浙江省协作体2024-2025学年高三年级上册开学考试数学试题（解析版）

2024学年第一学期浙江省名校协作体试题

高三年级数学学科

考生须知:

1.本卷满分150分，考试时间120分钟：

2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号;

3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；

4.考试结束后，只需上交答题卷

选择题部分

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

2

A=lx\x>l\B=lx|2x-5x-3<0)AD

1.已知集合V,II则A|J3=()

[3

A.B.<xx>>C.<xl<x<—>D.{x|l?x3}

【答案】B

【解析】

分析】先求出集合3,再求出A]B.

【详解】由8={厘2%2—5x—3<o}=<x—g<x<3>,

1'

则=尤之x——<x<3>=(xx>——>,

2,

故选：B.

2.已知复数z满足5z+35=8—2i,则忖=()

A.1B.2C.&D.20

【答案】C

【解析】

【分析】设2=。+历(aeR力wR),由5z+35=8—2i,根据复数相等求出z,再利用复数模的计算公

式求出目.

【详解】设2=。+历(。£1^/?€11),则5=。一历(aeR,beR),

由5z+3彳=8—2i,则5（。+历）+3（。一历）=8—2i,

化简得8a+2历=8—2i,

8a-8—l

则<解得

2b=-2[b=-1

则z=1—i,

所以忖=Ji?+(—1)2=^2-

故选：c.

3.已知等比数列｛4｝的前2项和为12,a1—%=6,则公比4的值为()

11

A.-B.2C.一D.3

23

【答案】A

【解析】

【分析】根据等比数列的通项公式建立方程组，解之即可求解.

【详解】由题意知，设等比数列的公比为q(qwO),

%+a2=12%+。.=12

则，即<

q—。3=6%―qq2-6，

解得q=；,a,=8.

所以q=g

故选：A

4.已知平面向量加，〃满足：帆=网=2,且加在川上的投影向量为;几，则向量比与向量〃一加的夹角

为()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】c

【解析】

【分析】根据题意，由投影向量的定义可得利.“=2,再由向量的夹角公式，代入计算，即可求解.

m-nn1

【详解】因为加在“上的投影向量为~\~r,~n=^n9即—二i，所以机・〃二2,

河|川22

—m）=—|m|2=2—22=—2,

'|=J(力一加)？=—2m•几十2

n—m\|m|=/4-242+4=2,

-21

所以cos(机，力一根)

-2^22

且0°W(ni,n-Tn)<180°,则〈加,〃一加〉=120°.

故选：C

5.已知函数/(x)=sin(«x+°“o〉0,阐＜|J满足/=最小正周期为兀，函数g(九)=sin2x,则

将/(%)的图象向左平移()个单位长度后可以得到g(x)的图象

71715兀1171

A.—B.-C.—D.---

126612

【答案】A

【解析】

7T

【分析】根据题意，求得函数/(x)=sin(2x-:)，结合三角函数的图象变换，即可求解.

6

2几

【详解】由函数/(X)=sin(8+0)的最小正周期为兀，可得力=下=2,

因为/(一)=1,可得/(—)=sin(---1-(p)—1,可得----(p——I-2左兀,左£Z,

33332

即0=---1-2ATI,k7J,又冏＜一,当k=0时，可得W=—，

626

TT7T

所以/(X)=sin(2x——)=sin[2(x——)],

612

将/(%)=sin[2(x--)]向左平移£个单位，可得函数g(x)=sin2x.

故选：A.

6.已知圆锥的底面半径为1,高为3,则其内接圆柱的表面积的最大值为()

7兀9兀5兀

A.B.2兀D.

44~2

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，设内接圆柱的底面半径为「，高为〃，可得々=3（1-厂），再由圆柱的表面积公式，代

入计算，即可求解.

【详解】设内接圆柱的底面半径为「，高为〃，

因为圆锥的底面半径为1,高为3,

由相似三角形可得。=■，则/z=3（l—r），

则圆柱的表面积为S=2兀/+2nrh=2jir2+27irx3（l-r）

=271r°+6nr—6nr2=-4nr2+6nr，

即S=-4兀产+6兀厂=-4兀fr2-r

.f3

=-4nr----

I41+0

39

所以当内接圆柱的表面积取得最大值为一兀.

