平行四边形章末八大题型总结（培优篇）（华东师大版）（解析版） 八年级数学下册

专题18.5平行四边形章末八大题型总结（培优篇）【华东师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1添加条件使成为平行四边形】 1【题型2根据平行四边形的性质求解】 5【题型3平行四边形的证明】 9【题型4根据平行四边形的判定与性质求线段长】 15【题型5根据平行四边形的判定与性质求角度】 20【题型6根据平行四边形的判定与性质求面积】 24【题型7尺规作图与平行四边形的综合运用】 29【题型8坐标系中的平行四边形问题】 36【题型1添加条件使成为平行四边形】【例1】（2024八年级下·山东临沂·期中）如图，E是平行四边形ABCD的边AD的延长线上一点，连接BE交CD于点F，连接CE，BD．添加下列一个条件后，仍不能判定四边形BCED为平行四边形的是（

）A．∠ABD=∠DCE B．∠AEC=∠CBD C．EF=BF D．∠AEB=∠BCD【答案】D【分析】根据平行四边形的性质和判定及三角形全等逐个分析即可．【详解】解：选项A：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴DE∥BC，∠ABD=∠CDB，∵∠ABD=∠DCE，∴∠DCE=∠CDB，∴BD∥CE，∴四边形BCED为平行四边形，故选项A不符合题意；选项B：∵AE∥BC，∴∠DEC+∠BCE=∠EDB+∠DBC=180°，∵∠AEC=∠CBD，∴∠BDE=∠BCE，∴四边形BCED为平行四边形，故选项B不符合题意，选项C：∵DE∥BC，∴∠DEF=∠CBF，在△DEF与△CBF中，∠DEF＝∠CBF，∠DFE＝∠CFB，EF＝BF，∴△DEF≌△CBF（ASA），∴DF=CF，∵EF=BF，∴四边形BCED为平行四边形，故选项C不符合题意；选项D：∵AE∥BC，∴∠AEB=∠CBF，∵∠AEB=∠BCD，∴∠CBF=∠BCD，∴CF=BF，同理，EF=DF，∴不能判定四边形BCED为平行四边形；故选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．【变式1-1】（2024八年级下·福建福州·期中）如图，E，F是□ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：，使四边形AECF是平行四边形．

【答案】BE=DF或BF=DE或∠BAE=∠DCF．【分析】用反推法，假如四边形是平行四边形，会推出什么结果，这结果就是要添加的条件．【详解】解：使四边形AECF是平行四边形．就要使AE∥CF，AE=CF，就要使△AEB≅△CFD，而在平行四边形中已有AB=CD，∠ABE=∠CDF，再加一个BE=DF或BF=DE可用SAS证△AEB≅△CFD，或∠BAE=∠DCF用ASA证△AEB≅△CFD．故答案为：BE=DF或BF=DE或∠BAE=∠DCF．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，本题是开放题，答案不唯一，可以针对各种特殊的平行四边形的判定方法，给出条件，本题主要是通过给出证明△AEB≅△CFD的条件来得到AE∥CF，AE=CF，根据四边形中一组对边平行且相等就可证明为是平行四边形．【变式1-2】（2024八年级下·山东青岛·期中）下列条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（

）A．AB∥CD，AB=CD B．AB∥CD，AD∥BCC．AB=AD，BC=CD D．AB=CD，AD=BC【答案】C【分析】本题考查平行四边形判定．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案．【详解】解：∵AB∥CD，AB=CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故A选项不符合题意；∵AB∥CD，AD∥BC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定出四边形ABCD为平行四边形，故B选项不符合题意；∵AB=AD，BC=CD，不可判定出四边形ABCD为平行四边形，故C选项符合题意；∵AB=CD，AD=BC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判定出四边形ABCD为平行四边形，故D选项不符合题意；故选：C．【变式1-3】（2024八年级下·广东珠海·期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F是对角线BD上两个不同点．连接AE，AF，CE，CF，添加一个条件使得四边形AFCE是平行四边形．

