中考数学专项复习：二次函数区间最值问题（知识梳理与考点分类讲解）

专题1.6二次函数区间最值问题(知识梳理与考点分类讲解)

第一部分【知识点归纳】

二次函数最值问题是中考热点内容，区间最值则是重难点内容。本专题

重在解决区间为前提的二次函数最值问题的解题方法。

【知识点11二次函数区间最值类型

为了形象和记忆方便，特别作以下规定：轴：表示对称轴，区间：表示自变量的取值

范围，动：表示含有参数，二次函数区间最值类型有以下四种：

(1)定轴定区间：即对称轴，区间都固定求最值；

(2)定轴动区间：即对称轴固定，区间动求最值；

(3)动轴定区间：即对称轴动，区间固定求最值；

(4)动轴动区间：即对称轴动，区间都动求最值。

【知识点2】解题方法：主要抓住三要素

(1)三点：表示区间的两个端点和中点；

(2)一轴：表示二次函数对称轴；

(3)开口：表示二次函数的开口方向；

以上三要素统称为：”三点一轴及开口"，通过数形结合方法，根据函数的增减性分类讨论

解决问题。

【知识点3］四种区间情况讨论

对于二次函数y=ax2+bx+c(aWO)，求以下区间的最值。

1、若自变量为全体实数

(1)当a>0时，当》=_=时，函数有最小值，如图(1)

2a

h

(2)当a<0时，当x=-2时,函数有最大值，如图(2)

2a

图2

2、若：m<x<nS.m<——<n

2a

(1)当a>0时，抛物线开口向上，当x=-=时，函数有最小值；当x=n时函数有最

2a

大值，如图(3);

(2)当a<0时，抛物线开口向下,当x=-=时，函数有最大值；当x=n时函数有最

2a

小值,如图(4);

图4

注意：这里一定要注意m,n与一(的水平距离,距离越远的点,才是最值一定要结

合实际情况。

h

3、^m<x<n,且对称轴x=-上■在区间的右边时

2a

(1)当a>0时，抛物线开口向上,当x=m时，函数有最大值;当x=n时，函数有最小

值，如图(5);

(2)当a<0时，抛物线开口向下，当x=m时，函数有最小值；当x=n时，函数有最大

值，如图(6);

图5图6

4、若Yx",且对称轴户4在区间的左边时

(1)当a>0时，抛物线开口向上，当x=m时，函数有最小值；当x=n时，函数有最大

值。

(2)当a<0时，抛物线开口向下，当x=m时，函数有最大值;当x=n时，函数有最

小值。

图7图8

【知识点4］总结归纳如下：

1、根据题意画草图；

2、根据题意确定类型：

（1）对称轴在区间的左侧；（2）对称轴在区间的中间；（3）对称轴在区间的右侧.

3、画出最高点和最低点，确定最值。

第二部分【题型展示与方法点拨】

【题型1】自变量为全体实数

【例1】（22-23九年级上•广东中山・期末）求函数,=-/+4彳+5的最值，并说明是最大值还是最小值.

【答案】当x=2时，>=9；是最大值.

【分析】根据二次函数>=办2+法+。的性质，。=-1<0时抛物线开口向下，有最大值，无最小值.用配

方法将其化为顶点式，即可求出最大值.

解：在本函数中

〃=—1<0

抛物线开口向下，有最大值，

将,=一/+4彳+5进行配方，

得y=—x2+4x+5=—（x—2）~+9,

，当尤=2时，

y=9,为最大值.

【点拨】本题考查二次函数y=al+bx+c的性质，熟练掌握抛物线图像与系数的关系，能正确求出顶点

坐标是解本题的关键.

【变式1］（23-24九年级上•河南新乡•阶段练习）请同学们借助所学知识确定代数式-f-2x+3有最大

值还是最小值，是多少？（）

A.有最小值是4B.有最大值是4

C.有最小值是8D.有最大值是8

【答案】B

【分析】把代数式化成完全平方的形式，再利用二次函数的性质即可得.

