2024-2025学年重庆市某中学高一数学上学期开学考试卷（附答案解析）

2024-2025学年重庆市南开中学高一数学上学期开学考试卷

(试卷满分：100分时间：90分钟)

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.一个四边形的四边长依次为。，b,c,d,且(”c)+他-4=°,则这个四边形一定为()

A.平行四边形B.矩形

C.菱形D.正方形

2.若4/—(左+1)%+9能用完全平方公式因式分解，则上的值为()

A.±6B.±12C.一13或11D.13或一11

3.把/_1+2切+_/分解因式的结果是()

A.(x+l)(x-l)+j(2x+B.(x+j+l)(x-j-l)

C.(x-y+l)(x-y-1)D.(x+y+l)(x+y-1)

4.同x4+JW的结果在哪两个连续整数之间()

A.7与8B.8与9C.9与10D.10与11

5.将抛物线J=X2-2X+3通过某种方式平移后得到抛物线y=(x-4『+4,则下列平移方式正确的是

()

A.向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度

B.向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度

C.向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度

D.向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度

b—1a—1

6.若实数awb,且a,b满足/+5=0,/-86+5=0，则代数式----F-的值为()

a-1b-1

A.2B.-20C.2或一20D.2或20

3

7.若不等式2旅9日—§<()对一切实数X都成立，则实数上的取值范围是()

A—3(左<0B.-3<^<0C.-3<k<0D.左<—3或左20

x-a,八

------1>0

2

8.若关于x的不等式组《无解，且一次函数歹=（a-5）x+（2-a）的图象不经过第一象限,

4a+2x<之

-3-<

则符合条件的所有整数。的和是（）

A.7B.8C.9D.10

二选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.我们定义一种新函数，形如^=|"2+欧+4（。70,62—4收〉0）的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学

画出了“鹊桥”函数了=卜2-2x-3］的图象（如图所示），并写出下列四个结论，其中正确的结论是（）

A.图象与y轴的交点为（0,3）

B.图象具有对称性，对称轴是直线X=1

C.当或X23时，函数值了随x值的增大而增大

D.当x=l时，函数的最大值是4

10.已知不等式3ax2+2ax+l〉0，则下列说法正确的是（）

A.若a=—1,则不等式的解集为1-1,；

B.若不等式的解集为1-2,g

贝Ua=——

8

C.若不等式的解集为（石,9）,则x/2>0

2

D.若不等式的解集为（玉，|x+Xi|+卜—司》§

11.已知抛物线y=；/-6x+c,当x=l时，><0；当x=2时，y<0.下列说法正确的是（

A.b2<2c

2

3

B.若c〉l,则b>—

2

C.已知点4（叫，〃1）,5（加2，%）在抛物线了=3一+bx+c上，当叫〈加2<6时，&>巧

1,

D.若方程7广一区+。=0的两实数根为七,》2，则再+》2〉3

三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分.

12.多项式2/-4砂+4y2+6x+25的最小值为.

13.记△4BC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsinZcosC=—asinB,ab=6,贝!l△4BC

2

的面积为.

14.对于每个x,函数y是必=-》+6,外=-2—+4x+6这两个函数的较小值，则函数y的最大值是

四、解答题：本题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知关于x的一元二次方程x2-2kx+k2+2=2（l-x）有两个实数根X],声.

（1）求实数后的取值范围；

（2）若方程的两个实数根匹,》2，满足卜1+马|=再入2一6,求左的值.

16.已知函数弱=2x+a.

x+1

（1）当x>-1时，函数值歹随X的增大而增大.求。的取值范围；

（2）若a=l,求xe[0,2]时，函数值歹的取值范围.

17.已知二次函数y=a/+6x+c的图象经过点N（2,c）,

（1）求该抛物线的对称轴；

（2）若点（〃/J和点（〃-2,%）均在该抛物线上，当〃<2时.请你比较%,为的大小;

（3）若c=l,且当—l<x<2时，y有最小值;，求。的值.

18.已知。石，求2/_8a+l的值，小明是这样分析与解答的：

.，.a=2+16=_（2__+_百k2）（H2_-_6__）=2-7«3'

3

a-2=—A/3

•••（a-2）;3,即。2—公+4=3，

-4。=-1，

2a2-8a+l=2（q2-4a）+l=2x（-1）+1=-1.