(1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上．①AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足；②BE=DF；③AE=CF；④AE∥(2)选择其中一个条件，写出证明过程：我选择________，证明过程如下：【答案】(1)①②④(2)①（答案不唯一），见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质和判定解答即可；（2）根据平行四边形的性质和判定解答即可．【详解】（1）解：填①②④的任意一个都正确；故答案为：①②④；（2）解：选择①AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足；证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∠AEB=∠CFD=90°∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，在△ABE与△CDF中，∠ABE=∠CDF∠AEB=∠CFD∴△ABE≌△CDF(AAS∴AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形．选择②BE=DF，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥∴∠ABE=∠CDF，∵BE=DF，在△ABE与△CDF中，AB=CD∠ABE=∠CDF∴△ABE≌△CDF(SAS∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEF=∠CFE，∴AE∥∴四边形AECF是平行四边形．选择④AE∥证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥∴∠ABE=∠CDF，∵AE∥∴∠AEB=∠CFD，在△ABE与△CDF中，∠AEB=∠CFD∠ABE=∠CDF∴△ABE≌△CDF(SAS∴AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键．【题型2根据平行四边形的性质求解】【例2】（2024八年级下·河北沧州·期中）如图，E为平行四边形ABCD边BC上一点，F，G分别为DE，AE的中点，若△DCE与△ABE的面积之和为6，则四边形DAGF的面积是．【答案】4.5【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中线的性质，由平行四边形的性质可知S△ADE=12S□ABCD，结合S△DCE+S△ABE=6，SADE+S△DCE+S△ABE=【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥∴S△ADE又∵S△DCE+S∴S△ADE连接DG，∵F、G分别为DE、AE的中点，∴S△ADG=S∴四边形DAGF的面积=S故答案为：4.5．【变式2-1】（2024八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，将△ECD沿直线ED翻折至平行四边形ABCD所在平面内，得到△EC′D，连结DC′，并延长DC′，BA交于点F，若CD=【答案】22+1【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，平行四边形的折叠问题，延长DE交AB延长线于G，根据△ECD折叠得到△EC′D得到∠CDE=∠C′DE，结合平行四边形的性质得到【详解】解：延长DE交AB延长线于G，∵△ECD折叠得到△EC∴∠CDE=∠C∵四边形ABCD是平行四边形，CD=2，AF=1∴AB=2，AB∥CD∴∠G=∠CDE，∵点E是BC的中点，∴BE=CE，在△GEB与△DEC中，∠GEB=∠DEC∠G=∠CDE∴△GEB≌△DEC(AAS∴BG=CD=2∵∠C∴FD=FG=2【变式2-2】（2024八年级下·浙江湖州·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=2，D是△ABC所在平面内一点，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，设此平行四边形的对角线交点为O，则BO的长为【答案】2或1或5【分析】本题考查了平行四边形的性质和勾股定理，运用数形结合思想与分类讨论思想是解决本题的关键．分三种情况讨论：①BC为边，AB是对角线；②AB，BC为边，③AB，AC为边，作出图形，分别由平行四边形的性质和勾股定理可求BO的长．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=2∴AB=2①如图，若BC，AC为边，AB是对角线，∵四边形ACBD1是平行四边形，且∠ACB=90°，∴BO=BO②若AB，AC为边，BC为对角线，∵四边形ABD∴BO=BO③若AB，BC为边，AC为对角线，∵ABCD∴CO∴BO=BO故答案为：2或1或5．【变式2-3】（2024八年级下·重庆北碚·开学考试）在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（）A．13或14 B．26或28 C．13 D．无法确定【答案】B【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是先根据平行四边形的性质和平行线的性质求出∠BEA=∠BAE，根据等腰三角形的判定得出AB=EB，分两种情况讨论：当EB=5，EC=4时，当EB=4，EC=5时，分别画出图形，求出结果即可．【详解】解：设∠BAD的平分线交BC于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥∴∠BEA=∠DAE，∵∠BAE=∠DAE，∴∠BEA=∠BAE，∴AB=EB，当EB=5，EC=4时，如图1，则AB=EB=5，BC=EB+EC=9，∴2AB+2BC=2×5+2×9=28；当EB=4，EC=5时，如图2，则AB=EB=4，BC=EB+EC=9，∴2AB+2BC=2×4+2×9=26，∴平行四边形ABCD的周长为26或28，故选：B．【题型3平行四边形的证明】【例3】（2024八年级下·宁夏石嘴山·期中）在△ABC中，AC=BC，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点D恰好落在BC边的延长线上．(1)求证：AE∥(2)连接CE，判断四边形ABCE的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)四边形ABCE是平行四边形，理由见解析．【分析】此题主要考查了旋转的性质以及平行四边形的判定和性质．(1)由于△ABC和△ADE都是等腰三角形，易求得∠B=∠BAC=∠BDA，由旋转的性质即可证得所求的两条线段所在直线的内错角相等，由此得证；(2)由旋转的性质易知：AC=AE=BC，且已证得AE∥BD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可判定四边形【详解】（1）证明：由旋转性质得∠BAC=∠DAE，AB=AD，∵AC=BC，∴∠B=∠BAC，∵AB=AD，∴∠B=∠BDA，∴∠DAE=∠BDA，∴AE∥（2）四边形ABCE是平行四边形，理由如下：由旋转性质得AC=AE，∵AC=BC，∴AE=BC，又∵AE∥∴四边形ABCE是平行四边形．【变式3-1】（2024八年级下·吉林长春·期中）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO=CO，点E在BD上，满足∠DAO=∠ECO．

