2024-2025学年高二年级上册深圳某中学第一次月考数学试卷（附答案解析）

2024-2025学年高二上深圳中学第一次月考数学试卷

（本卷共19道题；总分：150分；考试时间：120分钟）

姓名：成绩:

单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知直线/1过4（2,2V3）,B（4,0）两点，且人工/2,则直线/2的倾斜角为（）

71712TT5TT

A.-B.-C.—D.—

6336

•,—>~>—>t->—>~—>—>~

2.设x,y€R,向重a=（x,1,1）,b-（1,y,1）,c=（1,-1,1）,且a1c,b||c,贝i]|a+=（）

A.V5B.3C.2V2D.4

3.已知点/（2,3）,2（-2,-1）,若直线/：>=左（x-1）-2与线段有公共点，则左的取值范围是（）

1

A.（一耳，5）B.(-8,

1

C.(5,+00)D.(-8,-^]U[5,+8)

4.已知单位向量a,b,若对任意实数x,|xa+b|2竽恒成立，则向量a,b的夹角的取值范围为（）

A.生竽]B.[J,争C.4，J]D./,J]

5.如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若N/i4B=N/iAD=60°,且小/=3,

则/C的长为（）

A.V5B.2V2C.V14D.V17

6.已知直线：Zi：y=6/x+3与/2关于直线y=x对称，b与b：x+2y-l=0平行，贝Ua=（）

11

A.-4B.-C.-2D.2

22

7.过定点/的直线（a+1）x-y+2=0与过定点3的直线x+（a+1）y-4a-2=0交于点尸（尸与/、3不重合），

则面积的最大值为（）

A.V2B.2V2C.2D.4

8.已知四面体中，4D=2,BD=V3,N2CD=120°,直线4D与8C所成的角为60°,且二面角CD

为锐二面角.当四面体/BCD的体积最大时，其外接球的表面积为（）

327r167r

A.-----B.-----C.16TTD.8TT

33

第1页（共16页）

多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的

得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9.已知直线/：而->+24=0和圆O：x2+f=16,则（）

A.直线/恒过定点（2,0）

B.存在后使得直线/与直线/o：x-2y+2=0垂直

C.直线/与圆。相交

D.若后=-1,直线/被圆。截得的弦长为4

（多选）10.已知圆M：^y23-4x+3=0,则下列说法正确的是（）

A.点（4,0）在圆M内

B.圆M关于x+3y-2=0对称

C.半径为8

D.直线x—=0与圆M相切

（多选）11.如图，棱长为2的正方体/BCD-//iCbOi的外接球的球心为O,E、F分别为棱AB、CG的中点，

A.对于任意点G,CM〃平面EFG

B.存在点G,使得平面040,平面EFG

C.直线£尸被球。截得的弦长为VIU

71

D.过直线EF的平面截球。所得的截面圆面积的最小值为万

三.填空题（共3小题）

12.已知直线x+@+2=0经过两直线3x+2y-9=0和x-1=0的交点，则k的值等于.

13.若某圆的圆心为点（2,-3）,其中一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的方程

是.

14.已知，空间直角坐标系xOy中，过点尸（xo,yo,zo）且一个法向量为71=（a,b,c）的平面a的方程为。（x-

xo）+b（y-70）+c（z-zo）=0.经过点尸（xo,yo,zo）且方向向量为n=（4,B,C）的直线方程为

—=?=用以上知识解决下面问题：已知平面a的方程为x-2尹2z+l=0,直线/的方程为?=

ADC，

2=二，则直线I与平面a所成角的正弦值为_______________________.

3—1

第2页（共16页）

四.解答题(共5小题)

15.已知两条直线/i：ax+y+a+\=0,I2：2x+(a-1)y+3=0.

(1)求证：直线/i过定点，并求出该定点的坐标；

(2)若0=0,直线/与/2垂直，且,求直线/的方程.

从以下三个条件中选择一个补充在上面问题中，使满足条件的直线/有且仅有一条，并作答.

条件①：直线/过坐标原点；

条件②：坐标原点到直线I的距离为1：

条件③：直线/与/1交点的横坐标为2.

16.在平面直角坐标系xQy中，已知圆C：X2+/+2X-4y+F=0,且圆C被直线x-y+3+鱼=0截得的弦长为2.

(1)求圆C的标准方程；

(2)若圆C的切线/在x轴和y轴上的截距相等，求切线/的方程.