4

故选：C

V2V2Y2V2

7.已知A3是椭圆土+乙=1与双曲线上一二=1的公共顶点，M是双曲线上一点，直线分别

4343

交椭圆于两点，若直线过椭圆的焦点产，则线段的长度为（）

33

A.-B.3C.273D.-73

22

【答案】B

【解析】

【分析】根据几何关系可知直线相等，直线MB,斜率相等，由此可得出直线CB,D3的几何

关系，由此可得出C的横坐标，代入椭圆方程即可求解.

2222

【详解】由AI是椭圆?+4=1与双曲线?-：=1的公共顶点，得A（—2,0）,5（2,0）,

不妨设直线。过椭圆的右焦点”1,0),

设点/(%,%)，则直线M4,MB的斜率分别为上"4=左MB=°57

X。-I_L'o'

又因为五—甚=1,可得上=

43%+2x0-24

设点C(%,%)，则直线CA,CB的斜率分别为kCA=一^,5=，

X]।乙X]/

22YY3

又因为9+&=1,所以《4•左CB==

43%1+2x1-24

因为kMA=七八，所以kMB-kBD--kCB,

所以直线CB,D5关于x轴对称，所以直线CDLx轴，

又因为直线。过椭圆右焦点尸，所以C(Lx),代入椭圆方程得％=±万,

所以|CD|=3.

故选：B

8.正三棱台ABC—A5cl中，A3=244=2后,A4,=2,点。为棱A3中点，直线/为平面44G内

的一条动直线.记二面角C—/—。的平面角为。，则cos。的最小值为()

1J71

A.0B.-C.—D.-

8147

【答案】D

【解析】

【分析】先找到二面角C-/-。的平面角的最大值，即cose最小，再求解出此角的余弦值.

【详解】取4及中点石，设/交GE于点产，

抵

版"X

AC

四边形ABB^为等腰梯形，D,E分别为AB,4发的中点，

则有GE，43]，ED±,

C\EED-E,C[E,EDu面EDCG,所以弓4_L面E£＞CC\,

当有/，面EDCC],

DF,CFu面EDCG，得DF_L/,CFLI,

则ZCFD为二面角C—/—£＞的平面角，

由对称性可知当PC=ED时，ZCFD最大，

作FH上CD,AB=2AlBl=2^3,AAl=2,点。为棱A3中点，则CD=3,

2

设0,01分别为VA3C和△4用。1的中心，则C0=§CD=2,Ga=l,

又CCi=2,解得。0]=若，则棱台的高为6，则有=

Dp2+CF2-CD21

在△EDC中，由余弦定理得cos£=——

2DFCF7

故选：D.

【点睛】关键点点睛：

本题的关键点是得到当〃小片且/C=ED时，二面角C-/-£＞的平面角最大.

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.已知随机变量X服从正态分布N（〃,b2）,b越小，表示随机变量X分布越集中

B.数据1,9,4,5,16,7,11,3的第75百分位数为9

C.线性回归分析中，若线性相关系数”越大，则两个变量线性相关性越弱

D.已知随机变量则E（X）=g

【答案】AD

【解析】

【分析】根据正态曲线的性质判断A；根据百分位数的定义判断B；根据相关系数与相关性的关系判断C；

由二项分布均值的公式求E（X）,判断D.

【详解】对于A,随机变量X服从正态分布N（〃,b2）,b越小，即方差越小，

则随机变量X分布越集中，因此A正确；

对于B,将数据从小到大排序为：1,3,4,5,7,9,11,16,共8个数据，由8x75%=6,

9+11

则第75百分位数为-----=10,因此B错误；

2

对于C,线性回归分析中，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数卜|越接近于1,

反之W越接近于0,线性相关性越弱，因此c错误；

对于D,随机变量乂~517,3）则E（x）=7xg=g,因此D正确；

故选：AD.

10.设函数〃尤）与其导函数广⑺的定义域均为R,且/'（x+2）为偶函数，/（l+x）-/（l-x）=0,则

（）

A.r（i+x）=r（i-%）B.r（3）=o

Cr（2025）=0D./（2+x）+/（2-x）=2/（2）

【答案】BCD

【解析】

【分析】由已知条件可得导函数对称性，判断A；由已知推出导函数的对称轴即可判断B；结合导函数对称

性推出函数周期，进而利用周期进行求值，判断C；根据导数求导法则即可判断D.