(1)求证：四边形AECD是平行四边形；(2)若AB=BC，若CD=10，AC=16，则DE=______．【答案】(1)证明见解析(2)12【分析】（1）通过证明△AOD≌△COE，得到DO=EO，再结合AO=CO即可利用对角线互相平分证明平行四边形．（2）根据AB=BC和AO=CO证明DB⊥AC，再利用勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：在△AOD和△COE中，∠DAO=∠ECOAO=CO∴△AOD≌△COEASA∴DO=EO，又AO=CO，∴四边形AECD是平行四边形．（2）解：∵AB=BC，AO=CO，AC=16，∴DB⊥AC，CO=8，∵CD=10，由勾股定理得：DO=C∴DE=2DO=12，故答案为：12．【点睛】本题考查平行四边形的证明，勾股定理，等腰三角形“三线合一”，掌握平行四边形的证明方法以及找到合适的全等三角形是解题关键．【变式3-2】（2024八年级下·江西南昌·期中）如图，点O是平行四边形ABCD对角线的交点，过点O的直线交AD,BC于P,Q两点，交BA，DC的延长线于M,N两点．

(1)求证：AP=CQ；(2)连接DM,BN，求证：四边形BNDM是平行四边形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接AC，证明△AOE≌△COFAAS，得到AM=CN，再证明△PAM≌△QCN（2）连接DM,BN，根据AB=CD,AM=CN，得到BM=DN，即可得证．【详解】（1）证明：如图，连接AC，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,OA=OC，AD∥BC，∴∠M=∠N，在△AOM和△CON中，∠M=∠N∠AOM=∠CON∴△AOM≌△CONAAS∴OM=ON,AM=CN，∵AB∥CD，∴∠B=∠NCQ，∵AD∥BC，∴∠B=∠MAP，∴∠MAP=∠NCQ，在△PAM与△QCN中，∠M=∠NAM=CN∴△PAM≌△QCNASA∴AP=CQ；（2）连接DM,BN，

∵AB∥CD,AB=CD,AM=CN，∴BM=DN，∴四边形BNDM是平行四边形．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质，证明三角形全等．【变式3-3】（2024八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AB的中点，F是AD上一点，过点D作DG∥AB交的EF延长线于点G，且FG=EF．

图1

图2(1)如图1，求证：四边形BDGE是平行四边形；(2)如图2，连接BF，若AC=BF，AD=BD，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中长度与AF长度相等的所有线段（不包括线段AF）．【答案】(1)见详解(2)DF、EF、FG、CD【分析】（1）证△AEF≌△DGF(ASA)，得AE=DG，再证（2）由全等三角形的性质得AF=DF，EG∥BC，再证△ABD和△AEF是等腰直角三角形，得EF=AF，则FG=AF，然后证Rt△ADC≌Rt△BDF(【详解】（1）证明：∵DG∥AB，∴∠AEF=∠G，在△AEF和△DGF中，∠AEF=∠GEF=GF∴△AEF≌△DGF(ASA∴AE=DG，∵E是AB的中点，∴AE=BE，∴BE=DG，又∵DG∥BE，∴四边形BDGE是平行四边形；（2）解：由（1）可知，△AEF≌△DGF，四边形BDGE是平行四边形，∴AF=DF，EG∥BC，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，EG⊥AD，∵AD=BD，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠BAD=45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴EF=AF，∵FG=EF，∴FG=AF，在Rt△ADC和RtAC=BFAD=BD∴Rt∴CD=DF=AF，∴图2中长度与AF长度相等的所有线段为DF、EF、FG、CD．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．【题型4根据平行四边形的判定与性质求线段长】【例4】（2024八年级下·新疆喀什·期中）如图，AD∥BC，∠B=60°，BA=AD=DC=1，则BC的长为（

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】过点A作AE∥CD交BC于点E，又由AD∥BC，得到四边形ADCE是平行四边形，从而EC=AD=1，AE=DC=1，又AB=DC，得到AB=AE，再∠B=60°，得到△ABE是等边三角形，因此【详解】解：过点A作AE∥CD交BC于点

∵AE∥CD，∴四边形ADCE是平行四边形，∴EC=AD=1，AE=DC=1，∵AB=DC=1，∴AB=AE，∵∠B=60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE=AB=1，∴BC=BE+EC=1+1=2．故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．【变式4-1】（2024八年级下·广东深圳·期中）如图，已知四边形ABCD和四边形BCEF均为平行四边形，∠D＝60°，连接AF，并延长交BE于点P，若AP⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，则BE的长为（）A．5 B．26 C．25 D．32【答案】D【分析】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，DE，先证∠DHC=90º，再证四边形ADEF是平行四边形，最后利用勾股定理得出结果．【详解】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，DE，∵四边形ABCD是平行四边形，AB=3，∠ADC=60º，∴CD=AB=3，∠DCH=∠ABC=∠ADC=60º，∵DH⊥BC，

