2025年高考数学一轮复习：导数与函数的单调性（十二大题型）（练习）（解析版）

第02讲导数与函数的单调性

目录

01模拟基础练...................................................................2

题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像...............................................2

题型二：求单调区间.............................................................................3

题型三：已知含参函数在区间上的递增或递减，求参数范围.........................................4

题型四：已知含参函数在区间上不单调，求参数范围...............................................6

题型五：已知含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围..................................8

题型六：不含参数单调性讨论....................................................................9

题型七：导函数为含参一次函数的单调性分析....................................................10

题型八：导函数为含参准一次函数的单调性分析..................................................12

题型九：导函数为含参可因式分解的二次函数单调性分析..........................................13

题型十：导函数为含参不可因式分解的二次函数单调性分析........................................16

题型十一：导函数为含参准二次函数型的单调性分析..............................................17

题型十二：分段分析法讨论函数的单调性........................................................20

02重难创新练..................................................................21

03真题实战练..................................................................34

//

题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像

1.已知函数“X）的定义域为R且导函数为了'（X）,如图是函数y=W'（x）的图像，则下列说法正确的是（）

A.函数/（x）的增区间是（一2,0）,（2,+“）

B.函数/⑺的减区间是（-8,-2）,（2,+力）

C.》=-2是函数的极小值点

D.x=2是函数的极小值点

【答案】D

【解析】由图及题设，当0<x<2时，r（x）<o；

当x>2"'（x）>0；

当一2<》<0时，r（“<o；

当x<—2时，r（x）>0；

即函数/（X）在（口,-2）和（2,+8）上单调递增，在（-2,2）上单调递减，

因此函数/（x）在x=2时取得极小值，在x=-2时取得极大值；

故A,B,C错,D正确.

故选：D.

2.（2024.高三.安徽亳州.期中）已知函数/⑺的导函数是（（力=7^则函数的图象可能是（）

c.

【答案】B

【解析】由题知/'(x)20且不恒等于0,又旷=1-三在(0,1)上单调递减，在(-1,0)上单调递增,

y=4在定义域上单调递增，

所以广⑺在(0,1)上单调递减，在(-1,0)上单调递增，

即当时，/'(X)的值由小变大，再由大变小，

即函数/(x)图象从左到右是单调递增，且变化趋势是先慢后快再变慢.

故选：B.

3.(2024.高三.辽宁抚顺.开学考试)如图为函数〃力=加+凉+s+d的图象，尸(x)为函数/⑺的导函

数，则不等式丘/'(“<0的解集为(

C.（后+OO）D,卜,8-V3）（0,73）

【答案】D

【解析】由题可得函数“X)的单调增区间为卜吸-石)，(石,+8),单调减区间为卜后代卜

所以尤,一百)(省,+勾时，>0,无€卜君，有)时，/，(%)<0,

由x",(x)<0,可得或］；湍<0,所以无一⑹(0,@.

故选：D.

题型二：求单调区间

4.函数/(无)=(x-1)ex—/的单调递增区间为,单调递减区间为

【答案】(一8,0),(In2,+oo)(0,In2)

【解析】解析：f(x)的定义域为R,f(无)=xex—2x=x(ex—2),

令f(尤)=0,得x=0或无=ln2.

当x变化时，f(x),/(无)的变化情况如下表,

X(—00,0)0(0,In2)In2(In2,+oo)

f(X)+0—0+

/(x)单调递增单调递减单调递增

/(x)的单调递增区间为(一8,0),(In2,+oo),单调递减区间为(0,ln2).

5.(2024・高三•辽宁•期中)已知函数/(%)的定义域为(0,+@),导函数为r(x),#'(x)-/(x)=xlnx,且

辰"，则"X)的单调递增区间为.

【答案】(0,+8)

【解析】因为函数/(X)的定义域为(0,+8),另g(x)=/@,则="=叱,

XXXX

所以g(x)=;山2%+。,即'(')=；11?冗+。,

又了|4=^+f?cI则f(x)fa+4

贝IJ尸(x)=J_ln2x+lnx+!=!(lnx+l)220,当苫=!取等号，

222e

所以“X)在(0,+8)单调递增.

故答案为：(。,+8)

6.函数〃力=彳3-3》+1的单调递减区间是.

