第06讲 有理数的乘方（原卷版）七年级数学下册

第06讲平行线的性质课程标准学习目标①平行线的性质掌握两直线平行，同位角相等，并能够灵活应用。掌握两直线平行，内错角相等，并能够灵活应用。掌握两直线平行，同旁内角互补，并能够灵活应用。知识点01平行线的性质两直线平行，同位角相等：①性质内容：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单说成。②符号语言：若AB∥CD，则∠NEB＝∠NFD两直线平行，内错角相等：①性质内容：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单说成。②符号语言：若AB∥CD，则∠AEM＝∠NFD两直线平行，同旁内角互补：①性质内容：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单说成。②符号语言：若AB∥CD，则∠BEM＋∠NFD=180°【即学即练1】1．用一副三角板拼成如图所示的形状，使得两个三角形的直角边互相平行，则∠1与∠2相等的依据是（）A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．两直线平行，同旁内角互补 D．对顶角相等【即学即练2】2．如图，直线l1∥l2，Rt△ABC中，∠B＝60°，直角顶点A在直线l上，顶点C在直线l2上，已知∠1＝25°，则∠2的度数为（）A．35° B．45° C．55° D．65°【即学即练3】3．如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝48°，则∠2的度数是（）A．148° B．138° C．142° D．132°题型01根据平行线的性质计算【典例1】如图，a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为（）A．48° B．42° C．138° D．52°【变式1】如图，已知AE∥BC，∠BAC＝100°，∠DAE＝50°，则∠C＝（）A．10° B．20° C．30° D．40°【变式2】如图，∠ECD＝50°，点M是EC上一点，过点M作AB∥CD，若MF平分∠AME，则∠AMF的度数为（）A．60° B．55° C．70° D．65°【变式3】如图，AB∥DE，BC∥EF，若∠E＝118°，则∠B的度数为（）A．62° B．72° C．102° D．118°题型02平行线与直角三角板【典例1】如图，将直尺与含45°角的直角三角形叠放在一起，若∠2＝35°，则∠1的度数为（）A．35° B．45° C．55° D．65°【变式1】如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝60°15′，则∠2的大小为（）A．60°15′ B．39°45′ C．29°85′ D．29°45′【变式2】如图，直角三角板的直角顶点放在直线b上，且a∥b，∠1＝55°，则∠2的度数为（）A．35° B．45° C．55° D．25°【变式3】将等腰直角三角形ADE和直角三角形ABC（其中∠C＝30°）按如图所示的方式摆放，点D在BC上，若AE∥BC，则∠DAC的度数是（）A．12° B．15° C．20° D．25°题型03平行线与折叠【典例1】如图，纸片的边缘AB，CD互相平行，将纸片沿EF折叠，使得点B，D分别落在点B'，D'处．若∠1＝80°，则∠2的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【变式1】如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E．若∠1＝35°，则∠2的度数为（）A．20° B．30° C．35° D．55°【变式2】如图，矩形纸片ABCD，M为AD边的中点将纸片沿BM、CM折叠，使A点落在A1处，D点落在D1处，若∠1＝32°，则∠BMC＝（）A．74° B．106° C．122° D．148°【变式3】如图，将一条两边互相平行的纸带折叠，下列正确的是（）A．若∠1＝∠2，则∠1＝40° B．若∠1＝∠2，则∠1＝55° C．若∠1＝2∠2，则∠1＝80° D．若∠1＝3∠2，则∠1＝108°题型04平行线间的拐点【典例1】如图，直线m∥n，含有45°角的三角板的直角顶点O在直线m上，点A在直线n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．15° B．25° C．35° D．45°【变式1】如图，直线m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，点C在直线n上．若∠1＝50°，则∠2的度数是（）A．60° B．50° C．45° D．40°【变式2】如图，AB∥CD，则图中∠1、∠2、∠3关系一定成立的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2+∠3＝360° C．∠1+∠3＝2∠2 D．∠1+∠3＝∠2【变式3】如图，AB∥CD，则∠A、∠C、∠E、∠F满足的数量关系为（）A．∠A+∠C+∠F＝∠E B．∠A+∠C+∠E+∠F＝360° C．∠A+∠C+∠E﹣∠F＝180° D．∠A+∠C﹣∠E+∠F＝180°【变式4】如图，已知AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点G，H在两条平行线AB，CD之间，∠AEG与∠FHG的平分线交于点M．若∠EGH＝84°，∠HFD＝20°，则∠M的度数为（）A．64° B．54° C．42° D．32°题型05平行线的判定与性质求值【典例1】如图，已知∠1＝∠2，下列结论正确的是（）A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠4 C．∠B＝∠5 D．∠D＝∠5【变式1】如图，已知a⊥c，b⊥c，若∠1＝65°，则∠2等于（）A．65° B．90° C．25° D．70°【变式2】如图，直线a，b与直线c，d相交，已知∠1＝∠2，∠3＝76°，则∠4＝（）°A．76 B．104 C．114 D．14【变式3】如图，若∠1＝55°，∠3+∠4＝180°，则∠2的度数为（）A．