第3页(共16页)

17.如图，三棱柱ABC-/b81cl的所有棱长都是2,441，平面A8C,D,E分别是/C,C。的中点.

(1)求证：平面平面NL&D；

(2)求44i和平面/由。所成角的正弦值.

第4页(共16页)

18.如图，棱长为2的正方体4BCD-/iBiCbDi,〃是四边形。1DCC1内异于C,D的动点，平面4V0_L平面BMC.

(1)证明：CMLDM-,

(2)当平面M43与平面MCD的夹角的余弦值最大时，求M点到平面NiBCbDi的距离.

第5页(共16页)

19.如图，四棱锥P-/BCD的底面为菱形，^ABC=1,AB=AP=2,底面/BCD,E,尸分别是线段尸8,

产口的中点，G是线段PC上的一点.

(1)若G是线段PC的中点，试证明EG〃平面BID；

(2)已知直线NG与平面4£尸所成角为45°.

①若△PEG和的面积分别记为Si,S2,试求号的值;

白2

②求三棱锥的P-EFG体积.

第6页(共16页)

2024-2025学年高二上深圳中学第一次月考数学试卷

参考答案与试题解析

单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知直线/1过力(2,2V3),B(4,0)两点，且则直线/2的倾斜角为()

7Tn2TT5TT

A.B.-cD.

63-T6

解：因为直线/i过4(2,2V3),B(4,0)两点，可得M=041f=-

又因为所以比1•kb=_四Xkb=_1，可得用2=第，

设直线/2的倾斜角为a,则加.=承因为蛙(0,n),所以a=*所以直线/2的倾斜角为彳故选：A.

\—>~'->—>—>~―>—>~

2.设x,jGR,向重a二(%,1,1),b=(1,y,1),c=(L-1,1),且a1c,b||c,则|a+=()

A.V5B.3C.2V2D.4

,->->.T11yl,TT

解：因为a_Lc,故％-1+1=0,故x=0,因为b||c,故］=--=了，故〉=-1,故Q=(0,1,1),b=(L—L1),

1—11

故a+b=(L0,2),故|a+=71?+22=故选：A.

3.已知点4(2,3),5(-2,-1),若直线/：>=左(X-1)-2与线段45有公共点，则左的取值范围是()

11

A.(一可，5)B.(-8,——)

1

C.(5,+8)D.(-8,--]U[5,+8)

解：直线/：歹=无(x-1)-2恒过点。(1,-2),

点4(2,3),5(-2,-1),若直线/：y=k(x-1)-2与线段4g有公共点，

如图所示：

所以々zc==S，kcB=_』.当k25或k4―"I■时，直线/与线段45有公共点.故选：D.

_>TTT、反TT

4.已知单位向量a,b,若对任意实数X,|%a+b|2g恒成立，则向量a,b的夹角的取值范围为()

A.臣苧]B.既，竽[C.序D.吟，

_>->Qf—TT?1

解：依题意，(xa+b)2>-r,所以％2a2+b+乂2即/+2%cos6+7之0恒成立,

第7页(共16页)

则A=4cos2。-1W0,解得―先cose4，故之，力的夹角的取值范围是既，约.故选：B.

5.如图，在平行六面体48CD-/iBiCbDi中，底面是边长为1的正方形，若N/i4B=N/i4D=60°,且小/=3,

则/C的长为（）

A.V5B.2V2C.V14D.V17

22

解："：AB+AD-AA1；：.ArC^CAB+AD-AAr)；

—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>

即41。2=4B.AB+AD'AB-AA^AB+AD'AB+AD'AD-AD'AA1-(AB-AA1+AD-AA1-AA^AA^

=1+0-3X1Xcos60°+0+1-3X1Xcos60°-(3XlXcos600+3XlXcos60°-9)；

ODOD

=1-2+1—2—2—2+9=5,•*»A\C=V5.故选：A.