【答案】(-U)

【解析】易知〃x)=d-3x+l的定义域为xeR,

贝!)/'(%)=3*2-3=3(%-1)(%+1),令/'(%)<。，解得一1<%<1；

即可知函数4》)在区间(-M)上是单调递减的，

所以函数〃力=丁-3%+1的单调递减区间是(-1,1).

故答案为：(-M)

题型三：已知含参函数在区间上的递增或递减，求参数范围

7.(2024・贵州遵义•模拟预测)若函数f(x)=ej'在区间(1,3)上单调递增，则。的可能取值为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】由题设/(x)=e/”在区间(1,3)上单调递增，所以「(x)=e*5(2x-a)20恒成立,

所以(1,3)上2x-420恒成立，即aV2x恒成立，

而y=2x在(1,3)上递增，故aW2.

所以A符合要求.

故选：A

8.若函数/(%)="-Inx在区间(1,口)单调递增，则左的取值范围是()

A.(-oo,l)B.(-oo,l]

C.(1,+co)D.[l,+oo)

【答案】D

【解析】若函数〃力="-In%在区间(1,+a))单调递增，

贝IJ/(X)=Z-L20在(1,E)上恒成立，即左21在(1,+8)上恒成立；

X%

又函数>=!在(1,包)上递减，所以,<1恒成立，则上21

%X

故上的取值范围是[1,+8).

故选：D.

9.设/(元)=》-三+。在。,+0))上为增函数，则实数。取值范围是()

A.[0,+<»)B.[1,+<»)C.[-2,+oo)D.[-l,+oo)

【答案】D

【解析】由题意，:。)=1+40在。,+8)上恒成立，即02-炉恒成立，

而~x2e(―co,—1),故a2-4.

故选：D

10.已知函数/(力=〃。'-111%在区间(2,3)上单调递增，则〃的最小值为()

1

A.2e_2B.eC.e-1D.-e-29

2

【答案】D

【解析】依题可知，1(力二〃^-/之。在(2,3)上恒成立，

显然。>0,所以

设g(x)=B,x«2,3),所以g〈x)=(x+l)>>0,所以g(x)在(2,3)上单调递增,

1111

g(x)>g(2)=2e2,故2e2z：,即“？£=；片2,即°的最小值为

故选：D.

题型四：已知含参函数在区间上不单调，求参数龟围

11.(2024・高三・福建三明•期中)已知函数〃耳=加-4冰-Inx,则〃x)在(1,3)上不单调的一个充分不必

要条件是()

A.B.C.八6，+1D./-昙)

【答案】B

【解析】/(%)=w~^ax~\x>o),

令g(x)=2ax2-4ax-1,

因为〃X)在(1,3)上不单调，

/⑴在(1,3)上有变号零点，即g(x)在(1,3)上有变号零点，

当a=0时，g(x)=-l,不成立；

当中0时,只需g⑴w(3)<0,即(-2a-l)(6o-l)<0,

解得0<一(或a>”，

26

所以/(X)在(1,3)上不单调的充要条件是a<-；或a>|,

所以/'(x)在(1,3)上不单调的一个充分不必要条件是a>：,

故选：B

12.(2024.高三.河南•期末)函数〃x)=2x2-alnx+l在("3,a)上不单调，则实数a的取值范围为()

A.*4B.RjC.[3,4)D.[3,4]

【答案】C

【解析】函数”》)=2*—Hnx+1定义域为(0,+8),

由题意，函数八％)=2%2_如％+1在(〃一3,a)上不单调，

所以((耳=4光，在("3,0)上有零点，

X

即方程r（x）=4x-/=0在（。一3,。）上有卞艮,

即方程4/=0在（a-3,a）上有根，

寸…4（〃-3）2<〃<4〃2

所以<v7,即34a<4,

。一320

所以实数。的取值范围为［3,4）.

故选：C.

13.已知函数〃同=；加+尤2+尤+3在［0,2］上不单调，则0的取值范围是（）

5

A.B.—oo,--

4

5

C.1D.——,+oo

-?-4

【答案】B

【解析】由题意可知，f'（x^ax2+2x+l,

若函数〃元）在［0,2］上单调，则/'（X）20或/'⑺V0,

当x=0时，/'（0）=1>0恒成立，

71O1

当X£（0,2］,转化为-------,或------,

XXXX

设％=—1£2'+8）‘贝U4或〃<一2/-产恒成立,

x

25

y=-2t—t=—(t+1『+1e—00,-------

4

所以

4

所以函数〃尤）=363+/+尤+3在［0,2］上不单调，则。

故选：B

14.已知"x）=-gx2+6x_81nx在［以机+1］上不单调，则实数加的取值范围是（

A.（1,2）B.（3,4）C.（l,2］u［3,4）D.（1,2）（3,4）

【答案】D

【解析】由于/a）=_L/+6x_81nx,可得尸（无）=_X+6—1__（X2）（X4）,

2xx

可得函数"x)=-gx2+6x-81nx的极值点为：x=2,x=4,

由-；尤2+6x—81nx在上不单调,

可得根<2<冽+1或相<4</"+1,

解得机«1,2)。(3,4).