∴∠DHC=90º，∴∠ADC+∠CDH=90°，∴∠CDH=30°，在Rt△DCH中，CH=12CD=32，DH=∴BD∵四边形BCEF是平行四边形，∴AD=BC=EF，AD∥EF，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥DE，AF=DE=1，∵AF⊥BE，∴DE⊥BE，∴BE∴BE=32故选D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用这些性质解决问题．【变式4-2】（2024八年级下·河北廊坊·期中）如图，在▱ABCD中，AB=2AD，∠A=60∘，E，F分别为AB，CD的中点，EF=1cm，那么对角线BDA．1cm B．2cm C．23【答案】D【分析】先连接DE；然后利用平行四边形及等边三角形的性质解答．【详解】解：连接DE，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵DF＝12CD，AE＝12∴DF平行且等于AE，∴四边形ADFE是平行四边形，∴EF＝AD＝1cm，∵AB＝2AD，∴AB＝2cm，∵AB＝2AD，AB＝2AE，∴AD＝AE，∴∠1＝∠4，∵∠A＝60°，∠1＋∠4＋∠A＝180°，∴∠1＝∠A＝∠4＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AE，∵AE＝BE，∴DE＝BE，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2＋∠3，∠1＝60°，∴∠2＝∠3＝30°，∴∠ADB＝∠3＋∠4＝90°，∴BD=A故选：D．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质，比较复杂，综合性较强，解答此题的关键是构造平行四边形，用平行四边形及等边三角形的性质，直角三角形的性质解答．【变式4-3】（2024八年级下·福建福州·期中）如图，在▱ABCD中，AB=13，AD=5，AC⊥BC，则BD的长为（

