求证：ZAMB=ZBMP-,

（2）若DP=1,求MD的长.

F

BC

2023年中考真题—折叠

参考答案与试题解析

一.选择题（共6小题）

1.（2023•牡丹江）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作:

第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形脑跖，然后把纸片展平;

第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点尸处，得到折痕如图②.

根据以上的操作，若AB=8,AD=12,则线段3M的长是（）

D.1

【分析】由矩形的性质得DC=AB=8,BC=AD=n,NBAD=NB=90°,由折叠得47年=NB=90。,

AF=AB=8,所以四边形是正方形，则鹿=EF=AB=8,ZBEF=90°,所以£M=8—

FM=CM=12—BM,由勾股定理得(8-BM)2+82=(12-BAO：求得BM=2,于是得到问题的答案.

【解答】解：如图①，•.,四边形ABCD是矩形，AB=8,AD=\2,

：.DC=AB=8,BC=AD=12,ZBAD=ZB=90°,

由折叠得NA；石==90。，

四边形ABEF是矩形，

•••AF=AB=8,

，四边形ABEF是正方形，

:.BE=EF=AB=8,ZBEF=90。,

如图②，由折叠得=

•1-EM2+EF2=FM~,S.EM=8-BM,FM=CM=12-BM,

(8-BM)2+82=(12-BM)2,

解得BM=2,

故选：C.

【点评】此题重点考查正方形的判定与性质、矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，推导出

EM=8-BM,FM=CM=12—BM,是解题的关键.

2.（2023•无锡）如图，正方形ABCD的边长为2,A/是AD的中点，将四边形ABOW沿CM翻折得到四边

形EFCM,连接AF,贝UsinNZ阳E的值等于（）

【分析】延长CF，AD交于G,过。作。H_LCG于"，由正方形ABCD的边长为2,又是AD的中点，

将四边形ABCA/沿CM翻折得到四边形EFCM,可得NBCN=NGCM,CF=BC=2,从而

ZDMC=ZGCM,GM=GC,15DG=x,iSRtADCG中有f+2?=（x+lp,解得£）G=L5,GC=x+l=2.5,

求出FG=GC—CF=0.5,用面积法可得£归="0cp=1.2,即得GH=《DG”-DH?=0.9,

GC

FH=GH-FG=OA,用勾股定理得DF=4FH°+DH2=2叵；可得sinNFDH=%=叵,而

5DF10

ZFDH=ZDFE,fesinZDFE^—.

10

【解答】解：延长CF,交于G,过。作。H_LCG于〃，如图：

•.•正方形ABCD的边长为2,"是4）的中点,

:.AD//BC,DM=-AD=l,

2

:.ZDMC=ZBCM,

•.•将四边形ABCM沿CM翻折得到四边形EFCM,

:.ZBCM=ZGCM,ZEFC=ZB=90°,CF=BC=2,

.\ZDMC=ZGCM,

:.GM=GC,

设。G=x,则GA/=x+l=GC,

在RtADCG中，DG2+CD1=GC2,

X2+22=(X+1)2,

解得x=1.5,

.\DG=1.5,GC=%+1=1.5+1=2.5,

:.FG=GC-CF=2.5-2=0.5,

\2SACDG=DGCD=CGDH,

Qi

GH=^DG2-DH2=Vl-52-l-22=0.9,

:.FH=GH-FG=0.9-0.5=0A,

:.DF=-jFH2+DH2=7O-42+1-22

:.sinNFDH=里="=叵,

DF2回10

5

•・・/EFC=ZDHC=90。，

:.DH//EF,

.\ZFDH=ZDFE,

•/n”回

sinNDFE=-----；

10

故选：A.

【点评】本题考查正方形中的翻折问题，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握正方形性质和翻折的性

质.