故选：D.

题型五：已知含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围

15.函数/(x)=2/+6的一个单调递增区间为口，+"),则减区间是()

A.(-8,0)B.(-U)C.(0,1)D.(-oo,l),(0,1)

【答案】B

【解析】函数/(尤)=2_?-亦+6,贝I］/'(x)=6/-a,

当aWO时，/'(尤)20恒成立，函数Ax)在其定义域内是递增.

当。>0时，令尸(x)=0,解得：*=±A，

当时，f'(x)>0,函数/(x)是递增.

.函数/(无)的一个单调递增区间为［1,+«)),故得：戊=1,解得：a=6,

・•・X在(-1,1)时,f\x)<0,函数/(X)是递减.

故选：B.

16.已知函数/(力=滓-Inx在区间(1,2)上单调递增，则。的最小值为().

A.e1B.eC.e-1D.e-2

【答案】C

【解析】依题可知，尸⑺=a'-g20在(1,2)上恒成立，显然°>0,所以xe一，

设g(x)=xe，,x«L2),所以g'(x)=(x+l)->0,所以g(x)在(1,2)上单调递增，

g(x)>g(l)=e,故eN，，即即a的最小值为

故选：C.

17.(2024.高三・陕西汉中・期末)若函数/(x)=lnx+依2—2在区间\,1］内存在单调递增区间，则实数。的

取值范围是.

【答案】(-8,+8)

【解析】定义域为xe(O,—),而/'(尤)=:+2"，由已知得函数/(x)=lnx+^2_2在区间U内存在单

调递增区间，则户")>°在'J上有解，化简得，令旦⑴二-5，由幕函数性质得g(x)在'J

上单调递增，g(x)>g[：j=-8,则ae(-8,+00).

故答案为：(-8,+oo)

18.(2024.全国•模拟预测)若函数〃x)=(尤2-m+2)e，在上存在单调递减区间，则根的取值范围

是.

【答案】(2,+8)

【解析】因为“力=(%2—mx+2)e",

所以/'(%)—(2x—m)ex+(x2—mx+2)ex=^x2+(2—m)x+2—m^ex,

11

则原问题等价于尸(x)<0在-g」上有解，即尤2+(2-加)x+2-“<0在--J上有解，即2-〃?<‘一在

2」x+l

-pl上有解，

令，=%+1,贝g,2,x=t-l,

所以x+广t=++[21[22]=。，

当且仅当"L即方=i时，等号成立，此时％=0,

t

所以?=0,贝|J2—m<0,

1%+lmax

所以m>2,即m£(2,+oo).

故答案为：(2,+8).

题型六：不含参数单调性讨论

19.设函数/(%)=办2_%_1nx当[=1时，求/(X)的单调区间；

1_2/一天一1_(2x+l)(x-1)

【解析】当1=1时，/(x)=d—X—Inx,其定义域为(o,y).尸(X)=2x—1—

XXX

当X€(O,1)时，/'(力<0,当xe(l,+co)时，/'(x)>。，

所以/(x)的单调递减区间为(。,1),单调递增区间为(1,4W).

20.若函数〃x)=21nx+无+求/(X)的单调区间.

【解析】由函数〃尤)=21nx+x+1,可得其定义域为(0,+巧，

且广(x)=2+1二=42=攵匚学±'>o,

XXXX

令广(x)=0,可得x=l,

当xe(O,l)时，r(x)<0,/(x)在(0,1)上单调递减;

当xw(l,+oo)时，>0,/(X)在(1,+8)上单调递增.

综上，〃元)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+8).

21.已知函数+Q为实数).当。=一1时，求函数了⑺的单调区间;

【解析】函数y=/(x)的定义域为(0,+8),f'M=2x-(2«+1)+-=(2--1)6¥--).

