2024-2025学年湖南省长沙市高三年级上册9月大联考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年湖南省长沙市高三上学期9月大联考数学检测试卷

本试卷共4页，19小题，满分150分.

一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.设集合/={1,3},『={x,-3x+m=0},若4cB={1},则集合3=()

A.{1,-2}B.{1,2}C.{1,0}D.{1,5}

2.若复数z满足「=—1—i,贝”=()

1+1

A.2+2iB.—2—2iC.—2iD.2i

3.等差数列{%}(〃£N*)中，出=1。吗一4=2%,则%=()

A.40B.30C.20D.10

311

4.已知sin(a+〃)=一二,--+----=2,则sinasin/?=()

5tanatanp

3113

A.-----B.-C.—D.—

105510

5.如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八

面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点.若正八面体的表面积为12百，则正八

面体外接球的体积为（）

C.12KD.36兀

6.已知函数/（x）=cosx+e*，且。=/（2）、b=c=〃ln2）,贝！|八b、c的大小关系（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

7.当xe[0,2兀]时，曲线>=cosx与歹=2cos（3x-外交点的个数为（）

A.3B.4C.5D.6

i2025

8.已知的定义域为RJ(x+y)+〃x7)=3〃x)〃y),且〃1)=(,则£〃左)=()

34=1

1212

A.——B.——C.-D.-

3333

二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项

是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分)

9.某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，

已知等级分X的分数转换区间为［30,100］,若等级分X〜N(80,25),则()

参考数据:尸(〃-b<X4〃+b)=0.6827；尸(〃-2b<X4〃+2<)=0.9545；

尸(〃-3cr<XW〃+3b)=0.9973

A.这次考试等级分的标准差为5

B.这次考试等级分超过80分的约有45人

C.这次考试等级分在［70,80］内的人数约为48人

D.尸(65<X<75)=0.1573

10.中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中

国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结.中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正

是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现.它有着复杂曼妙的曲线，却可以还

原成最单纯的二维线条.其中的结对应着数学曲线中的双纽线.曲线C:(x2+V)2=9(x2-y2)是

双纽线，则下列结论正确的是()

A.曲线c的图象关于y=x对称

B.曲线C上任意一点到坐标原点。的距离都不超过3

C.曲线C经过7个整点(横、纵坐标均为整数的点)

D.若直线了=近与曲线C只有一个交点，则实数人的取值范围为(-8,-1］口［1,+功

11.已知函数/(x)=x2-21nx,则下列选项中正确的是()

A.函数/(无)的极小值点为x=l

C.若函数g(x)=/(即T有4个零点，则fe(l,+oo)

D.若/（占）=/（3）（七片马），则王+马<2

三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）

12.已知向量a,3满足同=2,1（3,0）,则向量Z在向量B方向上的投影向量的坐标为

贝1|一牛.

22

13.已知双曲线E:、-A=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为耳冷离心率为2,过点片的直

ab

线/交区的左支于45两点.|。同二|。周（。为坐标原点），记点。到直线/的距离为d,则

d__

a

14.十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开.会议期间，会议筹备组将包含

甲、乙在内的5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1人.每人

只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有种.（用

数字作答）

四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（本小题满分13分）

记V48C的内角4B,C的对边分别为。，瓦c,已知（百6-，siiU=+c）（siii3-sinC）.

⑴求角C；

（2）若V/8C外接圆的半径为2,求V/5C面积的最大值.

16.（本小题满分15分）

如图，四边形48C。与四边形4DE尸均为等腰梯形，BCIIAD,EF//AD,AD=4,AB=42>

BC=EF=2,AF=y[\A>q_L平面48CD,W为40上一点，且何/_1_40,连接50、BE、

BM

（1）证明：8C_L平面BBW；

（2）求平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值.

17.(本小题满分15分)

222

如图在平面直角坐标系X0中，已知椭圆G：]+「=1,椭圆。2：3+'=1,直线/与椭圆C]

只有一个公共点，且与椭圆C?交于48两点.

(1)当直线/倾斜角为135。时，求直线/的方程;

(2)求证：V/O8的面积为定值.

18.(本小题满分17分)

已知函数/'(x)=(x-l)e*-f.

(1)求函数的单调区间；

⑵求的零点个数.