【详解】对于A,〈/(1+x)—/(I—x)=0,.•./”+x)+r(l—x)=0,

即/'(X)关于(1,0)对称，故A错误；

对于B,/'(x+2)为偶函数，故/'(x+2)=/'(—x+2),即/'(x)关于％=2对称，

由/'(%)关于％=2对称,知/'(3)=/'⑴=。,故B正确；

对于C,y'(%)关于％=2对称和f'(x)关于(1,0)对称可得：f(x)=—/'(―x+2)=f(-x+4),

故r(x+4)=-r(x+2)=-[-/'(叫=/'(力，即/'(1)的周期为%

所以/'(2025)=/'(1)=0,故C正确；

对于D,由/'(x+2)=/'(—x+2)得：/(x+2)=-/(-x+2)+m,

即/(x+2)+/(-%+2)=7"，令x=0得，2/(2)=加，

故〃2+力+〃2-力=2〃2),故D正确.

故选：BCD

11-已知正项数列｛4｝满足«i=1,an+2(a„+1-«„)=an(a,i+2-an+1)(«eN*),记

T"=+a2a3++anan+\,(2=4.则()

A.｛叫是递减数列B.出024=々相

4

C.存在〃使得7；=§D.、〉10

i=l

【答案】ABD

【解析】

211,1、

【分析】先将递推式整理成——=一+——，推得等差数列｛一｝,设公差d,写出通项，利用裂项相消法

4+1an4+2an

求出T“，由工2=4求出公差，得到4“,北；对于A,B,C项，通过。”,4易于判断；对于D项，则需要先证

wo[5io。]

x>ln(x+l)(x>0),将待证式转化成证明Z丁利用已证不等式将Zh々进行放缩化简即可证

得.

\a\211

【详解】由4=1,%+2%+1一%)=„(4+2一q+J可得]一=1+――,

%+1UnUn+2

则5=I+(〃T",即可=正上

故数列｛—｝构成等差数列，设公差为d，

an

于7，!+1[l+(H-l)t/][l+nz/]d(n-l)J+lnd+1

则北=%出+。2。3++

一[(1-------)+(----------------)+

dd+1d+12d+l(zi-l)d+lnd+1dnd+\

因4,=4,代入解得[=,，故见66n

n

6几+5'n+6

对于A,因为=去，则｛4｝是递减数列，故A正确；

对于B,把〃=2024代入=—9—,计算即得出024=一。一，故B正确；

n+52029

对于C,由(=0-=3可得"=CeN*,故C错误；

"n+637

对于D,先证明x>ln(x+f)(x>。).设/(x)=x—ln(x+l),%>0,

1Y

则f'(x)=1--------=——>0,即/(尤)=%-1110+1)在(0,+00)上为增函数,

x+lX+1

故/(%)>/(0)=0,即得x>ln(x+l)(x>0).

10010015

要证£q>10,即证：^(―)>T-

/=1,=1，+33

由x>ln(x+l)(x>0)可得一-->ln"型,

〃+5〃+5

e-1、I7,8,106,106I53…I25

则/(----)>In—+In—H----bln-----=In-----=In一>lnl7>Ine>—,

£i+567105633

100

故必有即D正确

i=l

故选：ABD.

ioo]5

【点睛】关键点点睛：D项，构造/(x)=x-ln(x+l)并将不等式化为\(力)〉：，进而对左侧放缩证

明即可.

非选择题部分

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.

12.^2+-^|的展开式中，常数项为.

【答案】3

【解析】

【分析】先求出［工2+工］展开式中的通项公式，然后令x的指数为0求解.

【详解】由展开式中的通项公式为：2rJ］=C，T,

令6—3左=0,则左=2,

故［必+!］展开式中的常数项为：4=C“°=3,

故答案为：3.

13.已知正实数。满足(&)“</,则。的取值范围是.

【答案】(1,4)

【解析】

【分析】将不等式两端同时取对数，再分a〉l，a=l,0<。<1讨论即可.

【详解】因为(&)“<“而,

所以ln(&)<lna后

所以qlna<JaIna

2

当a>l时，不等式化简为解得：l<a<4,

2

当。=1时，不等式显然不成立,

当0<。<1时，不等式化简为解集为空集.