XX

当〃=一1时，x-a=x+l>0f所以当兀£(0,；)时，/'(%)<0,

当尤£(；,+8)时，Ax)>0,所以/⑺的单调递减区间为(()1),递增区间为(1+8).

22.已知函数/(x)=Ye，.求函数/(x)的单调区间.

【解析】因f(x)=2xex+x2ex=x(x+2)ex,

由/'(x)>。可解得，x<-2或x>0；由/'(x)<。可解得，-2<x<0.

故函数/(尤)的单调递增区间为：(-8，-2)和(0,+s)；

函数〃x)的单调递减区间为：(-2,0).

题型七：导函数为含参一次函数的单调性分析

23.(2024•山东聊城・统考三模)已知函数/(%)=(机+1)%-根Inx-m.

讨论人龙)的单调性；

(m+1)Xm

【解析】f(x)=m+l--=~,xe(0,+s),

XX

①当%+1=0,即〃7=-1时，/，(%)=->0,〃处在区间(0,+8)单调递增.

②当m+l<0,即加<一1时,

令r（x）＞o,得o＜无＜上「令r（x）＜o,得

所以"X）在区间（0,一竺；］单调递增；在区间［一4,+3］单调递减.

Im+1）＜m+l）

③当机+1＞0,即机〉一1时，

^-l＜m＜0,则/口）＞0,人犬）在区间（0,+8）单调递增.

若相＞0,令/'（x）＜0,得0＜x〈旦,令/'（x）＞0,得无

所以〃x）在区间［0,」、］单调递减；在区间［上7,+s］单调递增.

综上，加＜-1时，/⑴在区间［。，一单调递增；在区间（一单调递减；

—IWWWO时，了⑺在区间（0,+s）单调递增

机＞0时一,/（X）在区间［o,一生；］单调递减、在区间单调递增.

24.已知函数/（%）=〃（％-l）-lnx（Q£R）.求函数/食）的单调区间；

【解析】/（尤）的定义域为（0,+8）,f\x）=a--=~,

XX

当aWO时，/'（x）＜0,则”x）单调递减区间为（0,+8）,无单调递增区间；

当a＞0时，令（（x）=0,解得：x=-

a:

.,.当xe（0,J时，/'（x）＜0；当时，f\x）＞0；

.../（x）的单调递减区间为（0,£|；单调递增区间为+8）；

综上所述：aWO时，则/（尤）的单调递减区间为（0,+8）,无单调递增区间；

a＞0时，/⑺的单调递减区间为（0,：）；单调递增区间为+二|.

25.（2024.河南•模拟预测）已知函数〃x）=alnx+尤-l（aeR）.讨论〃x）的单调性;

【解析】/⑴的定义域为（0,+8）,r（x）=?+i=T，

当a20时，f\x）＞0,所以〃x）在（0,+8）上单调递增；

当〃＜0时,当xe（o,-。）时，/r（x）＜0,当X£（-a,+oo）时，＞0,

所以“X）在（0,-。）上单调递减，在内）上单调递增.

题型八：导函数为含参准一次函数的单调性分析

26.(2024•北京•统考模拟预测)已知函数/。)=敏_白2.

(1)当人=1时，求曲线y=/(尤)在x=l处的切线方程；

⑵设g(尤)=/'(x),讨论函数g(x)的单调性；

【解析】(1)[k=l,

f(x)=e、-Q-，

当x=l时，/(l)=e-p

切点坐标为[1，e-g),

又/'(l)=e-l,.•.切线斜率为e-l,

•••曲线y=/(x)在x=l处切线方程为：

(e-l)x-y+g=0.

(2)/(x)=Ae*,xeR,

''-g(x)=f(x)=kex-x,xeR,

g'(x)=fex-1,xeR,

①当ZWO时，g'(x)<0成立，

f(x)的单调递减区间为R,无单调递增区间.

②当左>0时，g'{x)=kex-l=0=>x=-\nk,

所以当x<-In左时，g'(x)<0,g(x)在(-oo,-lnQ上单调递减

x>-ln%时，g'(x)>0,g(x)在(Tn上,+8)上单调递增

综上：ZWO时，/(x)的单调递减区间为R,无单调递增区间；

4>0时，的单调递增区间为(-历％,+8),单调递减区间为(-0-m左)；

27.已知函数/(x)=e£-初一l(aeR).