3.(2023•黄石)如图，有一张矩形纸片ABCD.先对折矩形ABCD,使AD与3c重合，得到折痕£F,把

纸片展平.再一次折叠纸片，使点A落在所上，并使折痕经过点8,得到折痕同时得到线段3N,

MN.观察所得的线段，若AE=1,则MN=()

A.—B.1C.—D.2

23

【分析】根据折叠的性质得到==1,AB=2AE=2,ZAEF=ZBEN,BN=AB=2,

ZABM=ZNBM,ZBNM=ZA=90°,求得BE=^BN,根据直角三角形的性质得到N3NE=30。，求得

2

NEBN=60。，于是得到结论.

【解答】解：•对折矩形A3CD,使AD与BC重合，得到折痕£F,

：.AE=BE=1,AB=2AE=2,ZAEF=ZBEN=9Q°,

•.,折叠纸片，使点A落在跖上，并使折痕经过点3,

:.BN=AB=2,ZABM=ZNBM,ZBNM=ZA=90°,

:.BE=-BN,

2

:.ABNE=30。,

：.ZEBN=60°,

ZABM=ZMBN=30°,

:.MN=—BN=^,

33

故选：C.

【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题

的关键.

4.（2023•浙江）如图，已知矩形纸片ABCD,其中43=3,BC=4,现将纸片进行如下操作：

第一步，如图①将纸片对折，使9与ZX7重合，折痕为EF,展开后如图②；

第二步，再将图②中的纸片沿对角线班＞折叠，展开后如图③；

第三步，将图③中的纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在对角线上的点H处，如图④.则的长

为（）

【分析】过点M作MGJ.BD于点G,根据勾股定理求得3D=5,由折叠可知BE=CE=E"=1BC=2,

2

ZC^ZEHM=90°,CM=HM,进而得出5E=EH,ZEBH=ZEHB,利用等角的余角相等可得

13

ZHDM=ZDHM,贝=于是可得DM=HM=CM=—CD=—,由等腰三角形的性质可得

22

DH=2DG,易证明AMGE^A^CD,利用相似三角形的性质即可求解.

【解答】解：如图，过点M作MG_LBD于点G,

・・•四边形ABCD为矩形，AB=3,BC=4,

.・.AB=CD=3,ZC=90°,

在RtABCD中，BD=ylBC2+CD2=742+32=5,

根据折叠的性质可得，BE=CE=-BC=2,ZC=ZEHM=90°,CE=EH=2,CM=HM,

2

:.BE=EH=2,

「.ABEH为等腰三角形，ZEBH=ZEHB,

・・•ZEBH+ZHDM=90°,

NEHB+ZDHM=90。,

:.ZHDM=ZDHM,

.•.ADHM为等腰三角形，DM=HM,

13

:.DM=HM=CM=-CD=~,

22

\-MG±BD,

:.DH=2DG,ZMGD=/BCD=9伊,

\ZMDG=ZBDC,

..AMGD^ABCD,

3

DGDMHnDG2

CDBD35

:.DG=—,

10

9

:.DH=2DG=—,

5

故选：D.

【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判

定与性质，根据矩形和折叠的性质推理论证出DM=碗，以此得出点M为8的中点是解题关键.

5.（2022•湖州）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB=6,BC=8,点、E,尸分别在边AO,BC±,

连结5E,DF.将AABE沿BE翻折，将ADCF沿DF翻折，若翻折后，点A,。分别落在对角线上的

点G,H处,连结G尸.则下列结论不正确的是（）

A.BD=10B.HG=2C.EG//FHD.GFIBC

【分析】由矩形的性质及勾股定理可求出庭）=10；由折叠的性质可得出AB=bG=6,CD=DH=6,则

可求出GH=2；证出NA=NHGE=NC=NDHF=90。，由平行线的判定可得出结论；由勾股定理求出CF=3,

根据平行线分线段成比例定理可判断结论.

【解答】解：・.・四边形ABCD是矩形,

,\ZA=90°,BC=AD,

,/AB—6,BC=8,

BD=^AB2+AD~=762+82=10,

故A选项不符合题意；

,将AABE沿BE翻折，将ADCF沿DF翻折，点A,C分别落在对角线BD上的点G,H处,

..AB=BG=6,CD=DH=6,

:.GH=BG+DH—BD=6+6—10=2,

故B选项不符合题意；

•・,四边形ABCD是矩形，

.-.ZA=ZC=90°,

・・•将沿5石翻折，将ADCF沿DF翻折，点A,。分别落在对角线BD上的点G,H处,

:.ZA=ZBGE=Z.C=ZDHF=90°,

:.EG//FH.