2

综上所述。的取值范围是(1,4).

故答案为：(1,4)

14.将12张完全相同的卡牌分成3组，每组4张.第1组的卡牌左上角都标1,右下角分别标上1,2,3,

4；第2组的卡牌左上角都标2,右下角分别标上2,3,4,5；第3组的卡牌左上角都标3,右下角分别标

上3,4,5,6.将这12张卡牌打乱放在一起，从中随机依次不放回选取3张，则左上角数字依次不减小且

右下角数字依次构成等差数列的概率为

【答案】—

132

【解析】

【分析】根据题意，通过对公差所有可能2,-2,0,1,-1进行讨论，使用列举法，即可求解.

【详解】为方便讨论，将左上角的1,2,3改记为A,B,C,总共由A*=1320取牌可能,

对公差d讨论

当d=2时，共10种:

135246

AABCAAC

BBCABB

CCABC

当d=-2时，不可能;

当d=O时，共2种：3,3,3和4,4,4；

当d=l时,共29种,分别如下:

123

AAABC

BBC

此时有5种;

234

AAABC

BBC

CC

BBBC

CC

此时有9种;

345

AABC

BBC

CC

BBBC

CC

CCC

此时有9种;

456

ABCCC

ABB

AA

此时有6种

当d=—1时

6,5,4是1种

543

BBBC

CC

CCC

此时为4种；

432

AAAB

BB

此时有3种;

321

AAA

此时有1种.

总计有50种.

505

所以概率夕;

-1320—132

5

故答案为：-

132

【点睛】思路点睛：此类题目的关键是抓住讨论点，应用列举法处理.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15.已知在NABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足a=®a>c,

sinA+cos(B+C)=cos(B-C)；

(1)求角C的值；

(2)若VA3C的面积为二，求VA3C的周长.

7T

【答案】（1）c=-

4

⑵1+0

【解析】

【分析】（1）由sinA+cos（6+C）=cos（3—C）,禾!J用两角和差的余弦公式化简得sinA=2sinBsinC,再

根据题中条件利用正弦定理进行化简求出sinC=Y2,最后根据角的大小关系，确定角C的值；

2

JT

（2）由C=~,借助余弦定理求出A=c,即VA3C为等腰直角三角形，再根据VA3C的面积

4

为。，求出仇c的值，即可得到的VA3C的周长.

4

【小问1详解】

由题意得：sinA+cosBcosC-sinBsinC=cosBcosC+siaBsinC,

即：sinA=2sinBsinC,

a-\[lb，sinA=VlsiiLB，

又sinBwO,因此sinC=——，

2

因为因此A>C,故。为锐角，

jr

因此c=—；

4

【小问2详解】

则由余弦定理：c2=<22+Z?2-2abcosC=2b2+Z?2-2x41b2x=b2»得：b=c,

2

TTTT

因此可得：B=C=一,A=—,因此，VA8C为等腰直角三角形，

42

又S=9小―…冬a=j"闫=1

因此，VA3C的周长为1+J5.

16.己知三棱锥P—ABC满足且AP=3,BP=®BC=2直.

（2）求直线与平面A5P所成角的正弦值，

【答案】（1）证明见解析

⑵叵

10

【解析】

【分析】（1）应用等腰三角形中线是高线，得出线线垂直，应用线面垂直判定定理证明线面垂直进而得出线

线垂直；

（2）法一结合线面垂直得出线面角在，再结合面积及射影面积计算；法二应用已知条件建系，求面的法向

量再应用线面角的向量求出正弦值.

【小问1详解】

AP=3,BP=A/5,AB±PB,AB=2,

BC=2衣AB±AC,AC=2,

ACLPC,:.PC=45,

即：AB=AC=2,PB=PC=出,

取6c中点。，连接则AOLBCPOLBC,且AOPO=O,AO,POu平面AOP,

.•.3CJ_平面AOP,

APu平面AOPBCLAP

【小问2详解】

解法一：由（1）知，8。_1_平面人。/>,二平面48。_1_平面74073

作「垂足为“

平面'平面AOP=AO,且平面AOP

PH，平面ABC

V6.