解:-X2-2X+3=-X2-2X-1+4=-(X+1)2+4,

0-1<0,

团当x=T时，代数式-/一2%+3有最大值，最大值为4,

故选：B.

【点拨】本题考查了二次函数的最值问题，解题的关键是掌握二次函数的性质，把代数式化成完全平方的

形式.

【变式2](23-24九年级上•重庆•阶段练习)二次函数y=-2d+4x-6的最大值是.

【答案】-4

【分析】先求出对称轴，再求出最大值即可.

解：Ey=-2x2+4x-6

团二次函数y=-2d+4x-6开口向下，在顶点处有最大值，

4

回二次函数y=-2/+4x-6对称轴为直线-2?(2)=1，

回当x=l时，>=-2+4-6=-4,即最大值为：-4,

故答案为：-4.

【点拨】本题考查二次函数的性质和最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

【题型2】自变量取值范围为7〃VxK"且m<—<n

2a

【例2】(23-24九年级上•陕西延安・期中)求二次函数y=f2+2x+5在04x43范围内的最小值和最大

值.

【答案】最小值为2,最大值为6

【分析】本题考查了二次函数的性质，先求得对称轴与顶点坐标，进而根据二次函数的性质，求得最小值，

即可求解.

角星：回y=—%2+2x+5=—(x—I)2+6,

国抛物线的开口向下，对称轴为％=1,顶点坐标为(1,6),

00<x<3,

回当X=1时，取得最大值y=6；当尤=3时，取得最小值y=2.

团二次函数在04xW3范围内的最小值为2,最大值为6.

【变式1】（23-24九年级上,浙江温州•阶段练习）已知二次函数的图象（0WxW4）如图，关于该函数在

所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（）

A.有最小值-2,无最大值B.有最小值-2,有最大值-L5

C.有最小值-2,有最大值2.5D.有最小值-1.5,有最大值2.5

【答案】C

【分析】根据图象及x的取值范围，求出最大值和最小值即可.

解：根据图象及x的取值范围，

当尤=1时，y取最小值为-2,

当x=4,y取最大值为2.5,

.・.该函数有最小值-2,有最大值2.5,

故选：C.

【点拨】本题主要考查二次函数的图象，二次函数的最值，关键是要能根据图象确定函数的最大值和最小

值，函数所对的最低点的y值为最小值，最高点的y值为最大值.

【变式2*23-24九年级上•北京石景山•期中）当-2WxW2,则函数y=炉-2x最大值______,最小值______

【答案】8-1

【分析】将抛物线解析式化为顶点式，根据二次函数的性质结合解析式即可得到答案.

解：,y=x2—2x=（x—1）—1,

:.a=l>0,抛物线开口向上，

-2<x<2,

，当x=i时，y的值最小为一1,

当x=2时，y=22-2x2=0,

当x=-2时，y=（-2）2—2x（-2）=4+4=8,

8>0,

，当一24x42,则函数>=必一2%最大值为8,最小时为一1,

故答案为：8,—1.

【点拨】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质，将解析式化为顶点式是解此题的关键.

【题型3】若且对称轴1=-2在区间的右边时

2a

【例3】(20-21九年级上•广东广州•期中)当-2WX41时，二次函数y=-(x-3)2+m2+l有最大值4,

求实数m的值.

【答案】mi—77,nri2=-币

【分析】根据二次函数的性质得到当x<3时，y随x的增大而增大，根据题意列式计算即可.

解：二次函数y=-(x-3)2+m2+1的对称轴是x=3,

Ea=-KO,

回当x<3时，y随x的增大而增大，

由题意得，当x=l.时，二次函数y=-(x-3)2+m2+l有最大值4,

则-(1-3)2+m2+l=4,

解得，ml=77,m2=-«.

【点拨】本题考查的是二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c(a*0),当a<0时，抛物线在对称轴左侧，

y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少.

