高考数学一轮复习：平面解析几何之直线与圆、圆与圆的位置关系讲义

高考数学一轮复习讲义平面解析几何之直线与圆、圆与圆的位置关系

一、知识点讲解及规律方法结论总结

1.直线与圆的位置关系

设圆。的半径为r,圆心。到直线/的距离为4则

位置关系相离相切相交

公共点个数012

代数法/①<0/②=0/③>0

判定方法_____;__________________________________________________

几何法o(4)>ro(5)=r<r

常用结论

与圆的切线有关的结论

(1)过圆(X—a)2+(y—6)2=/(r>0)上一点夕(荀，%)的切线方程为

(曲一a)(x—a)+(%—力(7-力=/;

(2)过圆C-.(x—a)2+Qy—b)2=r(r>0)外一点P(刘，如)作圆。的

两条切线，切点分别为4B,则RA,B,。四点共圆，且N8所在直线的方程

为(为一a)(x—a)+(%—6)(7-b)=/；

(3)若圆的方程为(x—a)2+(y—b}2=r(r>0),则过圆外一点刀(西，

2

%)的切线长(x0—a)+(y0—b)—r.

2.圆与圆的位置关系

(1)设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为A,r(R>r),则

(2)两圆相交时，公共弦所在直线的方程

设圆Ci：x+y+Dix+Eiy+Fx=Q（x）,圆G：x+y+D1x+E1y+F2=Q

（**）,若两圆相交，则两圆有一条公共弦，由（幻一（丹），得（〃一@）x

+（后一氏）y+£—£=0（相年）.方程（***）表示圆G与圆G的公共弦所

在直线的方程.

注意（1）方程（和年）存在的前提是两圆相交；（2）两圆公共弦的垂直平分

线过两圆的圆心.

规律总结

圆系方程

过直线Nx+向叶。=0与圆f+/+勿|x+yDx+Ey-\-F-\-^Ax+By+

+与斗尸=0交点的圆系方程C）=0（4GR）.

/+/+〃x+£y+£+儿（x+y+

过圆a：f+/+〃x+&K+£=o和圆

〃x+£y+£）=0（4W—1）（该

G-入2+/+〃丫+尻K+£=0交点的圆

圆系不含圆G,解题时，注意检验

系方程

圆G是否满足题意）.

二、基础题练习

1.［多选］下列说法正确的是（AD）

A.若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切

B.如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交

C.“4=1”是“直线x—y+4=0与圆/+/=1相交”的必要不充分条件

D.过圆。：/+/=/外一点p（苞，％）作圆的两条切线，切点分别为N,B,则

0,P,A,8四点共圆且直线N8的方程是否x+为尸d

2.［易错题］若半径为1的圆。与圆（x+1）2+（y—2）2=9相切，则圆。的圆

心。的轨迹方程为（x+1）?+（y—2）2=16或（x+1）'+（y—2）?=4.

解析若两圆外切，则点。与点（一1,2）间的距离为4,点。在以（一1,

2）为圆心，4为半径的圆上，此时点。的轨迹方程为（x+1）2+（y-2）2=

16；若两圆内切，则点。与点（一1,2）间的距离为2,点。在以（一1,2）

为圆心，2为半径的圆上，此时点。的轨迹方程为（x+1）2+（y—2）2=4.

3.［易错题］已知圆GV+炉=9,过点P（3,1）作圆。的切线，则切线方程为一

x=3或4jr+3y—15=0

解析由题意知夕在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x=3,满足题

意；当切线斜率存在时，设斜率为N,则切线方程为y—1=A(x—3),即Nx

—y+1—3A=0,由/x。—o+i—3/d_:3,解得仁—J,所以切线方程为4x+3y

"-1)23

—15=0.综上，切线方程为x=3或4x+3y—15=0.

4.过两圆—2y—4=0与4x+2y=0的交点，且圆心在直线/：2x

+4y-1=0上的圆的方程为:十炉―3x+y—1=°.

解析易知*+炉一2y—4=0不符合题意，设所求圆的方程为，+于—轨+

2y+入(％2+y2-2y—4)=0(AA—1),

则(1+入)4x+(1+x)y+(2—2入)y—4入=0,

把圆心坐标(名，鲁)代入直线/的方程2x+4y—1=0,可得入=:，故所

1+Z1+Z3

求圆的方程为^2+y—3^+y—1=0.