6.已知直线：/i：)=QX+3与，2关于直线y=X对称，，2与，3：x+2)-l=0平行，贝！J4=()

11

A.-4B.-C.-2D.2

22

解：直线/i关于直线y=x对称的直线，即是交换x,y位置所得，

即，2：x=ay+3,h，上相互平行，，3：x+2y-1=0的斜率为—4・,.一=—二，故Q=-2.故选：C.

za2

7.过定点4的直线(a+1)%-尹2=0与过定点B的直线x+(a+1)丁-4〃-2=0交于点尸(尸与/、5不重合)，

则△E45面积的最大值为()

A.V2B.2V2C.2D.4

解：过定点4的直线(q+1)x-y+2=0,整理可得ax+x-y+2=0,可得4(0,2),

过定点5的直线x+(Q+1)y-4a-2=0.整理可得：a(y-4)+x+y-2=0,可得5(-2,4),

又因为(〃+1)X1+(-1)(Q+1)=0,可得/i-L/2,可得为直角三角形，

由题意可得|B4/+|尸坪|=|4砰=(-2-0)2+(4-2)2=8,

因为承|2+『砰|三2.II必I，可得弘II尸5|W4,当且仅当以|=|尸时取等号，

所以S△序411PB区号x4=2,所以△出2面积的最大值为2,故选：C

8.已知四面体/BCD中，AD=2,BD=也,ZBCD=]20°,直线与8C所成的角为60°,且二面角/-CD

-3为锐二面角.当四面体48co的体积最大时，其外接球的表面积为()

327r167r

A.-----B.-----C.16TID.8TT

33

解：如图，

第8页（共16页）

因为BD2=BC2+DC2-22c•DC・cos120°=BC2+DC2+BC'DC=3,

所以38c•DCW3C2+DC2+BC・£)C=3,即BUOCW1,当且仅当BC=DC=1时等号成立,

此时底面△BCD面积最大，S=±BC.DC-s讥120。=卓，

—>

将/。沿OC平移至HC,则点/与/'到底面BCD的距离相同，且CB=60°,

为使四面体NBCD高最大，则直线HC在底面BCD的射影为直线BC,此时8上面BCD,

设点/在底面BCD的投影为夕，可知四边形3c为菱形，且△BCD的外心为女，

此时满足二面角N-CA-8为锐二面角，故四面体N3CD的外接球的球心。在直线48'上，

因为力B'=AB=BCtcm60°=b，DB'=1,OA=OD=R,

所以在RtZXOB'。中，（g—R）2+¥=R2,解得R=41,

此时外接球的表面积为S=47rxg=i1叫故选：B.

多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的

得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9.已知直线/：fcr-y+24=0和圆。：x2+y2=16,则（）

A.直线/恒过定点（2,0）B.存在左使得直线/与直线/o：x-2y+2=0垂直

C.直线/与圆。相交D.若左=-1,直线/被圆。截得的弦长为4

解：对于/>C,由/：kx-y+2k=0,得左（x+2）-y=Q,令。解得｛；=02，

所以直线/恒过定点（-2,0）,故/错误；

因为直线/恒过定点（-2,0）,而（-2）2+02=4<16,即（-2,0）在圆。：/+y=16内，

所以直线/与圆。相交，故C正确；

1

对于8,直线/o：x-2y+2=0的斜率为5,则当人=-2时，满足直线/与直线/o：x-2y+2=0垂直，故B

正确；

对于。，4=-1时，直线/：x+y+2=0,圆心到直线的距离为4=粤景=&,

所以直线I被圆O截得的弦长为2尸二*=2心—（伪2=2714,故D错误.

故选：BC.

第9页（共16页）

（多选）10.已知圆M：丁+产-4x+3=0,则下列说法正确的是（）

A.点（4,0）在圆“内B.圆M关于x+3y-2=0对称

C.半径为百D.直线%-百）7=0与圆M相切

解：x2+j?-4x+3=0整理得：（x-2）2+）^=1,

・；x=4,y=0时-4X+3=3>0,.•.点（4,0）在圆M外，/错；

•.•圆心M（2,0）在直线x+3厂2=0上，，圆M关于x+3厂2=0对称，2对；

•.•圆M半径为1,故C错；\•圆心M（2,0）到直线x—By=0的距离为d=J餐=1,与半径相等，.•.直

线尤—By=0与圆M相切，。对.故选：BD.