【变式1】(2024•内蒙古鄂尔多斯•三模)已知实数a,b满足6-a=l且/4,则代数式/一伤+11的最

小值是()

A.7B.4C.6D.3

【答案】B

【分析】本题考查二次函数求最值，根据题意用含b的代数式表示。，将代数式转化为只含b的代数式，

配方后，求最值即可.

解:a=1,

=1,

回4-46+11=("-ip-46+11

=/一26+1—46+11

="-66+12

=(6-3『+3；

0Z?>4,

回当Z,=4时，仅一3『+3的值最小为4；

故选B.

【变式2】(23-24九年级上•江苏苏州•阶段练习)已知函数y=Y-2x+3,当OWxW加时，有最大值3,

最小值2,则机的取值范围是.

【答案】1WM1V2

【分析】先将该函数的表达式化为顶点式，得出当x=l时，y有最小值2,再把y=3代入、=犬-2x+3,

求出X的值，即可求出"2的取值范围.

角率：回y=尤~—2x+3=(x—1)~+2,a=l>0,

回当x=l时，y有最小值2,

把，=3代入y=x2_2x+3得：3=/一2%+3,

解得：=2,Xj=0,

团当IVxWm时，有最大值3,最小值2,

01<m<2,

故答案为：1WmV2.

【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性和增减性，以

及求二次函数的最值的方法.

【题型4】若根且对称轴x=-2在区间的左边时

2a

【例4】(22-23九年级上•广东韶关•期中)已知0<x<2,贝幅数y=d+x+l()

A.有最小值3;，但无最大值B.有最小值3;，有最大值7

C.有最小值1,有最大值7D.无最小值也无最大值

【答案】C

【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先把解析式化为顶点式得到开口方向和对称轴，进而得到

在对称轴右侧，y随x增大而增大，据此结合自变量的取值范围即可得到答案.

解：由题意得，抛物线解析式为y=f+x+l=(x+,T+3,

回抛物线对称轴为直线x=-1,

2

El>0,

团在对称轴右侧，y随x增大而增大，

国当0VxW2时，当x=0时，y有最小值1,当x=2时，y有最大值2?+2+1=7,

故选：C.

【变式1】（2024•山东临沂•三模）若二次函数，=加-x+2的图象经过点（2,-1）,当力W2时，丁有

最大值3,最小值-1,贝打的取值范围应是（）

A.-6<t<2B.t<-2C.-6<t<-2D.-2<t<2

【答案】C

【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，根据二次函数丁=依2-》+2的图象经过点（2,-1）,

可以求得。的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质，时，V有最大值3,最

小值-1,即可得到/的取值范围.

解：二次函数y=a/-x+2的图象经过点（2,-1）,

-1=4x22—2+2,

解得。=二,

4

112

y-——x-x+2——z（%+2）+3,

二•该函数的图象开口向下，对称轴是直线x=-2,当x=-2时，该函数取得最大值3,

当，KxK2时，y有最大值3,最小值一1,当％=2时，y=-l,

根据对称性可得了=-6时，y=-i,

-6W，《—2,

故选：C.

【变式2］当2.54XW5时，二次函数y=—（x-1）2+2的最大值为一

【答案】二

4

【分析】根据二次函数的性质进行解答即可

解:函数y=—（x—l）2+2的图象的开口向下，对称轴为直线x=L

当2.5<x<5时，y的值随x值的增大而减小，

所以当x=2.5时，y最大=—(2.5—1)12+*42=-^.

故答案为7.

【点拨】此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题时根据函数的解析式判断出函数的增减性质，然后

根据范围判断出取最值的x值，然后求出最大值即可，此题易错为不考虑24x45的范围，单纯的考虑y=

-(x-1)2+2的最大值，出现错误答案.

【题型5】若且对称轴x=-2在区间的位置进行分类讨论

2a

【例5】(23-24八年级下•北京•期中)已知二次函数y=f2+6x-5.当fWxWf+3时，函数的最大值

为m，最小值为“，若加-〃=3,求/的值.