(3)g(x)=/(x)-刃在区间-1,|上有两个零点，求加的范围?

19.(本小题满分17分)

对于V〃eN*,若数列｛七｝满足x向-％>1,则称这个数列为“K数列”.

⑴已知数列1,2m,4+1是“K数列”,求实数力的取值范围.

(2)是否存在首项为-2的等差数列｛。,｝为“K数列”，且其前〃项和S“使得5“<3〃2-"恒成立?

若存在，求出数列｛0,｝的通项公式；若不存在，请说明理由.

(3)已知各项均为正整数的等比数列｛%｝是“K数列”，数列不是“K数列”，若6"=耳，

[2J〃+1

试判断数列仍„｝是否为“K数列”，并说明理由.

答案:

题号12345678910

答案BCBABDDBACDBD

题号11

答案AC

1.B

【分析】将尤=1代入方程求出加，再求集合B即可.

【详解】由=可知3+m=0=＞加=2,

当加=2时，x2-3x+2=0,解得：x=l或％=2,即5={1,2}.

故选：B

2.C

【分析】根据复数乘除法运算直接计算即可.

7

【详解】因为所以z=-(l+i)2=-2i.

故选：C.

3.B

【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解.

【详解】设等差数列也,}(〃eN)的公差为的

%一。4=2q，贝［j3d=2%,

2

々2=10,贝U%+d=%+§%=10,角犁得q=6,d=4,

%=4+6d=6+24=30.

故选：B.

4.A

【分析】切化弦，通分即可求解.

【详解】因为sin(a+/?)=-,因为

11cosctfcos0cosasin0+cos0sinasin(，+a)..八3

----+-----=-----+———=-------------------=——-------=2,所以sinasm/?=.

tanatan,sinasin/3sinasin夕--------sinasin夕----------------------10

故选：A.

5.B

【分析】根据正八面体的结构特征结合条件可得外接球的半径，进而由球的体积公式即得体积.

【详解】如图正八面体，连接/C和交于点O,

F

因为E/=EC,ED=EB,

所以EO_L/C,EO±BD,又/C和AD为平面/BCD内相交直线，

所以平面/BCD,所以。为正八面体的中心，

设正八面体的外接球的半径为火，因为正八面体的表面积为8x^45=12百，所以正八面

4

体的棱长为指，

所以EB=EC=BC=®OB=0C=V3,F0=VFF2-OB2=V3.

贝R=V3,V==|Trx3V3=4V3TT.

故选：B.

6.D

【分析】首先判断函数在(0,+/)上的单调性，再比较大小.

【详解】/，(x)=-sinx+e\当x>0时，/'(x)>0,

所以/(x)在(0,+回单调递增，

因为2>ln2>ln孤=；,所以［g)</(ln2)</(2),即6<c<a.

故选：D

7.D

【分析】分别画出kcosx与y=2cos(3xj］在［0,2可上的函数图象，根据图象判断即可.

【详解】kcosx与y=2cos(3xq］在［0,2可上的函数图象如图所示，

由图象可知，两个函数图象交点的个数为6个.

故选：D.

8.B

【分析】根据题意，利用赋值法，求得了(x+6)=/(x),得到/'(x)的一个周期是6,再根据

函数的周期性和奇偶性，求得〃1),〃2),〃3),/(4),〃5),46)的值，进而得到答案.

【详解】由题意知，函数/(x)的定义域为+A+且"1)=；,

令x=l,y=O,得/■(1+0)+/(1-0)=3/⑴”0),所以〃0)=；；

令尤=0,得/(0+田+〃0-力=3〃0)/(力,所以/(r)=/(#,所以/(无)是偶函数，

令y=l,得/(x+l)+/(x—l)=3/(x)/(l)=/(x)①,所以/(x+2)+/(x)=/(x+l)②,

由①②知/(x+2)+/■(尤一1)=0,所以〃x+3)+/(x)=0J(x+3)=-/(x),

所以/(x+6)=-〃x+3)=/(x),所以/(x)的一个周期是6,

由②得/■(2)+/(0)=/(1),所以〃2)=-丁同理〃3)+/(1)=/(2),所以〃3)=-；，

又由周期性和偶函数可得：

119

/(4)=/(-2)=/(2)=--,/(5)=/(-1)=/(1)=-,/(6)=/(0)=-,

所以/⑴+/⑵+/(3)+…+/(6)=0,

所以£f(k)=3372+/(1)+/(2)+/(3)=

k=l上=13

故选：B.