）A．6 B．61 C．12 D．2【答案】D【分析】过点D作DE⊥BC，交BC延长线于E，先由平行四边形性质得BC=5，再由勾股定理求出AC=12，然后证四边形ACED是平行四边形，得CE=AD=5，DE=AC=12，然后再由勾股定理求解即可【详解】解：如图，过点D作DE⊥BC，交BC延长线于E，∵▱ABCD，∴BC=AD=5，AD∥BC，∵AC⊥BC∴∠ACB=90°，由勾股定理，得AC=AB∵DE⊥BC，∴AC∥DE，∴四边形ACED是平行四边形，∴CE=AD=5，DE=AC=12，∴BE=BC+CE=10，∵DE⊥BC，∴由勾股定理，得BD=BE故选：D．【点睛】本题考查勾股定理，平行四边形的判定与性质，点D作DE⊥BC，交BC延长线于E，构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题的关键．【题型5根据平行四边形的判定与性质求角度】【例5】（2024八年级下·江苏无锡·期中）如图，在△ABC中，∠A＝70°，AC=BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转一定角度，得到△A′BC′，点A′恰好落在AC上，连接A．110° B．100° C．90° D．70°【答案】A【分析】由旋转的性质，等边对等角，可得∠A′B【详解】解：由旋转的性质可得，∠A′BC′=∠ABC，∴∠A=∠BA∵AC=BC，∴∠A=∠ABC，AC=BC∴∠A∴AC∥BC∴四边形ABC∴∠ACC′+∠A=180°故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边对等角，平行四边形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式5-1】（2024八年级下·北京东城·期中）在▱ABCD中，BC=2AB，若E为BC的中点，则∠AED=．【答案】90°【分析】根据平行四边形的性质和已知推出AB＝BE＝AF＝DF，AF＝BE，AF∥BE，得到平行四边形AFEB，推出AF＝DF＝EF，然后推出∠AEB=∠AEF，∠FED=∠CED，由此即可求解．【详解】解：取AD的中点F，连接EF，∵平行四边形ABCD，BC＝2AB，E为BC的中点，∴AD∥BC，AD＝BC＝2AB＝2BE＝2AF＝2DF，∴AB＝BE＝AF＝DF，∴AF＝BE，AF∥BE，∴∠EAF=∠AEB，四边形AFEB是平行四边形，∴EF＝AB＝AF＝DF，∴∠AEF=∠EAF，∴∠AEB=∠AEF，同理可得∠FED=∠CED，∵∠AEB+∠AEF+∠FED+∠CED=180°，∴∠AEF+∠FED=∠AED=90°故答案为：90°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质与判定，能求出AF＝DF＝EF是解此题的关键．【变式5-2】（2024八年级下·江苏镇江·期中）如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC=68°，△DBE由△ABC绕点B逆时针旋转所得，若点C在DE上，连接AE，则∠EAC=°．【答案】24【分析】根据旋转的性质和等边对等角的性质证明DE∥BA和DE=AB，即可得到四边形ABDE为平行四边形，最后根据平行四边形的性质得到【详解】解：∵AB=AC，△DBE由△ABC绕点B逆时针旋转所得，∴∠D=∠ACB=∠ABC=68°，∴∠BCD=∠D=68°，∴∠ECA=180°−∠D−∠BCA=180°−68°−68°=44°，∵AB=AC，∴∠DEB=∠CAB=180°−∠ACB−∠ABC=180°−68°−68°=44°，∵∠CFE=∠AFB，∴∠DEB=∠CAB=∠ACE=∠ABE=44°，∴DE∥∵△DBE由△ABC绕点B逆时针旋转所得且AB=AC，∴DE=BE=AB=AC，∴四边形ABDE为平行四边形，∴∠EAB=∠D=68°，又∵∠CAB=44°，∴∠EAC=∠EAB−∠CAB=68°−44°=24°，故答案为：24．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边对等角的性质、平行线的判定和平行四边形的判定和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．【变式5-3】（2024八年级下·河北唐山·期中）已知如图，直线CB∥OA，∠C=∠OAB=120°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分（1）若平行移动AB，那么∠OBC:∠OFC的值是；（2）在平行移动AB的过程中，当∠COE=（度）时，∠OEC=∠OBA．【答案】1:215【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠OBC=∠BOA，∠OFC=∠FOA，从而得出答案，（2）根据平行四边形的性质即可得出答案．【详解】解：（1）∵CB∥OA，∴∠OBC=∠BOA，∠OFC=∠FOA，∴∠OBC：∠OFC=∠AOB：∠FOA，又∵∠FOA=∠FOB+∠AOB=2∠AOB，∴∠OBC：∠OFC=∠AOB：∠FOA=∠AOB：2∠AOB=1：2，故答案为：1：2；（2）当∠COE=15°时，∠OEC=∠OBA．∵CB∥OA，∠C=∠OAB=120°，∴∠AOC=∠ABC=60°，∴四边形AOCB为平行四边形，∴∠OEC=∠EOB+∠AOB，∠OBA=∠BOC=∠COE+∠EOB，又∵∠OEC=∠OBA，∴∠AOB=∠COE，∴∠COE=∠EOF=∠FOB=∠AOB=60°÷4=15°，∴∠EOB=2×15°=30°，∴∠OBA=∠OEC=30°+15°=45°，故答案为：15．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义以及平行四边形的判定与性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．【题型6根据平行四边形的判定与性质求面积】【例6】（2024八年级下·海南儋州·期中）如图，四边形ABCD中，AG⊥BC交BC于点G，AB=CD=5，AG=4，CG=2BG，点P在AC上，E、F分别在AB、AD上，且PE∥BC，PF∥CD，AB∥CD，连接

A．24 B．20 C．18 D．16【答案】C【分析】用勾股定理求出BG=3，由CG=2BG得到CG=2BG=6，则BC=BG+CG=9，设AP交EF于点O，证明四边形ABCD是平行四边形，则AD∥BC，AD=BC，可证△ABC≌△CDASSS，则S△ABC=S△ACD=12S【详解】解：∵AG⊥BC交BC于点G，∴∠AGB=90°，在RtAGB中，∠AGB=90°，AB=5，AG=4∴BG=A∵CG=2BG，∴CG=2BG=6，∴BC=BG+CG=3+6=9，设AP交EF于点O，

∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵AC=AC，∴△ABC≌△CDASSS∴S△ABC∵PE∥BC，PF∥∴PE∥AF，PF∥AE，∴四边形AEPF是平行四边形，∴OA=OP,OE=OF，∵∠AOE=∠POF，∴△AOE≌△POFSAS∴S△AEO∴S阴影故选：C【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．【变式6-1】（2024八年级下·福建福州·期中）如图，已知平行四边形ABCD中，点M是BC的中点，且AM=6，BD=12，AD=45，则该平行四边形的面积为

【答案】48【分析】如图，过点D作DH∥AM交BC的延长线于点H．证明∠BDH=90°，进而即可求解．【详解】

∵AD∥MH，AM∥DH，∴四边形ADHM是平行四边形，∴AM=DH=6，AD=MH=45∵BM=CM=25，∴BH=65，∵BD=12，∴BD∴∠BDH=90°，∴S△BDH∴S△BCD∴SABCD故答案为：48．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，掌握以上知识是解题的关键．【变式6-2】（2024八年级下·山东济南·期中）如图，△ABC的面积为5，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DFC，连接EA，DA，当∠BAC=120°时，四边形ADFE的面积为．