115° B．120° C．125° D．135°题型06平行线的判定与性质证明【典例1】将下面的解答过程补充完整：如图，已知DE∥BC，EF平分∠CED，∠A＝∠CFE，那么EF与AB平行吗？为什么？解：因为DE∥BC（已知），所以∠DEF＝∠CFE（①），因为EF平分∠CED（已知），所以∠DEF＝②（角平分线的定义），所以∠CFE＝∠CEF（③），因为∠A＝∠CFE（已知），所以∠A＝④（等量代换），所以EF∥AB（⑤）．【典例2】如图，已知∠ABC＝180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠ADB＝36°，求∠EFC的度数．【变式1】如图，∠B＝∠BGD，∠BGC＝∠F．试说明∠B+∠F＝180°．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论根据．解：∵∠B＝∠BGD（已知），∴∥CD（）．∵∠BGC＝∠F（已知），∴CD∥（）．∴∥（平行于同一直线的两直线平行）．∴∠B+∠F＝180°（）．【变式2】请把以下证明过程补充完整，并在下面的括号内填上推理理由：已知：如图，∠1＝∠2，∠A＝∠D．求证：∠B＝∠C证明：∵∠1＝∠2，（已知）又：∵∠1＝∠3，∴∠2＝，（等量代换）∴AE∥FD∴∠A＝∠BFD∵∠A＝∠D（已知）∴∠D＝（等量代换）∴∥CD∴∠B＝∠C．【变式3】如图，已知AD∥FE，∠1＝∠2．（1）试说明DG∥AC；（2）若∠BAC＝70°，求∠AGD的度数．【变式4】已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A；（1）求证：DE∥BA．（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数．1．如图所示，直线a∥b，直线l与a，b相交，若∠1＝110°，∠2的度数为（）A．110° B．55° C．70° D．80°2．如图，直线l1∥l2，AB＝AC，∠BAC＝36°，则∠1+∠2的度数是（）A．66° B．72° C．78° D．82°3．如图，直线l1∥l2，Rt△ABC中，∠B＝60°，直角顶点A在直线l1上，顶点C在直线l2上，已知∠1＝25°，则∠2的度数为（）A．35° B．45° C．55° D．65°4．如图两直线m、n与△ABC的边相交，且m、n分别与AB、BC平行．根据图中所示角度，可知∠B的度数为（）A．52° B．58° C．70° D．72°5．如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝60°，则∠GFH的度数为（）A．20° B．40° C．60° D．80°6．如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠EFD＝32°，则∠BGE的度数是（）A．62° B．58° C．52° D．48°7．如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（）A．30° B．40° C．45° D．50°8．如图，已知AB∥CD，BE，DE分别平分∠ABF和∠CDF，且交于点E，则（）A．∠E＝∠F B．∠E+∠F＝180° C．2∠E+∠F＝360° D．2∠E﹣∠F＝180°9．图1是长方形纸条，∠DEF＝α，将纸条沿EF折叠成折叠成图2，则图中的∠GFC的度数是（）A．2α B．90°+2α C．180°﹣2α D．180°﹣3α10．平面镜在光学仪器中有广泛的应用．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图①．一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则∠1＝∠2．如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM＝30°时，∠DCN的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°11．为增强学生体质，望一观音湖学校将“跳绳”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学跳绳时的一个瞬间．数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝70°，∠ECD＝105°，则∠AEC＝．12．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE，若∠A+∠B＝100°，则∠FEC＝．13．如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺压住射线OB，且与射线OA交于点C，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，连接OP，已知∠POB＝40°，则∠ACP的度数是．14．如图，∠1＝37°，∠2＝37°，∠D＝54°，那么∠BAE＝°．15．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则∠CAE其余符合条件的度数为．【例如：图3，当∠CAE＝15°时，BC∥DE】．16．一副三角尺按如图所示的方式摆放，∠B＝∠EDF＝90°，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠A＝30°，∠F＝45°，求出∠CED的度数．17．如图，AB∥CD，∠A＝40°，∠C＝∠E，求∠C的度数．18．如图，点M在CD上，已知∠BAM+∠AMD＝180°，AE平分∠BAM，MF平分∠AMC，请说明AE∥MF的理由．解：因为∠BAM+∠AMD＝180°（），∠AMC+∠AMD＝180°（），所以∠BAM＝∠AMC（）．因为AE平分∠BAM，所以（）．因为MF平分∠AMC，所以，得（），所以（）．19．综合与实践如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．（1）当所放位置如图①所示时，∠PFD与∠AEM的数量关系是