【答案】3-6或6

【分析】本题考查了二次函数的性质，分类讨论思想，掌握二次函数的性质是解题的关键.根据二次函数

的性质及自变量的取值范围即可解答.

解：y=—x2+6%-5=—(x-3)2+4,

团对称轴为x=3,

团当x<3时，y随x的增大而增大，当x>3时，y随x的增大而减小，

①当f+3<3即时，

时，y有最小值"，x=t+3时，y有最大值加，

—广+6?-5=ri

回《2，

一(f+3)+6(/+3)—5=,"

又加一”=3，

整理得-卜+3)2+6卜+3)-5-[-产+6/-5]=3,

解得1=1,

又/<0,

回不符合题意，舍去；

②当f>3时，

x=t时，y有最大值m,x=x+t时，y有最小值n,

一厂+6r—5=77?

回47,

一«+3)-+6«+3)-5=〃

又加一”=3,

整理得-(f+3)2+61+3)-5-[-r+6f-5]=-3,

解得r=2,

又方>3,

回不符合题意，舍去；

③当0V/V3时，t<3<t+3<6,

回x=3时，y有最大值为4,

Em=4,

又m-n=3,

0n=l,

0-F+6r—5=1或—(f+3)+6(f+3)-5=1,

解得4=3—>/3,Z2=3+-y/3,t3=-\/3,=—A/3,

又0w,

0t的值为3-右或6.

综上，t的值为3-0或6

【变式1】(22-23九年级上•安徽亳州•期中)当1VX43时，二次函数y=(x-/?>+1(人为常数)有最小

值10,则h的值为

【答案】-2或6/6或-2

【分析】先把>=1。代入y=(x-犷+1,求出尤-丸=3或x-〃=-3,再根据位置关系分类讨论。的取值问

题即可.

解：令y=10代入y=(x-犷+1得，

10=(x-/?)2+l,

E(x—/?)"=9,

回％-/2=3或工一九=一3,

①当/z>3时，y在x=3处取得最小值，

0/?=0(舍去)或/z=6,

②当/?<1时，y在彳=1处取得最小值，

回无=一2或/z=4(舍去)，

③当lV/z<3时，V在x=/z处取得最小值，

最小值为1,不符合题意，

综上，〃的值为-2或6,

故答案为：-2或6.

【点拨】本题考查了二次函数的顶点式和最小值，熟练运用二次函数的图象特征是解题的关键.

【变式2](2023•吉林长春•模拟预测)已知二次函数的表达式为，=-/+2辰一〃，当-LVxVl时，函数

有最大值“，贝1的最小值是.

【答案】-/-0.25

4

2/z

【分析】本题考查二次函数图象及性质，二次函数顶点式等.根据题意可知对称轴彳=-丁丁^=/7,分三

2x(-1)

段区间对抛物线增减性最值进行求解即可得出本题答案.

解：Ey=—x2+2hx-h,

,抛物线开口向下，对称轴为直线方=一02)]、=h,

2x(-1)

当无4-1时，x=-l时'取最大值，此时〃=-l-2/z-/z=—l—3/?22；

当一时，x=/z时'取最大值，itfcHyl-n——h2+2h2—h=h2—h=(h——)2——,

244

当时，x=l时'取最大值，此时”=一1+2〃一〃=/i—1)0,

综上所述：况的最小值为

故答案为：.

4

第三部分【中考链接与拓展延伸】

1、直通中考

【例1】(2024・浙江・中考真题)已知二次函数y=/+bx+c(b,c为常数)的图象经过点4-2,5),对

称轴为直线x=-g.

⑴求二次函数的表达式；

⑵若点3(1,7)向上平移2个单位长度，向左平移机(机>。)个单位长度后，恰好落在丁=/+法+。的图

象上，求相的值;

0

(3)当-〃时，二次函数y=%+fex+c的最大值与最小值的差为了,求几的取值范围.