5.［浙江高考］已知直线p=Ax+b(A>0)与圆/+/=1和圆(x—4)2+y=1

均相切，则-？，b=暮.

解析解法一因为直线产=Ax+6(£>0)与圆系+/=1,圆(x—4)2+y=

1都相切，所以品=q^=i，得仁今b一平.

解法二因为直线了=履+力(A>0)与圆系+/=1,圆(x—4)2+/=1都相

切，

所以直线尸Ax+力必过两圆心连线的中点(2,0),

所以24+力=0.设直线y=Nx+力的倾斜角为S,则sin9=|,又k>0,所以

9=-,所以4=tan5=—2A=一空^.

6633

三、知识点例题讲解及方法技巧总结

命题点1直线与圆的位置关系

例1(1)［多选/2021新高考卷H］已知直线/：ax+by~r=Q(r>0)与圆

C：/+/=/，点/(a,b),则下列说法正确的是(ABD)

A.若点力在圆。上，则直线/与圆。相切

B.若点力在圆。内，则直线/与圆。相离

C.若点/在圆。外，则直线/与圆。相离

D.若点力在直线/上，则直线/与圆。相切

解析对于A,若点N(a,5)在圆。上，则4+^=/,所以圆心。(0,0)

W2

到直线1的距离d=-^=所以直线/与圆。相切，故A正确；对于B,

la2-hb2

若点/(a,b)在圆。内，则a?十斤</,所以圆心。(0,0)到直线/的距离

d=%==>r,所以直线,与圆。相离，故B正确；对于C,若点/(a,b)在

la2+b2

2

圆。外，则a+l/>r,所以圆心C(0,0)到直线，的距离d=-^=<r,所

la2+b2

以直线,与圆。相交，故C不正确；对于D,因为点/在直线/上，所以i十5

c12

圆心C(0,0)到直线1的距离d=F—=r,所以直线/与圆。相切,

la2+b2

D正确.故选ABD.

(2)[2022新高考卷n]设点](一2,3),B(0,a),若直线N8关于y=a

对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点，则a的取值范围是

百|]・

解析解法一由题意知点/(-2,3)关于直线尸a的对称点为/(—2,

2a—3),所以乂"=”，所以直线的方程为y=3—a-x-\-a,即(3—a)x—

2

2y+2a=0.由题意知直线与圆(x+3)2+(y+2)21有公共点，易知圆

心为(一3,-2),半径为1,所以一〈3工+-2)XL2」即W1,整理得

22

(3—a)+(—2)

6a2—lla+3W0,解得|WaW|,所以实数a的取值范围是中|].

解法二设已知圆关于直线尸a的对称圆为圆C,则易知圆心。(-3,2a+

2),半径r=1.

又直线4?的方程为y=(^x+a,即(a—3)x—2y+2a=0.

于是，根据题意可知直线N8与圆。有公共点，从而可得

3'—2<2a+2>卫&],整理得6a2—Ha+3W0,解得工WaW3.故所求a

2232

J(a-3)+(-2)

的取值范围是W，|].

方法技巧

直线与圆的位置关系的判断方法

几何法由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断.

联立直线与圆的方程，消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，利

代数法

用A判断.

点与圆的

位置关系若直线过定点且该定点在圆内，则可判断直线与圆相交.

法

注意在直线与圆的位置关系的判断方法中，若直线和圆的方程已知或圆心到

直线的距离易表达，则用几何法；若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直

线的距离不易表达，则用代数法.

训练1（1）直线/：力x—y+l—/=0与圆C：/+（y—1）2=5的位置关系是

（A）

A.相交B.相切

C.相离D.不确定

mx—y+1-m=0,

解析解法一（代数法）由2消去P，整理得（1+加2）系

（y—1）—5,

—2®x+ffl-5=0,

因为A=16®+20>0,所以直线,与圆C相交.

解法二（几何法）由题意知，圆心C（。，1）到直线/的距离袅<1<

逐，故直线/与圆。相交.

解法三（点与圆的位置关系法）直线/：%—_/+1—勿=0过定点（1,1）,

因为点（1,1）在圆/+（y-1）2=5的内部，所以直线,与圆。相交.

（2）[2023重庆市调研质量抽测（一）]已知圆C：f+/=16上恰有3个点到

直线/：y=<3x+b（^>0）的距离等于2,则力的值为4.