（多选）11.如图，棱长为2的正方体NBCD-NiBCbDi的外接球的球心为O,£、尸分别为棱AS、CCi的中点，

G在棱3c上，贝!）（）

A.EB

A.对于任意点G,CM〃平面EFGB.存在点G,使得平面。4D_L平面EFG

.__71

c.直线所被球o截得的弦长为VTUD.过直线所的平面截球。所得的截面圆面积的最小值为5

解：对于/,当G与8重合时，/€平面£7吆，平面昉G,此时直线CM与平面EFG相交，故/错误;

对于瓦：四边形/BCD为正方形，贝：台小，平面/BCD,EGu平面Z8CO,贝UEG_L38I,

■:BDCBB\=B,则EG,平面BBiDbD,,.♦2。<=平面3囱。1。，：.EGLB\D,

同理尸G_LSD,,:EGCFG=G,，囱。，平面EFG,即。。J_平面EFG,

：ODu平面OD4,；.平面。4D_L平面所G,故3正确；

对于C,取跖的中点M,'：OA=OB=V3,E为的中点，：.OELAB,

：.OE=y/OA2-AE2=42,同理。尸=企，则。M_L即，

*.•CCi±平面ABCD,CEu平面ABCD,贝I]CFLCE,

：.EM=^EF=|VEC2+FC2=则OM=/OE2一EM2=穿,球O的半径为R=百，

直线EF被球O截得的弦长为2，R2—0M2=213—（孚尸-V10,故C正确；

设截面圆半径为r,球心O到截面的距离为d,则户+/=产=3,

■:dWOM=^,则/=3-/浒，.•.截面圆面积5=/2苧，故。错误.故选：BC.

三.填空题（共3小题）

12.已知直线x+@+2=0经过两直线3x+2y-9=0和x-1=0的交点，则k的值等于-1.

第10页（共16页）

解：联立方程组[U2]9=°,解得x=l,y=3,即两直线的交点为(1,3),

将点(1,3)代入直线x+0+2=0,可得1+34+2=0,解得后=-1,

即实数左的值为-L故答案为：-L

13.若某圆的圆心为点(2,-3),其中一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的方程是/+v2-

4x+6”=0.

解：圆的圆心为点(2,-3),其中一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，

设直径的两个端点分别4(Q,0)B(0,b),由中点坐标公式得，。=4,b=-6,

.*.r=^AB\=i-V42+62=V13,则此圆的方程是(x-2)2+(y+3)2=13,即/+炉一4x+6y=0,

故答案为：/+产-4x+6y=0.

14.已知，空间直角坐标系xOy中，过点尸(xo,yo,zo)且一个法向量为ri=(a,b,c)的平面a的方程为。(x-

xo)+b(y-/)+c(z-zo)=0.经过点尸(xo,yo,zo)且方向向量为n=(4B,C)的直线方程为

—=?=用以上知识解决下面问题：已知平面a的方程为x-2尹2z+l=0,直线/的方程为?=

ADC2

yz—2-V14

7=—，则直线I与平面a所成角的正弦值为_.

解：由题意知：平面a的一个法向量蔡=(L-2,2),直线/的一个方向向量荒=(2,3,-1),

设直线/与平面a所成角为0,所以sinB=|cos而，曲=叵迎=岛=孚，

|m|.|n|3V147

即直线/与平面a所成角的正弦值为孚，故答案为：当.

77

四.解答题(共5小题)

15.已知两条直线/i：ax+y+a+1—0,Z2：2x+(a-1)y+3=0.

(1)求证：直线/i过定点，并求出该定点的坐标；

(2)若a=0,直线/与及垂直，且______，求直线/的方程.

从以下三个条件中选择一个补充在上面问题中，使满足条件的直线/有且仅有一条，并作答.

条件①：直线/过坐标原点；条件②：坐标原点到直线/的距离为1;条件③：直线/与交点的横坐标为2.

证明：(1)直线/i：ax+y+a+1=0转化为：a(x+1)+y+l=0,

当x+l=0时，不论。为何值，y+l=0,可得定点(-1,-1),

即证直线人过定点，且该定点的坐标(-1,-1)；

(2)解:当a=0时，直线及的方程为：2x-y+3=0.

若直线/与直线/2垂直时，设直线I的方程为x+2y+m=0,

若满足条件①，则加=0,这时直线/的方程为x+2y=0；

满足条件②，则原点到直线/的距离为4=予署=噂，

VV5

第11页(共16页)

由题意可得1=噂，解得％=±6,

V5

这时直线/的方程为：x+2y土花=0；

满足条件③时，直线/1的方程为：＞=-1,代入直线/的方程：x+2(-1)+加=0,

可得x=2-m,

由题意2=2-加，解得机=0,这时直线/的方程为：x+2y=0

16.在平面直角坐标系xQy中，己知圆C：x2+/+2x-4y+F=0,且圆C被直线x-y+3+鱼=0截得的弦长为2.

(1)求圆C的标准方程；

(2)若圆C的切线/在x轴和y轴上的截距相等，求切线/的方程.