【答案】([)、=/+了+3(2)〃z=4(3)-1<n<l

【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，

(1)采用待定系数法即可求解二次函数关系式；

(2)先求出平移后点8的坐标，然后把坐标代入解析式即可；

(3)分为〃<-；，-:时，”>1时，建立方程解题即可.

(1)解：设二次函数的解析式为y=+左，把A(-2,5)代入得卜2+31+左=5,

解得《=?，

4

Sy=|x+—|+—=x2+x+3；

I2；4

(2)解：点8平移后的点的坐标为。-八9),

贝！J9=(1-〃ip+(i-m)+3,解得帆=4或m=-1(舍),

曲〃的值为4；

(3)解：当〃<-工时，

2

(1V11-|91

团最大值与最小值的差为5-\n+-\+-=-,解得：4=%=-;不符合题意，舍去；

当一gv〃vi时，

团最大值与最小值的差为5-：11=Q符合题意；

44

当〃>1时，

最大值与最小值的差为]+工丫+1-口=2,解得4=1或叼=-2,不符合题意；

I2)444

综上所述，w的取值范围为-gw/Vl.

【例2】(2023•浙江杭州•中考真题)设二次函数>=。(*一m)(*一〃2-左)(。>0,加,左是实数)，贝IJ()

A.当左=2时，函数y的最小值为-aB.当左=2时，函数y的最小值为-2。

C.当k=4时，函数y的最小值为一。D.当左=4时，函数y的最小值为一2a

【答案】A

【分析】令1=0,则。=a（x-m）（彳-力-左），解得：x1=m,x2=m+k,从而求得抛物线对称轴为直线

x=m+ln+k=2m+k,再分别求出当左=2或左=4时函数y的最小值即可求解.

W：令y=o,则0=々（X_根）（％_徵_左），

解得：石=m，x2=m+k,

、，士小m+m+k2m+k

回抛物线对称轴为直线尤=——-——=--—

当左=2时，抛物线对称轴为直线了=加+1,

把X=〃Z+］代入y=。（了_〃7）（了_m_2）,得y=-a,

回。>0

团当％=m+1,左=2时，y有最小值，最小值为一

故A正确，B错误；

当左=4时，抛物线对称轴为直线犬=m+2,

才巴犬=〃z+2代入y=〃（％一m）（无一根_4）,得y=-4a,

回。>0

团当％=帆+2,攵=4时，y有最小值，最小值为-4。，

故C、D错误，

故选：A.

【点拨】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴.利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键.

2、拓展延伸

【例1】（23-24九年级上•浙江舟山•阶段练习）在平面直角坐标系》。了中，若点尸的横坐标和纵坐标相等，

则称点尸为完美点.已知二次函数>=办2+4工+。（。/0）的图象上有且只有一个完美点［T，：］，且当

3

04光«机时，函数y=o?+4x+。一二（〃w0）的最小值为-3,最大值为1,则加的取值范围是（）

4

797

A.—l<m<0B.2<m<—C.2<m<4D.—<m<—

242

【答案】c

【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质及根的判别式，利用数形结合的思

想是解题的关键.

根据完美点的概念，可得ox?+4%+c=x,即ox?+3x+c=0,根据只有一个完美点，可得4=3?-4勿;=0,

93

从而解出〃=-1，c=--,所以函数>=以2+4%+。—(、—2>+1,由此得出函数的顶点坐标和对称轴

44

及性质，即可求解.

W：令cue2+4尤+c=%,即ax2+3x+c=0,

由题意可得，图象上有且只有一个完美点，

0A=32—4ac=0,即4QC=9,

又回方程的根为尤=S'ac=匚=3,

2a2a2

।9

回Q=-1,C=--,

4

3

回函数y=ax1+4x+c——=—x2+4无一3=-(.x-2)2+1,

4

国该函数图象的顶点为(2,1),

如图，在对称轴直线x=2右侧，y随x的增大而减小，在尤=2左侧，y随x的增大而增大，

3

当04xW机时，函数y=