解析如图，分别作直线，，办与直线/平行，且与直线/

的距离均为2.圆C：/+y=16,则圆心坐标为（0,0）,

半径7=4.圆心（0,0）到直线1,V3x-y+b=0的距离d

=*.因为圆。上恰有3个点到直线/的距离等于2,由图可知，圆。与人相

切，与1有2个交点，(转化为圆。与直线乙的位置关系)

(d+2—4("'=2,

则"得1：又仇>°，所以6=4.

Q—2<4,H<6,

v2

命题点2圆的弦长问题

22

例2(1)[2023全国卷甲]已知双曲线C：^-=1(a>0,^>0)的离心率

azbz

为花，。的一条渐近线与圆(X—2)2+(y-3)2=1交于48两点，则I

AB\=(D)

A.立B.辿C.辿D.延

5555

解析根据双曲线的离心率6=遮=£,得c=V^a,即02=5a2,即a2+62=

a

5a2,所以^=4a2,1=4,所以双曲线的渐近线方程为尸±2x,易知渐近线y

az

=2x与圆相交.

v=2%,

22得5丁一16^+12=0.设力(石，Ji),

((%-2)+(y—3)=1,

B(莅，为)，则为+苞=£,否也=点所以IAB|=V1+22|为一在I=

V5XJ(1)2_4X5=W，故选D.

解法二则圆心⑵3)到渐近线尸2x的距离d=l"2TI=",所以।

>+(-D25

AB\=2Jl~d2=2Jl-(y)2=?，故选D.

(2)[2023新高考卷n]已知直线x—妍+1=0与OC：(x—1)?+/=4交于

A,8两点，写出满足“△回■面积为黑的力的一个值2(答案不唯一).

解析设直线x—砂+1=0为直线」,由条件知。。的圆心。(1,0),半径兄

=2,。到直线1的距离d=(提示：点(X。，%)到直线4x+分+。=0

vl+mz

22

的距离d=1^o.+gyo+—)\AB\=2IR-CL=2k—二岁驾.由

22

L2_LR2yyVl+mVl+m

SAMC=l，得入整理得2疗一51勿I+2=0,解得片±2或

52Vl+m2Vl+m25

m=±।-1

2

方法技巧

求解圆的弦长问题的方法

几何设直线/被圆。截得的弦为N8,圆的半径为r,圆心到直线的距离为

法d,则U^|=2J*—曲.在解决圆的弦长问题时，多用几何法.

若斜率为4的直线与圆相交于/（羽，%），B5,力）两点，则I

2

代数ABI=V1+k•IxA—xBI=J1+.IyA—yBI（其中20）.特另U

法地，当A=0时，I=I及一名|；当斜率不存在时，\AB\=\yA

~~YBI.

训练2（1）[2021北京高考]已知圆C：f+^=4,直线hy^kx+m,当/的

值发生变化时，直线/被圆。所截得的弦长的最小值为2,则勿的值为

（C）

A.±2B.±V2C.±V3D.±3

解析解法一（几何法）设直线,与y轴交于点/（0,加，由题意知，圆

心。（0,0）,当次的值发生变化时，要使直线,被圆。所截得的弦长最小，

则圆心。到直线/的距离最大，为，即I加=向―了二疼所以勿=

+V3.

解法二（代数法）由，2+*=4,得（炉+］）4=0.设交点N

ly=kx+m

J——2km

x1rx2

fc2+1则IAB|=V1+k2IXi—苞I=

7lz—4

X1X=

12H+1•

2

V1+fc•j（%1+久2）2—4%1%2=V1+HJ（^f^）2—4•=

显然当k=0时，弦长取得最小值2=2,解得加=±8.

（2）［多选茏024南京市第五高级中学模拟］已知圆。：x+y=9,过点力（2,

0）的直线/与圆。交于弘N两点，则（BD）

A.存在直线1,使得|就|=4

B.使得IMN|为整数的直线/有3条

C.存在直线/，使得△肱加的面积为日

D.存在直线/,使得△肱2V的面积为维

4

解析因为圆。的半径为3,I如I=2,所以2J32—22WI腑IW6,即

2遍WIMN\W6,故A不正确.

若IMN\为整数，则|腑|=5或I腑I=6,且满足IMN\=5的直线/有2

条，满足IMN\=6的直线有1条，故B正确.