故。选项不符合题意；

・.・GH=2,

:.BH=DG=BG-GH=6-2=4,

设FC=HF=x,贝|6尸=8—九，

/.X2+42=(8-X)2,

.'.x=3,

,\CF=3,

BF_5

..----=—，

CF3

pBG63

乂:---=—二一，

DG42

BFBG

••—w---，

CFDG

若G〃_L5C,则Gb//CD,

BF_BG

~CF~~DG'

故。选项符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，平行线的判定，熟练掌握折叠的性质是解题的

关键.

6.(2021•丽水)如图，在RtAABC纸片中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,点D,E分别在AB,AC上，

连结DE,将AAZ组沿DE翻折，使点A的对应点尸落在3c的延长线上，若FD平分NEFB,则AD的长为

B

G

A."B.丝C.丝D.里

9877

【分析】由翻折得出=ZA=ZDFE,再根据ED平分NETB,得出NDFH=NA,然后借助相似

列出方程即可.

【解答】解：作DHLBC于H,

在RtAABC纸片中，ZACB=9Q°,

由勾股定理得：AB=旧+4。=5,

将AADE沿DE翻折得ADEF，

:.AD=DF,ZA=ZDFE,

•.•㈤平分NEFB,

:.ZDFE=ZDFH,

:.ZDFH=ZA,

设。/=3x,

3

在RtADHF中，sinZDFH=smZA=-,

5

:.DF=5x,

.'.BD=5—5x,

•ZDHs/^BAC,

.BD_DH

"AB-AC?

5-5x_3x

一5

4

x=一,

7

:.AD=5x=—

7

故选：D.

【点评】本题考查了以直角三角形为背景的翻折问题，紧扣翻折前后对应线段相等、对应角相等来解决问

题，通过相似表示线段和列方程是解题本题的关键.

二.填空题（共20小题）

7.（2023•徐州）如图，在RIAABC中，ZC=90°,C4=CB=3,点。在边上.将AACD沿AD折叠,

使点C落在点C处，连接3C,则3C的最小值为_3忘-3_.

【分析】由折叠性质可知AC=AC'=3,然后根据三角形的三边不等关系可进行求解.

【解答】解：♦.・NC=90。，CA=CB=3,

AB=VAC2+BC-=372,

由折叠的性质可知AC=AC=3,

­.BC..AB-AC',

.,.当A、C13三点在同一条直线时，3C'取最小值，最小值即为BC=AB-AC=3&-3,

故答案为3应-3.

【点评】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角形的三边不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质

及三角形的三边不等关系是解题的关键.

8.（2023•襄阳）如图，在AABC中，钻=AC,点。是AC的中点，将ABCD沿瓦）折叠得到AB即，连

接AE1.若于点/，3c=10,则/IF的长为2M.

A

【分析】取BC中点H,连接AH,作DG_LBC,QMJ_3E,设EF=a,由折叠的性质得到AD=CD=DE=x,

得到cosNABC=cosNB£D,从而推导出a=生，由三角形中位线定理得到2G="，从而推导出

x2

AEMD=ACGD(AAS),得到四边形AffiGD是正方形，DG=y,AH=15,最后利用勾股定理解答即可.

【解答】解：取3C中点〃，连接过点。作£)G_L3c于点G,DMLBE于点M.

设EF=a,AD=CD=DE=x,贝!I。b=x—a.

:AB=AC,

:.AB^2x,ZABC=ZACB,BH=HC=5.

又由折叠得NACB=N3ED,BE=BC=10,

:.ZABC=ZBED,

RHFF

cosZABC=cosZBED,即——=——，

ABEB

.5_a

"2^-io?