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

（、1）若a=-,求3a②-12a—1的值；

V5-2

1111

（2）求〒一+7一产+〒-=+---+^=~『的值；

V2+1V3+V2V4+AMVlOO+y/99

（3）比较J2025—J2024与J2024—J2023的大小,并说明理由.

19.已知某二次函数图象的顶点坐标为（3,-4）,且图象经过点（0,5）.

（1）求该二次函数的解析式，

（2）若当2Kx〈/时，该二次函数的最大值与最小值的差是9,求f的值；

（3）已知点M（2,加）,N（5,-4）,若该函数图象与线段只有一个公共点，求加的取值范围.

4

【答案】

1.A

【分析】由非负数和为零的意义得a-c=0,6-d=0,由平行四边形的判定方法即可求解.

【详解】v(a-c)2+|Z?-c/|=0,

..a—c—0,b—d=0,

•，a=c,b=d,

・•・四边形一定是平行四边形.

故选：A.

2.C

【分析】由题意可知，关于X的方程4--(k+l)x+9=0有两个相等的实根，可得出△=(),即可求

得实数左的值.

【详解】由题意可知，关于x的方程4/-化+l)x+9=0有两个相等的实根，

则A=(左+1)2—4x4x9=(k+1)2—12?=0,解得左=11或一13.

故选：C.

3.D

【分析】观察发现：一、三、四项一组，符合完全平方公式，然后运用平方差公式继续分解.

［详解］x2-l+2xy+y2=(x2+2xy+.v2)-1=(x+j)2-l=(x+^+l)(x+y-l).

故选：D.

4.C

【分析】根据二次根式的乘法和二次根式的性质化简再估算血的大小，进一步求解.

【详解】V50x.f+V18=572X—+3A/2=5+372,

V22

4<372<5»

.-.9<5+372<10.

故选：C.

5

5.A

【分析】将原二次函数整理为用顶点式表示的形式，根据二次函数的平移法则即可判断.

【详解】函数了=/—2x+3=(x—1了+2,对称轴轴为x=l,顶点为(1,2),

函数y=(x—4)?+4,对称轴为x=4,顶点为(4,4),

故将抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，

得到了=卜—4『+4的图象.

故选：A

6.B

【分析】

b—Xa—1

利用韦达定理可求-—+--的值.

a-\b-\

【详解】因为/一8。+5=0，尸―86+5=0，故为方程丁―8x+5=0的两个根，

+b=8,ab=5.

又b-1a-\9-1)~^a+by-2^a+b^-2ab+2

a-\b-\ab-^a+b^+\ab-^a+b^+\

64-16-10+2”

=------------------=—20,

5-8+1

故选：B.

【点睛】本题考查一元二次方程的解、韦达定理，注意利用同构的思想来构建方程，另外注意将代数式

整合成与两根和、两根积有关的代数式，本题属于基础题.

7.C

,3

【分析】由2日2十质—耳<。对一切实数了都成立，结合函数的性质分类讨论进行求解.

,3

【详解】解：2乙一+笈-§<0对一切实数x都成立，

3一

①左=0时，一一<0恒成立，

8

fk<0

②左w0时，L,”八，解得一3〈左<0,

△=左2,+3左<0

综上可得，—3〈左K0,

故选：C.

6

8.C

【分析】先解不等式组求出。的取值范围,再根据一次函数的图象不经过第一象限求出a的取值范围，从

而可得符合条件的所有整数然后求和即可得到答案.

产―1>0①

【详解】因为L+2X丁，

2②

解不等式①得：x>a+2,

解不等式②得：x<3-2a,

V此不等式组无解，

:.a+2>3-2a,解得a>—,

3

・一次函数>=(a—5)x+(2—a)的图象不经过第一象限，

o-5<0

''cz解得<5,

2-a<0

综上所述：2<a<5,

所以符合条件的所有整数a的和是2+3+4=9

故选：C

9.ABC

【分析】代入检验函数图象上的点判断选项A；观察图象结合二次函数对称轴公式求解选项B；观察图

象变化情况判断选项C；由函数图象得最值情况判断选项D.