5k<«=|IOM\ION\sinZm=|sinZJm且点。到直线/的距离的最大值为

2.

若S=|,则sinN就31,则N就归则。到直线1的距离为3cos^=^>

2,不符合条件，故C不正确.

若S=W，则sinN掰叱*则/就归g或等若N欣加=或则。到直线/的距

离为3cosc=婴>2,不符合条件；若/M0N=胃,则。到直线/的距离为3cosm

6233

=|<2,符合条件，故D正确.故选BD.

命题点3圆的切线问题

例3［2023新高考卷口过点（0,-2）与圆x?+4—4x—1=0相切的两条直线

的夹角为。，则sina=（B）

A.1B.—C.—D.—

444

解析如图，X+y—4x—1=0,即（X—2）2+y=5,所以圆，

心坐标为（2,0）,半径r=遮，所以圆心到点（0,-2）的

IT/、

I22心〃芍—r:

距离为J（2-0）+（0+2）=2V2,因为圆心与点（0,

-2）的连线平分角a,所以sin?=乏=兴=①，所以cos

22V22V24

,所以5也&=25也285±=2'坦*渔=运.故选B.

2422444

例4已知点夕(鱼+1,2—鱼)，点〃(3,1),圆C：(x—1)2+(y—2)

=4.

(1)求过点P的圆。的切线方程；

(2)求过点〃的圆C的切线方程，并求出切线长.

解析由题意得圆心。(1,2),半径r=2.

(1)(V2+1-1)2+(2-V2-2)2=4,.•.点月在圆。上.

又朦=常竺^=—1,・••切线的斜率/=一2=1.

V2+1-1kPC

过点刀的圆。的切线方程是y—(2—V2)=x—(V2+1),即x—y+l—

2V2=0.

(2)(3-1)2+(1-2)2=5>4,

・•.点〃在圆C外部.

当过点〃的直线斜率不存在时，直线方程为x=3,即x—3=0.又点C(1,2)

到直线％-3=0的距离d=3—l=2=r,

即此时满足题意，.•.直线x=3是圆的切线；

当切线的斜率存在时，设切线方程为y—1=A(x—3),即公一y+1—3A=0,

则圆心。到切线的距离4=上筮叁*=r=2,解得

7k2+14

一・切线方程为=即

P—1-4(x—3),3x—4y—5=0.

综上可得，过点〃的圆。的切线方程为x—3=0或3x—4p—5=0.•・,I掰+=

J(3-1)+(1-2)=V5,

过点〃的圆。的切线长为JIMCI2-r2=15-4=1.

方法技巧

1.求过圆。上一点P(x。,%)的切线/方程的方法

利用冰与/垂直及/过点P求切线方程.

2.求过圆外一点的切线方程的方法

几何设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解.

法

代数设出直线方程，再与圆的方程联立，得到一个关于X或y的一元二次方

法程，利用△=0求解.

注意（1）求过一定点的圆的切线方程时，应先判断定点与圆的位置关系.

（2）设直线方程时注意对斜率是否存在进行讨论.

3.过圆外一点〃作圆的切线，求切线长的技巧

先求〃与圆心的距离d,再由勾股定理求得切线长为（其中r为圆的半

径）.

训练3（1）[2023重庆市二调]已知直线/：x—y+8=0与x轴交于点4过

直线/上的动点夕作圆/+/=16的两条切线，切点分别为C,D,则直线切

恒过定点的坐标为（-2,2）；若"是线段5的中点，则IAM\的最小值为

4五.

解析解法一设点P坐标为（吊，％）,。为坐标原点，连接OP,易证C,D

两点在以冰为直径的圆上，故C,。两点为此圆与圆系+/=16的交点，由

x2+y2=16,

化简得xox+%y=16,此方程即直线

（L殛）2+（好+%），

、2

切的方程，又点夕是直线/上的动点，所以%=x0+8,所以直线切的方程为

xox+（Ao+8）y=16,即刘（x+y）+8y=16.当x+y=0,8y=16时，y=2,

x=-2.故直线5过定点（-2,2）.令定点为必由的吐切知，OMLMF,又|

OF\=2V2,所以点〃在以⑺为直径的圆上，其轨迹方程为（x+1）2+（y-

1）2=2,设圆心为必则N（—1,1）.又/（―8,0）,IAN\=

J（—1+8）2+l2=5V2,故IAM\的最小值为5/一直=4鱼.