讨论〃工)的单调性；

【解析】V/(x)=ex-ax-l(aGR),/.f\x)^ex-a,

①当aWO时，^^)>。恒成立，此时〃尤)在(3,+®)上单调递增；

②当a>0时，令/'(x)=e*-a=0,解得x=lna,

当xe(-co,lna)时，f'(x)<0,在区间(YO,Ina)上单调递减，

当xw(lna,+x>)时，>0,/⑺在区间(lna,y。)上单调递增.

综上所述，当aVO时，〃x)在上单调递增；当。>0时，在区间(―,Ina)上单调递减，在区

间(Ina,+w)上单调递增.

题型九：导函数为含参可因式分解的二次函数单调性分析

28.已知函数/(“uf+alnx.aeR.

⑴若函数g(x)=/(x)-x在定义域上单调递增，求实数〃的取值范围；

⑵讨论函数/i(x)=〃x)-(a+2)x的单调性.

【解析】(1)g'(x)=2尤+/-120在(O,+e)恒成立,即°2(-21+可皿；

设y=—2彳2+x=-2(x-；J+g,

所以

o

(2)/z(x)=x2+aln%-(Q+2)x且定义域为x«0,+oo),

h'(x]=2x+--(a+2)=2尤T"+2)x+"=(2」—耳(尤1),

XXX

令/(%)=0,解得玉="I，%2=1，

若a«0,

当光£(o,l)时，h\x)<0,函数/z(x)单调递减；当X£(l,+8)时，hf(x)>0,函数"(%)单调递增.

若。<。<2,

当时，O。，函数MX)单调递增，当时，"(x)<0,函数,(X)单调递减;

当尤£(,+8)时,〃(%)>0,函数M%)单调递增，

若〃=2,”(幻20在定义域内恒成立，函数力(X)在(0,+8)单调增，

若a>2,

当xe(0,l)时，〃(x)>0,函数/z(x)单调递增；当时，/i'(x)<0,函数/z(x)单调递减；

当时，h\x)>0,函数/z(x)单调递增.

综上所述:

当aWO,xe(0,l),函数/z(x)单调递减；xe(l,+e),//(尤)>0,函数/z(x)单调递增.

当0<a<2,函数/i(x)单调递增；xe[],)函数/i(x)单调递减；xe(l,+s),函数//(%)单

调递增.

当a=2,函数/z(x)在(0,+8)单调递增.

当。>2,xe(O,l),函数/i(x)单调递增;尤函数/z(x)单调递减；xef|,+aol,函数/z(x)单调递

增.

29.已知函数〃x)=x-(a+2)lnx-"L规范讨论函数/(无)的单调性.

【解析】“X)=X-(a+2)InX-卓定义域为(0,+8),

a+2a+1

(⑴1।=(xT)[x(a+l)],

令/'(x)=0,得x=l或x=a+l.

当。+1<0,即。<一1时，

xe(O,l),/'(尤)<0,函数〃x)在(0,1)上单调递减;

xe(l,+a)),/(x)>0,函数/(x)在(1,+8)上单调递增；

当0<。+1<1,即-l<a<0时，

xe(O,a+l),/'(x)>0,函数/(x)在(0,a+l)上单调递增；

x«a+l,l),f'(x)<0,函数/(x)在(a+1,1)上单调递减；

xe(l,+e),/'(x)>0,函数/(%)在(1,+8)上单调递增；

当。+1=1即4=0时，

xe(O,+8),r(x)>0,函数/⑺在(0,+句上单调递增;

当a+1>1即a>0时，

xe(O,l),r(x)>0,函数。(X)在(0,1)上单调递增;

xe(l,a+l),f'(x)<0,函数/(x)在(l,a+l)上单调递减；

xw(a+l,+8),/,(x)>0,函数/(尤)在(a+L+s)上单调递增；

综上：当aW-1时，单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+。)；

当-l<a<0时，单调递减区间为(a+1,1),单调递增区间为(O,a+l),。,+力)；

当a=0时，单调递增区间为(0,+"),无单调递减区间；

当a>0时，单调递减区间为单调递增区间为(0,1),(。+1,+8).

30.(2024•河北石家庄•三模)已知函数=g尤2一(。+1)尤+“1nM。>0).讨论函数的单调性；

，/、/、

【解析】尸(苫)=无一(。+1)+2a=——x~~(——a+l}——x+a=(——x—l}(——x—a),x>0,

XXX

当0<“<1时，当xe(0,a),xe(l,+oo)时，/'(x)>0,/(x)单调递增；当xe(a,l)时，/'(x)<0,/(x)单调递

减.