【详解】对于A,点(0,3)的坐标满足函数了=卜2一2》-3],所以函数图象与y轴的交点为(0,3),A选项

正确；

对于B,观察图象可知，图象具有对称性，对称轴用二次函数对称轴公式求得是直线x=l,故B选项

正确；

对于C,根据函数的图象和性质，发现当-lWxWl或X23时，函数值y随x值的增大而增大，故C选

项正确；

对于D,由图象可知，当x<-l时，函数值y随x值的减小而增大，当x>3时，函数值y随x值的增大

而增大，

均存在大于顶点纵坐标的函数值，故当x=l时，函数值4并非最大值，D选项不正确.

故选：ABC.

7

10.ABD

【分析】对于A解一元二次不等式即可判断，对于BC根据不等式的解集可知对应一元二次方程的根,

由根与系数的关系求解即可判断，对于D,根据根与系数的关系及绝对值不等式即可判断.

【详解】对于A,a=—1时，不等式—3/—2x+l〉0，即3/+2X—1<0，即（3x—+<0,

解得-所以不等式的解集为［-1,；］,A正确；

对于B,若不等式的解集为1—2,，］,则二次函数y=3办？+2"+1的图象开口向下，即。<0,

4141

且3ax?+2ax+1=0方程的两根为-2,；,故—=—2x—,所以a二一二,B正确；

33。38

对于C,若不等式的解集为（国,X2），则二次函数丁=3a*+2ax+l的图象开口向下，即。<0,

且3ax?+2ax+1=0方程的两根为国,％2，故玉％=—<0,C错误；

3a

对于D,若不等式的解集为（为,9）,则二次函数y=3a/+2办+1的图象开口向下，即。<0,

2

且3ax?+2办+1=0方程的两根为西,X2，故再+/=—§

所以,+苞|+,_々|2|（》+西）—（》_工2）|=|苞

当且仅当（x+xj（x—/）<0时，等号成立，D正确.

故选：ABD.

11.BC

【分析】对于A,利用根的判别式可判断；对于B,把％=1,代入，得到不等式，即可判断；对于C,求得抛

物线的对称轴为直线X=6,利用二次函数的性质即可判断;对于D,利用根与系数的关系即可判断.

【详解】对于A,:a=L〉0,开口向上，且当X=1时，y<0；当X=2时，y<0,

2

1,

抛物线y=-x2-bx+c与x轴有两个不同的交点，

2

N=b~—4ac=b2—2c>0,

:.b2>2c,故A不正确;

对于B；当久=1时，y<0,

8

—6+。<0,即b>—Fc,

22

3

•.­c>l：.b>—,故B正确；

对于C,抛物线y=-x2-bx+c的对称轴为直线x=b，且开口向上，

当x<6时，J的值随x的增加反而减少，

当叫<m2Vb时，nx〉%，故C正确；

对于D,•••方程-x2-bx+c=0的两实数根为为,马,

/.再+%2=26,

3

•・•当。>1时，/?>-,.*.Xj+x2>3,

但当c<1时，则b未必大于日,则%+%〉3的结论不成立，故D不正确；

故选：BC.

12.16

【分析】将多项式分别按照x，V的二次项与x的二次项进行配方，分析即可求得.

【详解】2x2-4xy+4y~+6x+25=(x2-4xy+4y2+(x2+6x+9)+16

=(x-2y)’+(x+3『+16,

因对任意实数x/,都有(x—20,(x+3)2>0成立，

3

x-2y=0y——

故当且仅当<'，即<

M2时，多项式取得最小值16.

x+3=0

x=-3

故答案为：16

13.述

2

［分析］根据正弦定理化简bsinAcosC=-asinB可得.

2

【详解】由正弦定理，sinBsin/cosC=—sin/sinB,

2

因为sinZ>0,sinB〉0,故cosC=1.

2

又Cw(O,兀)，故。=］,

9

故Sv=—cibsinC=•

NABC22

故答案为：巫

2

14.6

【分析】根据函数解析式，在同一平面直角坐标系内作出大致图象，然后根据图象即可解答.

【详解】函数必=-》+6,8=一2炉+4x+6的图像如图，函数y取两个函数的较小值，图像是如图

的实线部分，两个函数图像都过（0,6）点.

当x<0时，必函数y的最大值是6,

当x>0时，函数夕无论在必=-x+6上取得，还是外=一2》2+4x+6上取得，总有y<6,即x>0时,

函数y的图像是下降的.

所以函数了的最大值是6.

故答案为：6.