解法二依题意，设点P坐标为（苞，吊+8）,则切：吊才+（吊+8）y=16.

（二级结论：从圆外一点9（吊，%）,引圆/+/=/的两条切线，切点弦所

在直线的方程为Ao^+yoy=r）

后同解法一.

（2）[2021天津高考]若斜率为百的直线与y轴交于点N,与圆/+（y-1）2

=1相切于点8,则I=V3.

解析设直线四的方程为尸8x+，，则点/(O,b),由于直线四与圆

/+(y—=1相切，且圆心为。(0,1),半径为1,则上六=1,解得力

=-1或6=3,所以|力。|=2,因为18cl=1,所以|=

/22

』IACI-\BC\=V3.

命题点4圆与圆的位置关系

角度1圆与圆位置关系的判断

例5[2023安徽省十校联考]已知直线/：力x+p—3〃-2=0与圆M:(%—5)+

2

(y-4)=25交于/,8两点，则当弦N8最短时，圆〃与圆'(x+2加？+/

=9的位置关系是(B)

A.内切B.外离C.外切D.相交

解析易知直线/：勿x+y—3勿-2=0即加(X—3)+y—2=0,可知/过定点月

(3,2),因为(3-5),+(2-4)2<25,故月(3,2)在圆瓶(x—5)2+

(y-4)2=25内.故弦N6最短时直线/垂直于7%又媪=匚=1,所以IX

5—3

(一勿)——1,解得力=1,此时圆"的方程是(x+2)?+/=9.两圆圆心之间

的距离I网d=J(5+2)?+(4—(J)?=相，两圆半径分别为5,3,又痛〉

764=5+3,所以这两圆外离.故选B.

角度2两圆的公切线问题

例6[2022新高考卷I]写出与圆系+/=1和(x—3)2+(y-4)?=16都相

切的一条直线的方程x=—1(答案不唯一).

解法一如图，因为圆系+/=1的圆心为0(0,0),半径;♦

I

/X

2

71=1,圆(X—3)+(y-4)2=16的圆心为1(3,4),C

半径？2=4,所以IOA|=5,ri+r2=5,所以IOA\=口+；忒_一

及，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线Z的

方程为X=-1；②另一条公切线与公切线，关于过两圆圆心的直线，对称，

(x=—1,(%=—1,

易知过两圆圆心的直线1的方程为尸gx,由4得4由对称性

y=-x,y=-

v3V73

可知公切线L过点（一1,—1）,设公切线人的方程为y+g=N（x+l）,则

I._4I

点0（0,0）到，2的距离为1,所以1=方占，解得A=《，所以公切线的

Vk2+124

方程为（为+1）,即7x—24y—25=0；③还有一条公切线义与直线

324

1-.尸9垂直，设公切线13的方程为尸一9+3易知力＞0,则点。（0,0）

34

到的距离为1，所以1=^——'J,,解得力=9或t=—J（舍去），所

J（等4-）244

以公切线4的方程为尸一。+三即3x+4y—5=0.综上，所求直线方程为x

44

=-1或7%—24y—25=0或3x+4y—5=0.

解法二若两圆公切线的斜率不存在，则设其方程为x=力，由题意得1加=

1,且I/—3I=4,解得R=—1,所以此时两圆公切线的方程为x=一l.

若两圆公切线的斜率存在，则设其方程为y=Nx+6,由题意得===1,

v/cz+l

I3k~4+bI/

际:4,

所以有I3N—4+6|=4|61,所以可得34—4+6=±4瓦即或右

—4

5

将仁―拊入高=i化简可得人金仁一看

将6=^一9代入高=1化简可得k=~\b=\

则可得两圆公切线的方程为尸白一意或尸一

242444

即7x—24y—'25=0或3x+4y—5=0.

综上，可知两圆公切线的方程为x=—1或7x—24y—25=0或3x+4y—5=0.

角度3两圆相交的公共弦问题

例7圆6：2x+10y—24=0和圆G：f+/+2x+2y—8=0的公共弦

所在直线的方程为x—2什4=0,公共弦长为2逐.

解析联立两圆的方程，得—2"+10y—24=0,两式相减并整理得x

lx2+y2+2x+2y—8=0,

—2y+4=0,所以两圆公共弦所在直线的方程为x—2y+4=0.