当时,当xe(O/),xe(a,+e)时，/'(x)>04(x)单调递增;当xe(l,a)时,/'(x)<0J(x)单调递减;

当a=1时，r(x)>0,/(x)在(0,+s)单调递增.

31.(山东省日照市2024届高三校际联考(三模)数学试题)已知函数/(x)=alnx-x2+(a-2)x,aeR.

讨论函数“X)的单调性；

【解析】函数“X)的定义域为(0,+8),求导得1⑴=9-2x+a-2=a+1)(3+a),

XX

①当aWO时，有尸(尤)<0,此时函数/⑺在区间(0,+e)上单调递减；

②当a>0时，当xe(0,£|时，/^x)>0,此时函数〃x)在区间(0,1上单调递增；

当尤仁+。寸，r(x)<0,此时函数〃x)在区间已+小单调递减.

所以当aW0时，函数〃x)在区间(0,+向上单调递减；

当a>0时，函数/(x)在区间上单调递增，在区间［鼻,+8)上单调递减.

32.已知函数/(力=如一/.讨论/⑺的单调性；

【解析】由题意知函数“X)的定义域为(0,+8),/(尤)=0-2x=伫丑匚.

XX

当aWO时，/'(x)<0恒成立，在(0,+功上单调递减；

当a>0时，由得0〈尤〈警，

由/(力<0,得了>冬.

所以/⑺在，，警)上单调递增，在1与，+"上单调递减，

综上所述，当aWO时，/(尤)在(0,+8)上单调递减；

当a>0时，在0,早上单调递增，在［与，+$上单调递减.

题型十：导函数为含参不可因式分解的二次函数单调性分析

33.已知函数〃x)=gx2-ax-21nxSeR),当。>0时，讨论函数〃x)的单调性.

【解析】函数〃尤)=：尤2-6-21n尤(aeR)的定义域为(0,+8),

T7rf(\2X_CLX_2

乂/(%)=x-a——=---------，

xx

又。〉0,二次函数y=/一依一2,开口向上，对称轴为％="|>0,

当x=0时y=-2,所以关于工的方程炉—冰—2=0存在两个异号的实数根,

用牛仔x=-------------->0,羽=----------<0，

1222

所以当0<x〈”学8时广(力<0,

当尤>a+Jj+8时/4天)>0,

,单调递增区间为竺与踵,+s

所以的单调递减区间为0,

\7

34.已知函数/⑺=x-：Y,g(x)=alnx,其中a>0,p(x)=/(x)-g(x),讨论尸⑺的单调性.

【解析】因为〃x)=x-gx2,g(x)=alnx,/(0=f(x)-g(尤),

所以?(%)=尤-；尤2-alnx(a>0),定义域为(0,+功,

则F'(x\=\-x--=-^~X+a

XX

当1—4aW0,即时厂'(x)W0,所以尸⑺在(0,+e)上单调递减,

当1,即0<a<—时，令尸'(1)=0,

［。〉04\'

解得七二匕孚2,%=1+^^,

所以当上咚近<X<叶(近时尸⑴>0,

当0一<三经2或乜正时E'(x)<0,

所以“X）在1一手诟,叱宇3上单调递增,在0,上咛近］,［上咛近,+」上单调递减,

综上可得，当az1时尸（X）在（0,+8）上单调递减；

r八1,\（八1—11—4a）.乂、E、“、_IX,/1—J1—441+11—44）X、E、乂1

当0<a<1时/（x）在0,——-——上单倜递减，在——-——,——-——上t单调递增，在

4I1）\22）

笆三,+。］上单调递减.

35.已知函数/（x）=2ax-lnx+Law0.试讨论函数/（%）的单调性.

【解析】的定义域为（0,+助,

\c11—X—1△

f（x）=2cl----------=-------彳------,〃W0,

\,XX2X2

当〃<0时，广（“<0,则〃、）在（。,+8）上单调递减，

当a>0时，令/'（力=0,可得彳=1±2叵^或％=匕也适，

4a4〃

因为1一疝赤<0,所以x=l一疝瓯舍去,

4a4a

所以当o<x<匕互药时，r（x）<o,

4a

则/（%）在0,匕，上单调递减,

I4〃J

所以当彳>1±巫苑时，r（力>0,

4a

则“X）在］“逗,+J上单调递增，

14aJ

综上，当“<0时，〃x）在（0,+8）上单调递减，

当a>0时，〃x）在（o,l+严忑］上单调递减,在（1+下砺,+“］上单调递增.