【答案】10【分析】过点A作AG⊥DF于G，过点C作CM垂直于FD的延长线于M，由旋转的性质得出△BEF≌△BAC≌△FDC，然后得出△ABE，△ACD是等边三角形，再证明四边形AEFD是平行四边形，然后根据平行四边形的面积得出结论．【详解】解：过点A作AG⊥DF于G，过点C作CM垂直于FD的延长线于M，如图所示：

根据题意知，△BEF≌△BAC≌△FDC，∴BE=BA=FD，EF=AC=DC，∵∠ABE=60°，∠ACD=60°，∴△ABE，△ACD是等边三角形，∴AE=AB，AC=AD，∴AE=DF，AD=EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE∥FD，∴AG=CM，∴S故答案为：10．【点睛】本题考查旋转的性质，三角形的面积，平行四边形的性质等知识，关键是利用旋转的性质得出△ABE、△ACD是等边三角形.【变式6-3】（2024八年级下·吉林长春·期中）如图①，P为△ABC所在平面内任意一点(不在直线AC上)，∠ABC=90°，AC=2BC=4，D为AC边中点，操作：以PA、PB为邻边作▱PAMB，连接PD并延长到点E，使PD=DE，连接CE、ME．

(1)探究：判断ME与BC的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)应用：如图②，当点P，M，E在同一条直线上，且M为PD中点时，平行四边形PAMB的面积为_________．【答案】(1)ME与BC的数量关系：ME=BC，位置关系：ME∥BC(2)2【分析】（1）连接AE和CP，由平行四边形的性质可知，AP∥BM且AP=BM，再由PD=DE，D为AC边中点可知四边形AECP是平行四边形，从而得到AP∥CE且AP=CE，继而得到BM∥CE且BM=CE，四边形BMEC是平行四边形，从而得解；（2）连接BD，利用三角形的中线将这个三角形分成面积相等的两个三角形求解即可．【详解】（1）解：连接AE和CP，

∵四边形PAMB是平行四边形，∴AP∥BM且AP=BM，又∵PD=DE，D为AC边中点，即AD=CD，∴四边形AECP是平行四边形，∴AP∥CE且AP=CE，∴BM∥CE且BM=CE，∴四边形BMEC是平行四边形，∴ME=BC且ME∥BC，即ME与BC的数量关系是：ME=BC，位置关系是：ME∥BC；（2）连接AE、BD，设PM与AB交于点O，

∵四边形PAMB是平行四边形，∴O是PM和AB的中点，∴S△BOP∵M为PD中点，∴S△BMP∴S△ABD∵D为AC边中点，∴S△ABD∴S△ABC∵∠ABC=90°，AC=2BC=4，∴BC=2，∴AB=A∴S△ABC∴S▱PAMB故答案为：23【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，三角形的中线将这个三角形分成面积相等的两个三角形等知识，正确作出有用的辅助线是解题的关键．【题型7尺规作图与平行四边形的综合运用】【例7】（2024八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E在对角线BD上，小谷想在平行四边形ABCD里面再剪出一个以AE为边的平行四边形，小谷的思路是：在BC的左侧作∠BCF=∠DAE，将其转化为证明三角形全等，通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形使问题得到解决，请根据小谷的思路完成下面的作图与填空．

(1)用尺规完成以下基本作图：在BC左侧作∠BCF，使∠BCF=∠DAE，CF与对角线BD交于点F，连接AF，(2)根据（1）中作图，求证：四边形AECF为平行四边形．证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，①∴②．在△AED与△CFB中，∵∠DAE=∠BCFAD=BC∴△AED≌△CFBASA∴AE=CF，③．∴180°−∠AED=180°−∠CFB，即∠AEF=∠CFE，∴④．∴四边形AECF为平行四边形．【答案】(1)见解析(2)AD=BC，∠ADE=∠CBF，∠AED=∠CFB，AE【分析】（1）以B点为圆心DE长为半径画弧，交BD于点F，连接CF，则∠BCF即为所求；（2）根据平行四边形的判定方法：一组对边平行且相等即可证明．【详解】（1）如图：以B点为圆心DE长为半径画弧，交BD于点F，连接CF，则∠BCF即为所求