2

【分析】（1）利用一元二次方程有实根的等价条件，列出不等式求解即得.

（2）利用韦达定理，结合已知列出方程并求解即得.

【小问1详解】

方程2依+左2+2=2（1—X）,整理得工2—2（左一l）x+左2=0,

由该方程有两个实数根看,》2,得A=4（左一1）2—4/20,解得左<g,

所以实数人的取值范围是左V，.

2

【小问2详解】

由再,％2是方程%?—2（左一1）%+左2=0的两个实数根，得％1+9=2（左T1W=/,

10

而ki+^l=再入2一6，则|2(左一1)|=左2_6,由⑴知，2(左-1)<0,

于是F+2左一8=0，又左<3，解得上=—4，

所以k的值为一4.

16.(1)a<2(2)1,-

_3_

【分析】(1)将^=生卬变形为了=2+巴二，根据反比例函数的性质可求出。的取值范围;

x+lX+1

(2)将〃=1代入到函数，根据函数单调性即可求出函数的值域.

【小问1详解】

_2x+a_2(x+l)+a-2a-2

y—-------------------------zH--------，

X+1x+lX+1

因为当X>-1时，函数值歹随X的增大而增大，

根据反比例函数性质可知。-2<0,即a<2,

所以a的取值范围是。<2.

【小问2详解】

因为。=1,所以歹二^—=2-------,

x+lX+1

因为当xe[0,2]时，函数值y随x的增大而增大，

所以当x=0时，y有最小值2———=1；当x=2时，歹有最大值2-——

0+12+13

所以当。=1,xe[0,2]时，函数值了的取值范围是1,1.

22

17.(1)x=l；(2)答案见解析；(3)—或——.

39

【分析】(1)把(2,c)代入二次函数解析式，求出a,b的关系，再求出对称轴.

(2)把(〃/J和(〃-2,%)分别代入二次函数解析式，作差分类即可判断.

(3)按二次项系数的正负分类求出最小值即可得解.

【小问1详解】

由二次函数y=ax?+bx+c的图象过点Z(2,c),得4a+26+c=c,解得b=-2a,

所以该抛物线的对称轴为直线x=-2,即x=l.

2a

11

【小问2详解】

由(1)得抛物线的解析式为y=。/一24%+。，

22

依题意，必=an-2an+c,y2=a(n-2)一2。(〃-2)+。,

则必一%=an?-lan+c-[a(ji-2)2-2a(n-2)+c]=4Q(〃一2),而〃<2,

当。〉0时，有4a(〃-2)<0,因此必<%；

当a<0时，有4a(〃-2)>0,因此%>出,

所以当。〉0时，必<%；当〃<0时，%〉丹.

【小问3详解】

由。=1,得抛物线的解析式为V=办2一2依+1,

12

当。〉0时，则当x=l时，》有最小值，即a-2a+1=§,解得。=§；

12

当〃<0时，即当％=-1时，歹有最小值，即。+2a+l=§,解得。二一,，

22

所以Q的值为一或.

39

18.(1)2(2)9(3),2025—42024<J2024—42023，理由见解析

【分析】(1)根据小明的分析过程，a=^—>化为。=6+2，则a-2=石，两边平方得

75—2

a2-4a=1,由3a?—12a—1=3(/—4aj—1即可求解；

1111_

⑵根据小明的分析过程’将R+行近+而正+…+而E的每一项分母有理化’

即可求得结果；

(3)因为J2025〉J2024〉,2023，可得-2025--2024〉0，J2024-J2023〉0，由

,——1；——^=72025+72024,；——1,——=72024+72023,可得结论.

V2025-V2024J2024-J2023

【小问1详解】

12

a—2=y/5，

・，.(a-2)2=5,即。2-4a+4=5，a2-4a=1

3a2—12a-1=3(/—4a)-1=3x1-1=2.

【小问2详解】

1111

------------1-----------------1----------------p—।-----------------------

V2+1V3+V2C+6AA00+A/59

V2-1V3-V2V4-V3

V100-V99

•••-j-----------------------------------

(VT00+V99)(V100-A/99)

=V2-l+V3-V2+V4-^+•••+JOO-M=1=9.

【小问3详解】

J2025-J2024<J2024-42023，理由如下：

1/2025>2024>2023，，J2025>J2024>J2023，

V2025-V2024>0-J2024-J2023〉0，

1