（4a4a

题型十一：导函数为含参准二次函数型的单调性分析

36.（2024•云南•模拟预测）已知函数“”=（%-2户+5/一内.讨论函数〃司的单调性.

【解析】由〃力="一2产+三/一办，

所以(⑴=(%-1卜工+口(%-1)=(%_1)©+。),

①当a»0时，若尤©(-«/)时，/(%)<0,

所以“X)为(3,1)上的单调递减函数，

若无)时，户")>0,所以/⑺为(1,+8)上的单调递增函数，

②当ae(-e,O)时，In(-a)<1,

若xe(-oo,In(-a))时，/©)>。，

所以〃x)为(一双In(-⑼上的单调递增函数，

若无e(ln(-a),l)时，/'(龙)<0,

所以〃x)为(ln(-“)，l)上的单调递减函数，

若尤e(l,+a>)时，f\x)>Q,所以/(x)为(1,+s)上的单调递增函数，

③当a=-e时，ln(—a)=1,

对VxeR，r(x”0,所以〃x)为R上的单调递增函数，

④当ae(-8,-e)时，ln(-a)>l,

若xe(-«),l)时，用x)>0,所以/(x)为(-*1)上的单调递增函数；

若无e(l,In(-a))时，/'(x)<0,所以“X)为(1,In(-0)上的单调递减函数；

若xe(ln(-a),+8)，r(x)>0,所以/(尤)为(ln(-a),+e)上的单调递增函数.

37.已知函数/(%)=(x-2)e”—3加+ax^aGR).

⑴当a=l时，求曲线)=/(尤)在点(2,〃2))处的切线方程；

(2)讨论函数“X)的单调性；

【解析】(1)当a=l时，/(x)=(x-2)el-1x2+x,得“2)=0,

_f(x)=(x-l)eT-x+l,则左=(⑵=e2-1,

222

所以切线方程为：y^[e-l)(x-2),gp(e-l)%-y-2(e-l)=0.

(2)由题/(%)=(尤-2)e'-gax2+依其定义域为R,可得f'(^x)=(x-l)ex-ax+a=(x-l)(^ex-aj,

当aV0时，/'(x)<0,〃尤)在(一力,1)单调递减，

xe(l,+oo),f\x)>0,/(x)在(1,+8)单调递增，

当a>0时，由/'(力=0,解得玉=lna，z=1,

①当ln4=l,即a=e时，/(^)>0,则〃x)在(一“,+8)上单调递增；

②当lna<l,即0<a<e时，在区间(-8,lna),(l,+oo)上，/'(X)>°；

在区间(lna,l)上,r(x)<o:

所以/(x)的单调增区间为(-8,Ina),(1,+“)；单调减区间为(Ino,1)；

③当Ina>1,即a>e时，

在区间(-8,1),(Ina,+8)上，/'(x)>0,在区间(1,Ina)上，/,(x)<0,

所以“X)的单调增区间为(-e,l),(lna,+e);单调减区间为Ina).

38.(2024.黑龙江.模拟预测)已知函数〃x)=［m_q：e%aeR).

⑴当a=3时，求“X)在点(2,〃2))处的切线方程；

(2)讨论的单调性，并求出/(%)的极小值.

【解析】(1)当。=3时，〃x)=1|x—3)e\

贝lJ/，(x)=1+2_|x］e>

所以左=/'(2)=0,

又知"2)=0,

所以“X)在点(2,”2))处的切线方程为y=0.

一9c(9、c-11

(2)因为了'(%)=-x2+\—-3a\x+a2-3aex=-(3x-2a^(3x-2a+6^ex,

令/'(x)=0，

r।2。-2a-6

贝I」x=§或尤=--一,

所以当?时，r(x)<o,

当x<&F或x>g时，r(x)>o.

综上，〃无)在］上单调递减，在［双/6］和1上单调递增;

所以『(X)极小值=/(Ia)=(IX：a一'e石=0.

题型十二：分段分析法讨论函数的单调性

39.已知函数/(%)=(1+%)'-疗一1(%>-1),〃>0且rwl.讨论了(九)的单调性；

【解析】易知r(x)=r[(l+x)i-1].

®0<r<l.