9.ACD

【分析】根据X〜N(80,25)的含义易判断A,B两项，对于C,D,先把范围转换成用〃，。表示，

利用3。概率值求出相应范围的概率值，再进行估算即可.

【详解】对于A,因X〜N(80,25),则6=岳=5,故A正确；

对于B,因〃=80,即这次考试等级分超过80分的学生约占一半，故B错误;

故这次考试等级分在［70,80］内的人数约为0.48x100=48人，故C正确;

对于D,因P(65<X<75)=P(〃-

=-[P(iu-3o-<X<//+3o-)-P(^-cr<X<//+cr)]=-(0.9973-0.6827)=0.1573,

故D正确.

故选：ACD.

10.BD

【分析】对于A项，运用若点(X/)关于y=x对称的点3,X)满足方程，则曲线的图象关于y=x

对称，检验即可；对于B项，根据已知条件可得Y+r49即可；对于C项，计算边界点来界

定整数点个数；对于D项，联立直线方程与双纽线方程，将问题转化为方程只有一解即可.

【详解】对于A项，把(y,x)代入(/+/)2=9(--得(炉+/)2=9(>2_犬)，

显然点3,x)不满足双纽线方程，

所以曲线C的图象不关于>=x对称，故A项错误；

对于B项，由于+/了=9(/一必)可得犬+十=9!-1)=乡—v9,

人"Iy人I"y

所以曲线C上任意一点到坐标原点O的距离〃=后了了43,即都不超过3,故B项正确：

对于C项，令y=0解得》=0或》=±3,即曲线经过(0,0),(3,0),(-3,0),

由题意可知，-3WxW3,

-11+V153

令*=±1,得产

-17+V^

令*=±2,得1</=

2

因此曲线C只能经过3个整点(0,0),(3,0),(-3,0),故C项错误；

2

对于D项，直线了=近与曲线*2+/)2=9(x-/)一定有公共点(0,0),

若直线了=丘与曲线C只有一个交点，

所以J('+/)=9(/-广)，整理得/(1+*)2=9/(1一七2),只有一个解了=0,

即l-Vwo,解得左e(-8,-1]。[1,+oo),故D项正确.

故选：BD.

11.AC

【分析】求导，利用导数判断〃x)的单调性和最值，可得/(x)的图象，进而可以判断A；对

于B：根据/(x)的单调性分析判断；对于C：根据偶函数性质分析可知：原题意等价于当x>0

时，，有2个交点，结合“X)的图象分析求解；对于D：构建

g(x)=/(2-x)-/(x)Jxe(O,l),结合导数可得"2-x)</(x),xe(O,l),结合极值点偏移分

析证明.

【详解】由题意可知：的定义域为(0,+司，且小『—『KT),

XX

令/(x)>0,解得x>l；令/。)<0,解得0<x<l；

可知/(X)在(0,1)内单调递减，在(1,+8)内单调递增，

则)(x)2/⑴=1,且当x趋近于0或+8时，/(x)趋近于+以

可得函数/(X)的图象，如图所示：

对于选项A：可知函数/(x)的极小值点为x=l,故A正确；

对于选项B：因为1<孤<；,且/(尤)在(1,+e)内单调递增,

对于选项C：令g(x)=/(|x|)-f=0,可得/(国)=/,

可知函数g(x)=/(|x|)-f有4个零点，即了=/(附与夕=，有4个交点,

且了=/(|尤|)的定义域为(-°°,0)U(0,+oo),J=L/(|-^|)=/(H)>

可知y=/(W)为偶函数，且当x>0时，y=/(|尤|)=/(尤)

原题意等价于当x>0时，y=/(x)与y=f有2个交点，

由题意可知：Z>2,故C正确；

对于选项D：设g(x)=/(2-x)-/(x)=21nx-21n(2-x)+4-4x,xe(0,1),

则g，(x)=2+J-4=£Ry>0,

x2—xx^2—x)

可知v=g(x)在(o,l)内单调递增，则g(x)<g⑴=0,

即〃2-x)</(x),xe(O,l),

若/(%)=/(%)(尤1NX?),不妨设0<X]<1<三，

则〃2-%)<〃%)=〃々),

且2f>1,々>1,且/(x)在(1,+“)内单调递增,

则2-再<%,所以西+%>2,故D错误；

故选：AC.