解得：a=—

x

/.D八b厂=x—a=x---2-5-,

x

♦:D是AC中点，DG上BC,

/.DG是AAHC的中位线，

:.CG=-CH=-,

22

由折叠知NDE"=NDCG,ED=CD,

在AEWD和ACGD中，

/DEM=ZDCG

</DME=ZDGC,

ED=CD

\EMD=ACGD(AAS),

,\DG=MD.

.\ZEFB=90°,

..NDEB+NEBF=90。.

又・・・NC4H+NACB=90。，且NACB=ND£B,

:.ZEBF=/CAH,

:.ZEBF+ZABC=9G0,

/.ZDMB=ZMBG=ZBGD=90°

四边形MHGD是正方形，

DG=BG=—,

2

..AH=2DG=15.

在RtAAHC中，AH2+HC2=AC2,

/.152+52=(2X)2,

解得：x=%何，

2

,_3®日ns_5而“_3厢

..Q=，10,x—ci-----,即AD—--------,DF=--------,

222

在RtAAFD中，AF=\/AD2-DF2=2A/10.

【点评】本题考查了折叠的性质，垂直平分线的性质，勾股定理等，解答本题的关键是设边长，根据勾股

定理列方程求解.

9.(2023•成都)如图，在RtAABC中，ZABC=90°,CD平分NACB交至于点£),过。作DE//BC交AC

于点E,将ADEC沿DE折叠得到ADEF,DF交AC于点G.若史=工，则tanA=迎.

GE3一7一

A

F

【分析】过点G作601._0石于M,证明ADGESACGD,得出DG2=GEXGC,根据AD//GM,得

—=^=-,设GE=3左，AG=lk,EM=3n,DM=1n,贝UEC=OE=10〃，在RtADGM中，

EGEM3

GM2=DG2-DM2,RtAGME+GM2=GE2-EM2,贝！JDG?—DM?"GE^_,角军方程求得心左，

4

Q

则上"=-3GE=3k,用勾股定理求得GM,根据正切的定义，即可求解.

4

【解答】解：过点G作石于M,如图，

・・・CD平分NAC6交于点O,DE//BC,

.-.Z1=Z2,N2=N3,

/.Z1=Z3,

/.ED=EC,

・・・将ADEC沿DE折叠得到AD£F,

.•.Z3=N4,

「.N1=N4,

又•：ADGE=/CGD,

..ADGE^ACGD,

.DGGE

一~CG~~DG"

:.DG?=GExGC,

•/ZABC=90°,DEIIBC,

.\AD±DE,

,\AD//GM,

AGDM

ZMGE=AA,

~GE~~EM

AG_7

GE-3,

DMJI

设GE=3左，EM=3n,则AG=7左，DM=Qn,

EC-DE=10〃，

DG2=GExGC=3kx(3左+10〃)=9k2+30foz,

在RtADGM中，GM2=DG1-DM2,

在RtAGME中，GM2=GE2-EM2,

DG2-DM2=GE2-EM2,

即9k2+30kn-(Tn)2=(3k)2-(3?z)2,

3

角毕得：n=—k,

4

9

:.EM=-k,

4

♦：GE=3k,

4EM43近

tanA=tan/EGM=-----

GM

4

故答案为:浮.

【点评】本题考查了求正切，折叠的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定,

熟练掌握以上知识是解题的关键.

10.（2023•济南）如图，将菱形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点。落在射线C4上的点E处，折痕CP

交4）于点P.若NABC=3O。，AP=2,则PE的长等于—行+病

【分析】由四边形ABCD是菱形和折叠可求NE=30。，过点A作AFLPE于点P,从而把AAPE转化为两

个直角三角形，进而解决问题.

【解答】解：过点A作AFLPE于点

•.,四边形ABCD是菱形，

:.ZD=ZABC=30°,AD=CD,

ADAC=180°—/"=75o,

2

由折叠可知：ZE=ZD=30°,

:.ZAPE=ZDAC-ZAEP=45°,

在RtAAPF中，PF=AP-cosNAPE,

PF=AF=2XCOS45°=A/2,

Ap

在RtAAEF中，tan/AEP=——

EF

taAnF3^+6

EF=

3

:.PE=PF+EF=y/2+y/6,

故答案为：A/2+A/6.