当一1<尤<0时，(1+x尸>(1+1)。=1,BPf(x)>0,所以f(x)在(-1,0)上单调递增,当彳>0时，

(1+<-'<(l+x)°=l,BPf(x)<0,所以在(0,+8)上单调递减;

@r>l.当-l<x<0时，(1+<-'<(1+X)°=1,即/'(x)<0,所以八尤)在(一1,0)上单调递减，当x>0时,

(1+尤尸>(1+用°=1,即r(尤)>0,所以/⑺在(0,+8)上单调递增；综上所述，当0<厂<1时，Ax)在(—1,0)

上单调递增，在(0,+8)上单调递减；

当厂>1时，/(无)在(-1,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增；

40.(2024•全国•模拟预测)设加>1,函数〃x)=e2™M2x+l)[x>-£|,g(x)=e"-(x+l)2”(x>-l).

讨论“X)在[-+[的单调性；

【解析】因为〃>L所以-在「1,+coJ有定义,

/(x)=2ms1mx-2m(2x+1)'^=2〃心叩1一(2x+,

设/?(x)=1-(2x+iyn-le-2mx,xe则

h(x)=2〃2(2%+1广匕2皿-(2rn-2)(2x+l)m-2e-2mv=2片2M(2尤+1产？(2/nr+l).

当时，2x+l>0,2/nx+l>0,所以/z(x)>0,/z(x)在］-J,+。单调递增，而//⑼=。，所

以当卜寸/'(%)<0,"(0,+<»)时/'(力>0,

因此〃x)在［-］,。)单调递减，在(0,+8)单调递增；

41.(2024・全国•模拟预测)已知函数/(x)=(e'-a卜inx+bcosx,a,b&R.

若。=6,讨论/(x)在(o，g］上的单调性.

【解析】因为〃=6,所以/'(%)=exsinx+(ex-cosx-asinx

=(sinx+co&x)ex-a(sinx+cosx)

=(sinx+cosx)fex-a\

=V2sinlx+：J(e*一〃

因为所以％+：£信兀)所以sin［%+；J>0.

①若aVl,当弹(0曰时，r(x)>0,所以〃x)在(0,亳上单调递增；

②若1<°<渭，当彳€(。，叫时，/'(“<。，当尤e卜正时，/(%)>0,所以/(x)在(0,lna)上单调递

减，在［na,上单调递增；

③若在/,当x<0书时，r(x)<0,所以在“书上单调递减.

综上，当时，〃尤)在［岑)上单调递增；当i<°<浸时，/⑴在(。，皿)上单调递减，在卜氏辛1上

单调递增；当aze当时，〃x)在［°，｝］上单调递减.

1.(2024.湖北武汉.模拟预测)函数〃x)=ln(e'+l)、()

A.是偶函数，且在区间(0,+e)上单调递增B.是偶函数，且在区间(。,+e)上单调递独

C.是奇函数，且在区间(。,+e)上单调递增D.既不是奇函数，也不是偶函数

【答案】A

【解析】"》)的定义域为R,f(-x)=ln(e^+l)+|=ln(eJ+l)-%+|=ln(e^+l)-|=f(x),

\/(x)为偶函数；

x1ex-1

当x>。时，尸⑺=e-5=2G+1)>,"X)在区间(o,+8)上单调递增.

故选：A.

2.(2024.江西鹰潭.二模)已知函数〃力=£,XG(0,+O)),则下列命题不正确的是()

A.有且只有一个极值点B./（x）在g,+s1上单调递增

11

C.存在实数ae（0,+oo）,使得〃"）=-D.〃x）有最小值F

eee

【答案】C

【解析】由y=x*得lny=：dnx,令z=xlnx,

则函数z=xlnx可以看作为函数z=lny与函数y=V的复合函数,

因为z=lny为增函数，所以2=封11%与y=x”单调性、图象变换等基本一致，z'=lnx+l,

由2'=0得》=’，列表如下:

%+8］上单调递增,

在尤=工时，取得极小值（最小值）

ee

所以〃x）=V在］,+e上单调递增，即B正确；

111

在兀=人时，取得唯一极值（极小值，也是最小值）ee>-,即A、D都正确，C错误.

ee

故选：C

3.（2024.全国.模拟预测）已知函数〃x）=ln（x-2）+ln（4-x）,则的单调递增区间为（

A.（2,3）B.（3,4）C.（-oo,3）D.（3,+oo）

【答案】A

rx—2