方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤

（1）作差或变形；

（2）构造新的函数力⑺；

（3）利用导数研究乂力的单调性或最值；

（4）根据单调性及最值，得到所证不等式.

特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个

函数的最值问题.

12.V10

【分析】由已知分别求出cos<£》>和W，再根据平面向量数量积的运算律求解即可.

【详解】由'=（3,0）得，W=3,

因为向量£在向量B方向上的投影向量的坐标为

所以忖<0S<>刊==/，即COS<>=；,

所以'-闸=|a|+|/5|-2卜|忖-cos<>=4+9-2x2x3x；=10,

所以|“_可=EL

故而.

13.

2

【分析】根据给定条件，作出图形，结合三角形中位线性质可得2名，8百，再利用双曲线定

义及勾股定理求解即得.

【详解】令双曲线£的半焦距为c,由离心率为2,得c=2a,

取片3的中点。，连接OD,由|0同=|。用，得。”空,则

连接月8,由。为耳匕的中点，得BFJ/OD'BFgd,BF2LBFX,\FxB\=1d-la,

因止匕巴「+|3片「=|用月『，即Rd)?+(2d-2.)2=(4.)2,整理得(《>一色一之=0,

aa2

而e>o,所以四=1±YI.

Qa2

故匕女

2

【分析】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是LL3和1,2,2,先求出5名工作

人员分配到3个会议厅的情况数，甲乙两人分配到同一个会议厅的情况数，相减得到答案.

【详解】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是1,1,3和1,2,2,

C'r'C3

人数组合是1,1,3时，共有T2xA；=60种情况，

其中甲、乙两人分配到同一个会议厅的情况为=18种,

A2

从而甲、乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有60-18=42种;

人数组合是1,2,2时，共有隼fxA；=90种情况,

A2

其中甲、乙两人分配到同一个会议厅的情况为C；C；xA；=18种，

从而甲、乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有90-18=72种，

所以甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有42+72=114种.

故答案为.114

71

15.(1)C=-

O

(2)2+百

【分析】(1)运用正弦定理实现边角转化，结合余弦定理进行求解即可；

(2)根据正弦定理，结合外接圆的半径可以求出c=2,根据三角形面积公式、利用重要不等

式进行求解即可.

【详解】⑴由已知及正弦定理可得(用-+=仅+。)优-c),

整理得/+人2一,2=屈6,

...cosC='+"-2="