【点评】本题考查了菱形的性质，图形的折叠，解直角三角形等内容，解题的关键添加适当的辅助线构造

直角三角形解决问题.

11.（2023•吉林）如图，在RtAABC中，ZC=90°,BC<AC.点。，E分别在边AB,BC±.,连接DE,

将ASDE沿QE折叠，点5的对应点为点8,若点8刚好落在边AC上，NCB'E=30。，CE=3,则的

长为9.

【分析】根据折叠的性质以及含30。角的直角三角形的性质得出B'E=3E=2CE=6即可求解.

【解答】解：•将ABDE沿DE折叠，点3的对应点为点夕，若点夕刚好落在边AC上，

在RtAABC中，ZC=90%BC<AC,ZCB'E=3Q°,CE=3,

:.B'E=BE=2CE=6,

:.BC=CE+BE=3+6=9.

故答案为：9.

【点评】本题考查了折叠的性质，含30。角的直角三角形的性质熟练掌握以上性质是解题关键.

12.（2023•邵阳）如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=布,动点尸在矩形的边上沿5-CfOfA运

动.当点尸不与点A、3重合时，将AAB尸沿AP对折，得到△A笈尸，连接CB,则在点尸的运动过程中，

线段CB，的最小值为—而-2_.

【分析】根据折叠的性质得出夕在A为圆心，2为半径的弧上运动，进而分类讨论当点P在BC上时，当点

P在DC上时，当P在AD上时，即可求解.

【解答】解：在矩形ABCD中，AB=2,AD=币，

BC=AD=y/l,AC=dBC2+AB2=，7+4=而,

如图所示，当点尸在BC上时，

■.■AB'^AB=2,

.二3'在A为圆心，2为半径的弧上运动,

当A,B',C三点共线时，CE最短，

此时C8'=AC—AB'=VH—2,

当点尸在OC上时，如图所示,

当p在"）上时，如图所示，此时CQ>JTT-2,

综上所述，的最小值为而-2,

故答案为：A/1T-2.

【点评】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的

关键.

13.（2023•朝阳）在矩形A3CO中，AB=5,3c=6,点M是边4）上一点（点M不与点A,。重合）,

连接CM,将ACDM沿CM翻折得到ACNM,连接4V,DN.当AA7VD为等腰三角形时，的长为

【分析】由矩形的性质得CD=AB=5,AD=BC=6,ZADC=90°,设LW与CM交于点T,由翻折的性

质得DT=NT,DM=NM,CM±DN,ZCNM=CDM=90°,分两种情况讨论如下:

①当4V=£W时，过点N作于X,贝I]AH=OH=3,设MD=x,贝UM/=3-x,MN=X,由

勾股定理得：HN=y]6x-9,证AA归DsAMDC,得NH:DM=HD:CD,即&x-9:x=3:5,由此解出x

即可；

②当DN=AD时，贝IZ)N=6,贝1IOT=77V=3,由勾股定理求出CT=4,证AD7MsAC7M,得

MD:CD=DT:CT,即MD:5=3:4,由此求出MD即可.

【解答】解：•四边形ABCD为矩形，AB=5,BC=6,

.-.CD^AB=5,AD^BC=6,ZADC=90°,

设DN与CM交于点、T,

由翻折的性质得：DT=NT,DM=NM,CMLDN,NCNM=CDM=90°,

•.•A/WD为等腰三角形，

有以下两种情况：

①当4V=ZW时，过点N作而_LAD于〃，贝l」AH=DH=3,如图：

^MD=x,贝ijMW=3—x,MN=x,

在RtAMNH中，由勾股定理得：HN=^MN2-MH2=>j6x-9,

■：ZADC=9Q°,CM1DN,

ZDCM+ZNDC=90°,ZADN+ZNDC^90°,

:.ZDCM=ZADN,

又ZADC=NNHD=90°,

ANHD^AMDC,

,\NH:DM=HD:CD,

即J6x-9:x=3:5,

整理得：3X2-50X+75=0,

解得：x2=15（不合题意，舍去）;

②当ZW=AD时，则ZW=6,如图：

;.DT=TN=3,

在RtACDT中，CD=5,DT=3,

由勾股定理得：CT=ylCD2-DT2=4,

,:CMLDN,ZADC=90°,

ZDCT+ZZCDN=90°,ZADN+ZCDN=90°,

;.ZDCT=ZADN,

又Z.DTM=ZCTD,

^DTMsXCTD,

:.MD:CD^DT:CT,

即MD:5=3:4,

4

综上所述：DM的长为°或”.