解法一设两圆相交于点力(石，%),8(苞，K),贝U48两点的坐标满足

［丁丁"二°,解得卜1二％或卜2=?所以|AB\=

U2+y2+2x+2y—8=0,1%=。1X2=2.

/22

J(0+4)+(2—0)=2V5,即公共弦长为2瓶.

解法二由S+/—2x+10y—24=0,得(x—1)2+(y+5)2=50,其圆心坐

标为(1,一5),半径7=5/，圆心到直线x—2y+4=0的距离d=

!L2X-5)+4|=3倔设公共弦长为21,由勾股定理得/=/+7，即50=

(3V5)2+f,解得/=逐，故公共弦长2/=2瓶.

方法技巧

1.判断两圆的位置关系常用的方法是几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两

圆半径之间的关系，一般不采用代数法.

2.两圆的公切线问题实质为直线与圆的相切问题，利用两圆圆心到公切线的距

离分别等于两圆的半径列方程组求解.

3.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.

训练4(1)［2023湖南省六校联考］在平面直角坐标

系xOy中，圆。的方程为f+/—8x+15=0,若直线尸Ax—2上至少存在一

点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆。有公共点，则/的最大值是

(B)

AQ

A.0B.-C.-D.7

34

解析圆。的方程为—8x+15=0,则圆。的标准方程为(x—4)2+/=

1,则圆。是以。(4,0)为圆心，1为半径的圆.若直线尸而一2上至少存在

一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆。有公共点，则圆心。到直线_7=

府一2的距离公2,即」：72飞2,解得0WAW二即N的最大值为上故选B.

(2)［多选々023海南省文昌中学模拟］已知圆Q：*+/—2x—3=0和圆”：

为2+y2-2y-1=0的交点为B,直线/：x+y+入=0与圆a交于C,。两

点，则下列结论正确的是(CD)

A.直线48的方程为x—旷+/=0

B.圆口上存在两点尸和0,使得|凰|>|四|

c.圆a上的点到直线儿?的最大距离为2+四

D.若ac±0\D,则入=—3或X=1

解析圆a的圆心为aa,0）,半径口=2,圆”的圆心为a（o,i）,半

/22

径同=应，所以IaaI=J（i-o）+（o—i）=V2,r-r2<iaal<n

+r2,所以两圆相交，所以将两圆的方程作差可得直线47的方程，为x—y+1

=0,故A错误；

圆心4到直线四的距离为4=专=伍所以I加=21彳—青=2面,对于

圆”上的任意两点RaIMlW28=I,故B错误；

圆a上的点到直线N8的距离的最大值为d+ri=2+a,故C正确；

因为所以圆心a到直线切的距离为企，所以^^=鱼，故人=—

V2

3或X=1,故D正确.故选CD.

四、命题点习题讲解

1.［命题点1,2名选茏024甘肃酒泉联考］下列关于直线1,y=4x+6与圆C-.

/+/=1的说法正确的是（ABD）

A.若直线/与圆。相切，则Z/—始为定值

B.若43—灯=1,则直线,被圆。截得的弦长为定值

C.若46?—灯=1,则圆上仅有两个点到直线/的距离为｝

D.当公决寸，直线与圆相交

解析圆G=l的圆心为（0,0）,半径为1,

对于A选项，若/：y=Ax+Z?与圆C/+/=i相切，

则昌=1,可得毋一万=1,A正确；

V/c2+l

对于B选项，若4^—1=1,则圆心到直线的距离为粤=；,此时直线被圆截

V/cz+l2

得的弦长为2J12—《）2=w,B正确；

对于C选项，由B选项知，圆心到直线的距离为3=1—%此时圆上有3个点到

直线，的距离为5C错误；

对于D选项，当仁机寸，直线的方程为尸履+5即直线过定点(0,|),又

02+(|)2<1,可得点(0,：)在圆内，故直线与圆相交，D正确.

故选ABD.