（2）如图：连接CE，AF

∵四边形ABCD为平行四边形∴AD∥BC∴∠ADE=∠CBF在△AED与△CFB中∵∠DAE=∠BCFAD=BC∴△AED≌△CFB∴AE=CF，∠AED=∠CFB∴180°−∠AED=180°−∠CFB即∠AEF=∠CFE∴AE∴四边形AECF为平行四边形故答案为：AD=BC，∠ADE=∠CBF，∠AED=∠CFB，AE∥【点睛】本题考查了尺规作图—复杂作图，平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的性质和判定是解题关键．【变式7-1】（2024八年级下·北京怀柔·期中）在数学课上，老师布置任务：利用尺规“作以三点A，B，C为顶点的平行四边形”．

小怀的作法如下：①分别连接线段AB，②以点A为圆心，BC长为半径，在BC上方作弧，以点C为圆心，AB长为半径，在AB右侧作弧，两弧交于点D；③分别连接线段CD，DA．所以四边形根据小怀的作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：∵AB=_________，BC=__________，∴四边形ABCD是平行四边形（________________________）（填推理的依据）．【答案】(1)详见解析(2)CD，【分析】（1）根据作图步骤，尺规作图即可；（2）由作图过程可得AB=CD，BC=AD，然后根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”即可解答．【详解】（1）解：如图：四边形ABCD即为所求．