34

【点评】此题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，图形的翻折及性质，勾股定理等，熟练掌握矩

形的性质，图形的翻折及性质是解答此题的关键，灵活运用勾股定理及三角形的面积构造方程，及分类讨

论是解答此题的难点，漏解是易错点.

14.（2023•南京）如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边钻上，将纸片沿CE折叠，点3落在8处，CB'±AD,

,」2s

垂足为b.若CF=4cm,FB'=lcm,贝1」5£二——cm.

一7一

【分析】作团于点"，由CF=4c〃z,FB'=lcm,求得BC=5cm,由折叠得BC=BC=5a",由菱

形的性质得3C//AD,DC=BC=5cm,ZB=ZD,因为C8_LAD于点P,所以NBCB，=NCFD=90。,

则NBCE=NBCE=45。,DF=JDC?一CF=30n,所以ZHEC=ZBCE=45。,则CH=EH,由

FH4RH34343

一=sinB=sinD=-,—=cosB=cosD=—，得CH=EH=—BE,BH=—BE,于是得一BE+—BE=5,

BE5BE55555

75

则BE=—cm.

7

【解答】解：作EH上BC于点、H,则NBHE=NCHE=90。,

•/CF=4cm,FB'=1cm，

B,C=CF+FB,=4+l=5(cm),

由折叠得6C=笈C=5s,ZBCE^ZBrCE,

・.•四边形ABCD是菱形，

:.BCI/AD,DC=BC=5cm,ZB=ZD,

・・・CE_LAT＞于点尸，

:.NBCB=/CFD=9。。,

/BCE=/B'CE=-ZBCBf=-x90°=45°,DF=^DC2-CF2=A/52-42=3(cm),

22

,\ZHEC=ZBCE=45°,

:.CH=EH,

.•里=sin-inD=式)，叽

BEDC5BEDC5

43

:.CH=EH=—BE,BH=—BE,

55

43

/.—BE+—BE=5,

55

25

/.BE=—cm，

7

故答案为：—.

7

【点评】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正

确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

15.(2023•齐齐哈尔)矩形纸片ABCD中，AB=3,BC=5,点M在4)边所在的直线上，且00=1,

将矩形纸片ABCD折叠，使点3与点以重合，折痕与AD,3c分别交于点E,F,则线段EF的长度为

3石-15

——或一■

2—4―

【分析】分点M在。点右边与左边两种情况，分别画出图形，根据勾股定理，锐角三角函数即可求解.

【解答】解：设EF交于点O,

•.•将矩形纸片ABCD折叠，使点3与点〃重合，折痕与4),3c分别交于点E,F,

:.OM=OB,EF±BM,

,四边形ABCD是矩形，

:.AD//BC,

ZM=Z.OBF,ZMEO=ABFO,

又OM=OB，

AOEM=AOFB(AAS),

:.OE=OF,

①当M点在。点的右侧时，如图所示，

AED

BFC

■.■BC=5,DM=1,

AM=AD+DM=BC+DM=6,

RtAABM中，

BM=7AM2+AB2=A/62+32=3石,

:.OM=-BM=—

22

・"二空AB

OM~AM

EO3

375-6

F

“。=孚

:.EF=2EO=—

2

当M点在D点的左侧时，如图所示,

AB=3fBC=5,DM=1,

:.BM=^AM2+AB1=7（5-l）2+32=5,

:.OM=-BM=-,

22

/厂“EOAB

tan/EMO=-----=

OMAM