2.［命题点1,4/多选/2024河源中学模拟］已知圆0：/+y=4和圆C：(x—

3)2+(y—3)2=4,P,。分别是圆0,圆。上的动点，则下列说法错误的是

(AC)

A.圆。与圆。相交

B.I凰|的取值范围是［32一4,3V2+4］

C.x—y=2是圆。与圆。的一条公切线

D.过点。作圆。的两条切线，切点分别为弘N,则存在点0,使得N优390°

解析对于A选项，由题意可得，圆。的圆心为0(0,0),半径百=2,圆。

的圆心为。(3,3),半径逸=2,因为两圆的圆心距I=3V2>2+2=n

+r2,所以两圆外离，故A错误；

对于B选项，1PQ\的最大值为IOC\+^+^=372+4,最小值为I一口

—12=372—4,故B正确；

对于C选项，显然直线x—y=2与直线%平行，因为两圆的半径相等，所以其

外公切线与圆心的连线平行，由直线OGy=x,设外公切线为y=x+t,则两

平行线间的距离为2,即号=2,t=±2V2,故y=x±2夜，故C错误；

对于D选项，易知当/刈月90°时，四边形颇V为正方形，故当I0。|=

2迎时，/MQN=90：因为圆系+/=8与圆。相交，所以圆。上存在点0,使

得/幽V=90°.故D正确.故选AC.

3.［命题点2/023高三名校联考(一)］若直线而一y+1—2/=0与圆/+/=

9分别交于必N两点，则弦腑长度的最小值为4.

解析由Nx—y+l—2A=0,得N(x—2)+(—y+1)=0,所以直线Nx—y

+1—2A=0过定点力(2,1).圆*+/=9的圆心0(0,0),半径r=3,易

知4(2,1)在圆/+/=9的内部，连接如，则当直线Ax—y+1—2A=0与

如垂直时，弦脉的长度最小，连接0M,则|0M\=r=3,又I如I=

J(2-0)+(1-0)=V5,所以|腑|皿=2132—(V5)=4,所以弦腑

长度的最小值为4.

4.［命题点3,4］过点。(1,—2)作圆G(x—1)2+/=1的两条切线，切点

分别为4B,则弦儿?所在直线的方程为(B)

A.2y-l=0B.2y+l=0

C.x+2y—1=0D.2y+l=0

解析解法一由圆G(x—1)2+/=1的方程可知其圆心为。(1,0),半

径为1.

连接⑦易得以线段切为直径的圆的方程为(x—1)2+(y+D2=1.

将两圆的方程相减，可得公共弦47所在直线的方程为2y+l=0.故选B.

解法二由与圆的切线有关的结论，得弦4?所在直线的方程为(1-1)(x—

1)+(-2)y=l,即2y+l=0.

5.［命题点4角度1］已知圆G：x+(y—2)2=4与圆G：x+2T»X+y-\-in—1

=0至少有三条公切线，则力的取值范围是(D)

A.(—8,—V5］B.［V5»+00)

C.［-V5,V5］D.(-8,—V5］U［V5,+°°)

解析圆G的圆心为G(0,2),半径口=2.把圆G的方程化成标准方程，得

(x+勿)2+y=l,所以圆G的圆心为G(—血0),半径逅=1.因为圆心与

圆G至少有三条公切线，所以圆a与圆G相离或外切，所以ICGI＞羽十8，

即“加+423,解得逐或

6.［命题点4角度3不选茏023江西省五校联考］已知圆Q-.(x—2)2+(y-

2)2=2,。为坐标原点，以OQ为直径作圆交圆。于46两点，则△如6

的面积为(A)

A.—B.—C.3D.-

242

解析如图，根据题意，圆。的圆心为0(2,2),则|OQ\

=2V2,以00为直径作圆则Q'为00的中点，则Q'

(1,1),圆0'的半径为IOQ'I=V2,故圆0'的方程为(X，一［个

-1）2+（y-1）2=2,联立圆0与圆0'的方程得

22

（久一2）2+⑶―2）2=2,整理得％+y=3,即直线N8的方程为x+y—3

、（%—1）+（y—1）=2,

=0,则点。到直线四的距离为搭=等点0到直线”的距离为2="，则I

V22V22

AB\=2X（2--=V6,故△如8的面积为工X型*逐=型.故选A.

、2222

五、习题实战演练

1.[2024江苏无锡市第一中学校考]已知点〃（荀，％）在圆/+炉=2外，则直

线久0%+%）y=2与圆的位置关系是（B）

A.相切B.相交C.相离D.不确定

解析因为点〃（如%）为圆/+/=2外一点，所以就+弁>2,又圆V+*

=2的圆心为（0,0）,半径7=四，所以圆心（0,0）到直线x0x+%y=2的

I0+0-2I

距离d=<=V2,即d<r,所以直线x（）x+%y=2与该圆的位置关

系为相交.故选B.