解：(1)由题意得C：X2+J?+2X-4y+F=0,即(x+1)2+(厂2)2=5-^＞0,

：,F＜5,

：.C(-1,2),a=5-F,

•.,圆心C(-1,2)到直线x-y+3+V2=0的距离d=―33+乙=1,

•••弦长为2,

.*.t/2+l2=r2=5-F,

.•.尸=3,

圆的标准方程：(x+1)2+(厂2)2=2.

(2)因为直线/在x轴和y轴上的截距相等，

①若直线/过原点，则假设直线/的方程为＞=依即依-y=0,因为直线/与圆C相切，

•d——Il-V2

：.le-402=0,

.".k—2+V6,

.•.直线/的方程为y=(2+遥)工或歹=(2-V6)x；

②若直线I不过原点，切线/在x轴和y轴上的截距相等，

XV

则假设直线I的方程为一+-=1,即x+y-a=0

aa

因为直线/与圆C相切，

."=小=近，

V2

|1-a\=2,

・\Q=3或a=-1

二・直线/的方程为x+y-3=0或x+y+1=0

综上可得，直线/的方程为＞=(2+6)x或歹=(2-遥)x或l+y-3=0或x+y+l=0

17.如图，三棱柱向G的所有棱长都是2,44i_L平面/BC,D,E分别是4C,CG的中点.

第12页(共16页)

(1)求证：平面R4E_L平面NiBD；

(2)求44i和平面所成角的正弦值.

(1)证明：取4cl的中点。，连接囱。，OD,

则。」41c1,OD/ZAAi,

又因为44i_L平面4BC,所以OZ)_L平面4BC,

则。/,OD,。2两两垂直，

如图，

以。为原点，OA,OD,所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系,

—>—>

贝！］N(l,2,0),8(0,2,3),ZX0,2,0),/(l,0,0),£(-1,1,0),可得(一1,2,0),ArB=(-1,2,V3),

B4=(l,0,-V3),BE=(-1,一1,-V3),

设元=(久1，y1,Zi),n2-(x2,y2,z2)分别为平面N8D和平面的法向量,

'TT

由”.7—1+2乃=0,令『］,

A±B-九］=—%1+2y1+Wz［=0

可得3=(2，L0)是平面45。的一个法向量，

——r~

BA-n=x-V3Z=0人_1

，T一222，令Z2—1,

、BE-n2=—x2—72~V3Z2=0

可得R二(百，一21)是平面R4E的一个法向量,

因为几2•九1=2xB—2国+0=0,即九1_L九2，

所以平面平面ABD；

TT

(2)解：由(1)可得力遇=(0,2,0),如=(2,1,0)是平面48。的一个法向量,

第13页(共16页)

设441和平面ABD所成角为①

TTL

|n1-^1/l|_2_V5

则sin。=\cos{nlfArA)\=

向卜房川正乂25

V5

所以直线区41和平面N2D所成角的正弦值为

18.如图，棱长为2的正方体48(力-4囱。。1,河是四边形。。。。内异于。，。的动点，平面平面BMC.

(1)证明：CMLDM；

(2)当平面M43与平面MCD的夹角的余弦值最大时，求M点到平面451C1D1的距离.

(1)证明：由题意，平面平面3A/C,可设平面NVOC平面8MC=/,

在正方体/BCD-//Ci。中，AD//BC,

因4DC平面BA/C,BCu平面故4D〃平面3A/C,

又平面平面BMC=/,4Du平面/M),故4D〃/,

又4D_L平面。CA/u平面。CCLDI，

则4D_LCA/,故CM_U,

因CA/u平面BMC,平面平面BMC,平面AMDA平面BMC=l,

故CM_L平面/M),因DMu平面/M),故CM_LDW；

(2)如图，分别以ZX4,DC,所在直线为x,y,z轴，

则。(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),

因M是四边形DLDCCI内异于C,。的动点，可设M(0,a,b),

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由(1)可得：CM-DM=(0,a-2,6)•(0,a,b)=0,

得。2-2。+庐=0,即b2—-(r+2a--(a-1)2+l,

因0WaW2,故0W6W1,

又薪=(-2,a,6),BM=(-2,a-2,6),

设平面NAffi的一个法向量为蔡=(x,y,z),

'TT

n-AM=-2x+ay+bz=0,八八

则有,故可取n=(6,0,2),

.n-BM=—2x