2ab2

•1•Ce（O,7i）,.-.C=^

(2)外接圆的半径为2,

~~~77=4，得c=2,:.a°+b°=4+y/^ab,

sinC

又a。+b2>2ab,:.ab<4（2+6）,

当且仅当a=b=#+后时，等号成立，

.■.5=-aZ>sinC<-x4（2+V3）x-=2+V3,

22、‘2

即V4BC面积的最大值为2+G.

16.(1)证明见详解

⑵甯

【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理、平行线的性质进行证明即可;

（2）作ENLAD,垂足为N,根据平行四边形和矩形的判定定理，结合（1）的结论，利用

勾股定理，因此可以以BC,B尸所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标

系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】（1）因为用，平面/BCD,又/Ou平面/BCO,

所以EB_L4D.又FA/_L4D,^.FB^FM,

所以平面3EW.因为3C7//D,所以8c_1平面跳亚.

（2）作EN工AD,垂定为N.则FM〃EN.又EF〃AD,

所以四边形月⑷出是平行四边形，又ENLAD,

所以四边形FMVE是矩形，又四边形NDE77为等腰梯形，且XD=4,EF=2,

所以4W=1.

由（1）知4D_L平面所以BML4D.又=6，

所以5版=1.在RtZUFA/中，FM=>JAF2-AM2=V10.

在Rt△月或中，FB=4FM1-BM-=3.

由上可知，能以8M,BC,8尸所在的直线分别为X轴、y轴、Z轴建立如图所示空间直角坐

则4-1,-1,0),5(0,0,0),尸(0,0,3),£)(-1,3,0),£(0,2,3),所以，25=(1,1,0),旃=(0,0,3),

55=(-1,3,0),前=(0,2,3),设平面尸的法向量为所=(再,如4),

m-AB=0fx+y.=0,

由一，得:可取应=(1,-1,0).

m^BF=0匕=0,

设平面的法向量为元=（%2，%/2）,

X

n-BD=OzB[~2+3%=°，

由，侍上2j—,可取元=(9,3,2).

n-BE=Q

济•元—9—3_3而

因此，cos<m,

\m\-\n\V1+1-J81+9+447

依题意可知，平面45厂与平面。5E的夹角的余弦值为工巨.

47

17.（l）x+y+6=0或x+y-VJ=0

（2）证明见解析

【分析】（1）根据直线倾斜角得到直线的斜率，进而设直线方程，根据直线与曲线有一个交

点联立方程组解得答案；

（2）设直线/为歹=丘+6,直线/与椭圆G只有一个公共点联立方程组消元得2/一/+1=0,

-4kb

X1+X2=2FZT

直线与椭圆G交于48两点，连立方程组结合韦达定理得,结合三角形面积

2b-4A

公式得答案；

丫2

【详解】（1）因为直线/倾斜角为135。，直线/为"f+"因为椭圆G：5+/=I,

y=-x+b

直线/与椭圆C]只有一个公共点，联立方程一,得39—2勿+/-2=0,

——+y=1

[2，

.・4=4/-12伍2-2）=0,力=±若,所以直线/为x+y+百=0或尤+y-a=0

y=kx+b

（2）因为直线/与椭圆q只有一个公共点，设直线/为＞=h+人由公,得

——+V=1

12，

2222

（2A：+1）x+4kbx+2b-2=0,A=16cV-4伴+1）笆_2）=o；.-b+1=0,

y=kx+b

又因为直线与椭圆Q交于45两点f,得（2/+1）/+4物+2〃-4=0

[42

-4kb

国+%="71

所以：：：，因为直线/与歹轴交于点（0,6），所以冈再-X21

2P—42

所以%。B=加血司FT=2”仁事-4-券：

孚质不小殍声m

18.(1)/(汾的单调减区间为：为-2)；单调增区间为：(F,0),(ln2,+o>)

(2)1个

【分析】(1)对函数求导，利用导数正负与原函数的关系求解即可；

(2)结合(1)间的单调性，求出函数“X)的值域，结合零点存在定理即可求解.

(3)将零点问题转化为函数交点问题，求出〃x)在区间-1,；上的值域即可求解.

【详解】(1)由题可得：f\x)=xex-2x=x(ex-2),

令广a)=0,解得：x=0或x=ln2,

令/'(无)<0,解得：0<x<In2；

令/''(x)>0,解得：x<0或尤>ln2；

所以〃x)的单调减区间为：(0,ln2)；单调增区间为：(Y®,0),(ln2,+s)

(2)因为/(x)的单调减区间为：(0Jn2)；单调增区间为：(TO,0),(ln2,+oo),

由于〃0)=-1<0,则/(x)在(-*0)上无零点；

由于/(In2)=2(ln2-l)-(ln2)2<0,则/(x)在(O,ln2)上无零点；

由于/(2)=e2-4>0,则由x)在(In2,2)上存在唯一零点；

综上，函数/(x)在R上存在唯一零点.

(3)若g(x)=/(x)-机在区间-1,|上有两个零点，则函数y=/(x)与>=加在区间-1,1上

有两个交点；

由(1)知，“X)在(-1,0)上单调递增，(0,g)上单调递减；

/(0)=-1<0,=/(-I),

所以函数了=/(x)与>=加在区间-I,：上有两个交点，则-渔一!<机<T,

12」24

即g(x)=/(x)-加在区间上有两个零点，则加的范围为-丰-：，一“

19.(1)(2,+oo)

(2)不存在，理由见解析

(3)答案见解析

【分析】(1)根据题意得到2加-1>1,且(〃/+1)-2机>1,,再解不等式组即可；

(2)首先假设存在等差数列｛即｝符合要求，从而得到("-l)d<〃+2成立，再分类讨论”=1和

〃>1的情况，即可得到答案.

(3)首先设数列｛%｝的公比为则根据题意得到

a„+i-a„=a“q-a“=a„(^-1)>1>0,从而得到;。2-；%为最小项，同理得到^出