2.[2023广东百校联考]若直线1-.公一y+2—A=0与圆C-.系+/—4x—2y—4

=0交于4刀两点，则当△力欧的周长最小时，A=（C）

A,B.--C.1D.-1

22

解析直线/恒过点。（1,2）,圆心。（2,1）,点。在圆内，当CD11

时，IAB\最小，△48。的周长最小，由。（2,1）,D（1,2）,易得底尸一

1,所以A=l,故选C.

3.已知圆济x+y~2ay=Q（a>0）截直线为+尸0所得线段的长度是2/，

则圆〃与圆从（x—1）2+（y—1）2=1的位置关系是（B）

A.内切B.相交C.外切D.相离

解析由题知圆例/+（y—a）2=a（a>0）,圆心（0,a）到直线x+y=0

的距离df所以2Ja2-y=2V2,解得a=2.圆〃与圆N的圆心距IMN\

=V2,两圆半径之差为1,故两圆相交.

4.[2023福建漳州质检]已知48分别为x轴，y轴上的动点，若以四为直径

的圆与直线2x+y—4=0相切，则该圆面积的最小值为（C）

A.-B.—C,—D.JI

555

解析设。为坐标原点，以N8为直径的圆为圆C,与直线2x+y—4=0相切于

点〃点。到直线2x+y—4=0的距离为d,d=*,圆。的半径为r,则2r

=\CO\+\CD\^d,即在京，当且仅当0,C,。三点共线时取等号，故圆

。的面积5=—三学

5.[2023河北石家庄质检]“a巳弓”是“圆G：V+炉=4与圆C2：（%一a『+

（y+a）2=1有公切线”的（A）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析记圆4、圆G的半径分别为口，r2,由题意可知G（0,0）,r：=2,

C2（a,—a），逅=1,当且仅当圆G和圆G内含时，两圆没有公切线，即圆6；和

圆G有公切线的充要条件为IGGI>r-r2=2-l=l,即加解得aW

一y或a咨因为“2”是“aW—乎或的充分不必要条件，所以

“a呼”是“圆G与圆G有公切线”的充分不必要条件，故选A.

6.[2023河南省适应性测试]过圆/+*=4上的一点作圆/+y=1的两条切

线，则连接两切点的线段长为（D）

A.2B.1C,—D.V3

2

解析如图，记夕是圆/+/=4上任一点，过P作圆/+炉=1

的两条切线⑸，PB,切点分别为4B,连接如，OB,AB,OP,[市小

则如，加^可得I%|=1,|冰I=2,在Rt△见夕中，

cosZAOP=-,.•.NZOP=60°,：.ZAOB=2ZAOP=120°,X\OA\=\OB\=

2

L/.IAB\=V3,即连接两切点的线段长为故选D.

7.已知圆C：*+/+4x+l=0,过圆外一点夕作圆。的切线，切点为4若I

PAI=V2IPO\（。为坐标原点），则I的最小值为（D）

A.4B.4—V2

C.4—V3D.4—V5

解析圆a/+炉+4x+l=0的标准方程为(x+2)?+/y

=3,则圆。的圆心为。(一2,0),半径为国.如图，连,

--,*；..T

接NC,因为为是圆。的切线，切点为4所以为L/C,

所以|PC『-\PA\2=3,又I为I=V2\PO\,所以|PC|2-2\PO\2=3.

设P(x,y),则(x+2)2+y-2(/+/)=3,整理得T+/—4x=1,即

(x—2)2+y=5,可知点月在以〃(2,0)为圆心，逐为半径的圆上，所以|

PC\的最小值为ICM\-V5=4-V5,故选D.

8.［多选茏023吉林长春模拟］已知两个圆G：/+y-2x+4y+4=0和G：

(%—a)+y2=4相交，则a的值可以是(BCD)

A.-2B.0C.1D.2

解析因为2x+4p+4=0,所以(xT)2+(y+2)2=1,所以圆G

的圆心为C(1,-2),半径与=1,且圆G的圆心为G(a0),半径乃=2.

因为两圆相交，所以Ir{-r2I<IGGI<Ir{+r2I,即(a-l)+4

/、2

<3,即一3<(a—1)<5,

解得1—遮〈aVl+逐，结合选项可知，符合条件的为B,