AOP中cosZAOPPH=PO•sin(兀-ZAOP)=1

3"

记点C到平面ABP的距离为d,BC与平面ABP所成角为。，则sing=

BC

由匕TBP=V>ABC得：口;向;罕二年

)△A3P753

因此，sin6=W-Vio

BClo-

解法二：如图，以。为坐标原点，04,03所在直线分别为苍y轴建立空间直角坐标系

由(1)可知A(、历,0,0),8(0,、历,0),C(0,—点,0)

r\

一AOP中,cosZPAO=,AP=3,二P(-V2,0,l)

AB=(-V2,A/2,0),AP=(-2A/2,0,1),BC=(0,-2A/2,0)

设,ABP的法向量加=(羽y,z)

AB-m=0-yjlx+y[ly-0

由＜得：〈取7〃=(1,1,20)

AP-m=0-2A/2X+z=0

瓯・小272VlO

记6c与平面AJ3F所成角为e.贝！Isin。=cos(3C,历

|BC|.|m|-2V2x^To-

17.已知函数/(x)=12+2x+4,g(x)=21nx+2x+5.

(1)判断函数g(x)的零点个数，并说明理由；

(2)求曲线y=/(%)与y=g(%)的所有公切线方程.

【答案】(1)1个，理由见解析

(2)y=4x+3

【解析】

【分析】(1)由单调性及零点存在性定理求解；

(2)分别求出以“X)上的点(占"(占))为切点的切线方程及以g(x)上的点(七,g(/))为切点的切线方

程，列等式求解.

【小问1详解】

函数g(x)的定义域为：(0,+8),

2

g'(x)=—+2>0,.•.g(x)在(0,+8)单调递增

又g(e-3)=W—l<O,g⑴=7>0,,ga)存在唯一零点，在(r,1)之间.

e

【小问2详解】

/r(x)=2x+2,

以/(%)上的点(菁,〃%))为切点的切线方程为y-(片+2%+4)=(2玉+2)(%-%1).

以g(x)上的点卜2转(%))为切点的切线方程为：

(2

y—+2九2+5)=---F21(%一/).

\x2)

2%|+2=---2

A九2

令，(2)

龙：+2玉+4—(2玉+2)/=21n%2+2x2+5F2x2

、1九27

则％=,得1=%；—21lL¥],即1=%；—lux；.

X2

设函数/z«)=r—hn,则//("=1一」.

当0〈/<1时，〃”)<0/(/)单调递减，当/〉1时，〃(/)>0/。)单调递增，〃(1)=1,

1=Xf-liuf的解为X]=±1,又％2〉0,%>0,X]=1.

\/⑴和g(x)存在唯一一条公切线为y=4x+3.

18.如图，已知抛物线>2=4%的焦点为产，过点P(-1,2)作一条不经过产的直线/,若直线/与抛物线交

于异于原点的A,3两点，点3在x轴下方，且A在线段尸3上.

(1)试判断：直线E&FB的斜率之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

(2)过点3作尸尸的垂线交直线AF于点C,若_£8。的面积为4,求点3的坐标，

【答案】(1)为定值，1

(2)(3,-2@与(7,-2⑺

【解析】

【分析】(1)易知直线AF与班'的斜率均存在，设/:x=〃z(y-2)-1,联立抛物线方程，利用韦达定理和

两点表示斜率公式计算可得kFA-kFB=1,即可下结论；

⑵设则3C：y—2f=x—产，联立屏方程，求出点M坐标，同理解出C的坐

标，则M为5c的中点，进而8而=25.=忸叫・|引0|=］卜—3)、8|=4,建立关于r的方程，解

之即可求解.

【小问1详解】

若AF的斜率不存在，则点3不存在或与原点重合；

若斯的斜率不存在，则点A与原点重合，因此，直线AF与斯的斜率均存在，

设直线/:x=m(y—2)—1产(1,0),

代入抛物线方程得：4枢y+8m+4=0,

设人(%,%),5(%2，%)•则%+%=4血，乂%=8切+4,

___________16yly2__________________

=1

(%%)2—4(%+%)2+8%乂+16

所以直线FA,FB的斜率之积为定值1.

【小问2详解】

由题意可知，的斜率为—1,方程为，=一％+1,

设点5(产,2/)(/<0/7—1),所以直线3C:y-2t=x-产,

y=-x+l21+1

解方程组得冗=

y—2t—x—r2

因此直线5C与P厂的交点坐标为M——-——,---------