（2）解：证明：∵AB=CD，BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形（组对边分别相等的四边形是平行四边形）．故答案为：CD，【点睛】本题主要考查了尺规作图作平行线四边形、平行四边形的判定等知识点，理解平行四边形的判定定理是解答本题的关键．【变式7-2】（2024八年级下·重庆·期中）如图，在▱ABCD中，AB>BC，点E为▱ABCD内一点，且△ADE为等边三角形．(1)用尺规完成以下基本作图：以BC为边在▱ABCD内作等边△BCF．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）(2)在（1）所作图形中，连接CE、AF，猜想四边形AFCE的形状，并证明你的猜想．【答案】(1)见解析(2)平行四边形，证明见解析【分析】（1）作∠BCG=∠ADE，在射线CG上截取CF=AB，则等边△BCF即为所求（2）证明△CDE≌△ABF进而可得CE=AF，根据平行四边形的性质和等边三角形的性质可得AE=CF，进而证明四边形AFCE是平行四边形．【详解】（1）如图所示，（2）如图，连接CE、AF，四边形AFCE是平行四边形，证明如下，∵△ADE，△BCF是等边三角形∴AD=AE=DE,BC=FC=BF,∠FBC=60°,∠ADE=60°∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC∴AE=CF，BF=DE∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC,∠ABC=∠ADC∴∠ABF=∠ABC−CBF=∠ABC−60°，∠CDE=∠ADC−∠ADE=∠ADC−60°∴∠ABF=∠CDE在△ABF和△CDE中AB=CD∴△CDE≌△ABF∴CE=AF∴四边形AFCE是平行四边形【点睛】本题考查了作三角形，平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，正确的作图是解题的关键．【变式7-3】（2024八年级下·山西运城·期中）请阅读下列材料，完成相应的任务：无刻度直尺作图：“无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作图问题．如图1，已知点P是线段AB的中点，分别以PA、PB为边在AB的同侧作△PAC与△PBD，其中CA=CP，DP=DB，∠ACP=∠PDB．求作：线段PC的中点E．按照常规思路，用尺规作线段PC的垂直平分线，垂足即为PC的中点．仔细分析图形，你会发现，只用无刻度的直尺连接线段AD，AD与CP交点E即为PC的中点（如图2）．证明：连接CD．∵CA=CP，∴∠CAP=∠CPA（依据1），∵∠CAP+∠CPA+∠ACP=180∴∠CAP=180°−∠ACP……(1)【任务1】写出上述证明过程中依据1的内容：________．(2)【任务2】请补全证明过程．(3)【任务3】如图，在平行四边ABCD中，点E是CD边的中点．求作：△ABQ，使△ABQ的面积与平行四边ABCD的面积相等．（要求：利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写画法．）【答案】(1)同一个三角形中，等边对等角(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据“同一个三角形中，等边对等角”判定即可．（2）根据已知易得四边形ACDP是平行四边形，利用平行四边形的性质求解；（3）连接AE，延长AE交BC的延长线于点Q，△ABQ即为所求．【详解】（1）解：写出上述证明过程中依据1的内容：同一个三角形中，等边对等角．故答案为：同一个三角形中，等边对等角；（2）证明：连接CD，如图2．∵CA=CP，∴∠CAP=∠CPA（同一个三角形中，等边对等角）．∵∠CAP+∠CPA+∠ACP=180∴∠CAP=180同理，∠DPB=180∵∠ACP=∠PDB，∴∠CAP=∠DPB，∴AC//∵P是AB的中点，∴AP=BP．在△CAP和△DPB中，∠ACP＝∴△CAP≌△DPBAAS∴AC=PD．∵AC//∴四边形APDC是平行四边形.∴CE=PE，∴E是PC的中点；（3）解：如图，△ABQ即为所求【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【题型8坐标系中的平行四边形问题】【例8】（2024八年级下·天津西青·期中）如图，在平面坐标系中，直线l:y=kx+b分别与x轴，y轴交于点A−32(1)求直线l的解析式；(2)若点C是y轴上一点，且△ABC的面积是154，求点C(3)在（2）的条件下，当点C在y轴负半轴时，在平面内是否存在点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=2x+3(2)(0,8)或(0,−2)(3)存在，点D的坐标为(32,1)或【分析】（1）根据点A,B的坐标，利用待定系数法即可得；（2）设点C的坐标为C(0,a)，则BC=a−3，根据△ABC的面积是15（3）先求出点C的坐标为C(0,−2)，再分①四边形ABDC是平行四边形，②四边形ACBD是平行四边形和③四边形ABCD是平行四边形三种情况，分别根据平行四边形的性质求解即可得．【详解】（1）解：将点A−32,0,B解得k=2b=3则直线l的解析式为y=2x+3．（2）解：设点C的坐标为C(0,a)，则BC=a−3∵A−∴OA=3∵△ABC的面积是154∴1解得a=8或a=−2，则点C的坐标为(0,8)或(0,−2)．（3）解：∵在（2）的条件下，点C在y轴负半轴上，∴C(0,−2)，设点D的坐标为D(m,n)，由题意，分以下三种情况：由①如图，当四边形ABDC是平行四边形时，∵平行四边形ABDC的对角线互相平分，∴−32则此时点D的坐标为(3②如图，当四边形ACBD是平行四边形时，∴AD=BC=3−(−2)=5,AD∥BC，∴n=5，点D的横坐标与点A的横坐标相同，即m=−3则此时点D的坐标为(−3③如图，当四边形ABCD是平行四边形时，∴AD=BC=3−(−2)=5,AD∥BC，∴n=−5，点D的横坐标与点A的横坐标相同，即m=−3则此时点D的坐标为(−3综上，存在，点D的坐标为(32,1)或(−【点睛】本题考查了一次函数、平行四边形的性质等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解题关键．【变式8-1】（2024八年级下·广东佛山·期中）如图1，在ΔCEF中，CE=CF，∠ECF=90°，点A是∠ECF的平分线上一点，AG⊥CE于G，交FE的延长线于B，AD⊥AE交CF的延长线于D，连接BC．（1）直接写出∠ABF的大小；（2）求证：四边形ABCD是平行四边形；（3）建立如图2所示的坐标系，若BG=2，BC=29，直线AD绕点D顺时针旋转45°得到直线l，求直线l【答案】（1）∠ABF=45°；（2）见解析；（3）y=7【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和对顶角的性质得出∠BEG=45°，则可得出结论；（2）连接AC，证明△BGC≌△EGA（SAS），由全等三角形的性质得出∠BCG=∠EAG，得出BC//AD，则可得出结论；（3）延长EA交直线l于点H，连接DE，作HI⊥x轴于点I，证得△EDH为等腰直角三角形，得出∠EDH=90°，ED=DH，证明△CED≌△IDH（AAS），得出CE=ID=3，CD=IH=7，求出H(10，7)，设直线l的表达式为：y=kx+b，求出k，b，则得出直线l的表达式为y=7【详解】（1）解：∵CE=CF，∠ECF=90°，∴∠CEF=45°，∴∠BEG=45°，∵AG⊥CE，∴∠AGC=90°，∴∠ABF=45°；（2）∵AG⊥CG，∴∠AGC=90°，∵∠ECF=90°，∴∠AGC+∠ECF=180°，∴AB//CD．连接AC，∵点A是∠ECF的平分线上一点，∴∠GCA=∠GAC=45°，∴CG=AG．又∵CE=CF．∴∠CEF=∠CFE=45°，∴∠BEG=∠GBE=45°，∴BG=EG．在ΔBGC和ΔEGA中BG=EG∠BGC=∠EGA=90°∴ΔBGC≌ΔEGA(SAS∴∠BCG=∠EAG，∴∠CBG+∠BCG=∠CBG+∠EAG=90°，∴∠CBG+∠BAD=∠CBG+∠EAG+∠EAD=180°，∴BC//AD，∴四边形ABCD是平行四边形；（3）延长EA交直线l于点H，再连接DE，作HI⊥x轴于点I，∵在RtΔBGC中，BG=2，BC=∴由勾股定理得，CG=B∴CE=CF=5−2=3．∵ΔBGC≌ΔEGA，四边形ABCD是平行四边形，∴CG=GA，BC=EA，∴CD=AB=2+5=7，又∵EA⊥AD，∴∠EDA=