2025年高考数学一轮复习：集合（八大题型）讲义（原卷版）

第01讲集合

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：元素与集合...........................................................................4

知识点2:集合间的基本关系.....................................................................5

知识点3：集合的基本运算.......................................................................5

知识点4:集合的运算性质.......................................................................5

解题方法总结...................................................................................6

题型一：集合的表示：列举法、描述法............................................................6

题型二：集合元素的三大特征....................................................................7

题型三：元素与集合间的关系....................................................................7

题型四：集合与集合之间的关系..................................................................8

题型五：集合的交、并、补运算..................................................................8

题型六：集合与排列组合的密切结合..............................................................9

题型七：容斥原理..............................................................................10

题型八：集合的创新定义运算...................................................................11

04真题练习•命题洞见...........................................................12

05课本典例•高考素材...........................................................13

06易错分析•答题模板...........................................................14

易错点：在解含参数集合问题时忽视空集.........................................................14

答题模板......................................................................................14

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

本讲为高考命题热点，题型以选择题为主，

2023年I卷第1题，5分考查内容、频率、题型、难度均变化不大.重点是

(1)集合的概念与表示2023年n卷第2题，5分集合间的基本运算，主要考查集合的交、并、补

(2)集合的基本关系2022年I卷H卷第1题，5分运算，常与一元二次不等式解法、一元一次不等

(3)集合的基本运算2021年I卷n卷第1题，5分式解法、分式不等式解法、指数、对数不等式解

2020年I卷H卷第1题，5分法结合.同时适当关注集合与充要条件相结合的解

题方法.

复习目标：

1、了解集合的含义，了解全集、空集的含义.

2、理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.

3、会求两个集合的并集、交集与补集.

4、能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本

运算.

//二知识导图•思维引航\\

确定性］

元素

互异性

特性

无序慢）

属于

Y元素与集合的关系

不属于

元素与集W）Y列举法）

T集合的表示方法）--（描述法）

不常见数断数学相

如果集合Z中任意一个元素都是集合5中的兀素，我们就说这两个集合有包含关系,

称集合N为集合笈的子集，记作ZG5（或574）

如果集合但存在元素x£氏Fir时,

真子集

我们称集合力是集合△的真子集，记作力

集合间的基本关系

集合如果集合力是集合△的子集，且集合△是集合力的子集

我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作0

0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

交集/（1笈=住比£4小£5}

集合的基本运算4UB={X|X£/,X£5}

I/n(CM)=0，NU(Ci/)=U，CL(CLA)=A.

集合的运算性质A(JA=A,A(J0-A,A\JB-B\JA.

A[\A-A,/lf|0=0,A(}B-B^\A.

X./

考点突确.题理辉宝

知识固本

知识点1:元素与集合

1、集合的含义与表示

某些指定对象的部分或全体构成一个集合.构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以

是其他对象.

2、集合元素的特征

（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素.

（2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现.

（3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关.

3、元素与集合的关系

元素与集合之间的关系包括属于（记作aeA）和不属于（记作a箔A）两种.

4、集合的常用表示法

集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法（韦恩图）.

知识点诠释：

（1）列举法

把集合的元素一一列举出来，并用花括号括起来.

（2）描述法

在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合

中元素所具有的共同特征.

5、常用数集的表示

数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*或N.ZQR

【诊断自测】（2024•广东惠州•一模）设集合M={xeZ|100<2，<1000}，则”的元素个数为（）

A.3B.4C.9D.无穷多个

知识点2：集合间的基本关系

（1）子集：一般地，对于两个集合A、B'如果集合A中任意一个元素都是集合5中的元素，我们

就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合3的子集，记作4=8（或824），读作“A包含于3”

（或“台包含人”）.

（2）真子集：对于两个集合A与3，若4=8，且存在但6走A，则集合A是集合3的真子

集，记作AU8（或8袁4）.读作“A真包含于3”或“3真包含A”•

（3）相等：对于两个集合A与台，如果A=8，同时8=A，那么集合A与3相等，记作A=3.

（4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作0；0是任何集合的子集，是任何非空集合的真

子集.

【诊断自测】（2024.高三・四川成都•阶段练习）已知集合A={1,2},2={2,3},则集合

C={z[z=x+y,xwA,ye国的子集个数为（）

A.5B.6C.7D.8

知识点3：集合的基本运算

（1）交集：由所有属于集合A且属于集合3的元素组成的集合，叫做A与3的交集，记作Ac3,

即Ac2={x|xeAJiLxe2}.

（2）并集：由所有属于集合A或属于集合3的元素组成的集合，叫做A与5的并集，记作AuB,

即Au8={x|xeA或xeB}.

（3）补集：对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全

集U的补集，简称为集合A的补集，记作QA,即C0A={x|xeU,且xeA}.

【诊断自测】（2024・陕西西安•一模）已知全集[/=!<,集合知=口及=的二1}，N={-®,0,1,2,6},

则（）.

A-{-72,0,1}B-{2,73}C.口,2,百}D.{2}

知识点4：集合的运算性质

⑴Ai|A=4，A0=0，A।B^B|A>AnBcA-AnBcB.

⑵Al.A=A，A0=A>AB=BA>A^AuB>BcAuB.

（3）A।（C^A）=0.A（CuA）=U>CU（CUA）=A-

⑷Ac3=AoAu3=3o4口30赠涔口VA<^>Ao^vB=0

【诊断自测】（2024•江西鹰潭•一模）已知集合4={》|炉-5x<6},集合於{x|x*},若Bq@A）,

则。的取值范围为（）

A.（6,+oo）B.［6,+oo）C.（-co,-l）D.（-«,1］

解题方法总结

（1）若有限集A中有〃个元素，则人的子集有2"个，真子集有才一1个，非空子集有2"-1个，非空真

子集有2"一2个.

（2）空集是任何集合A的子集，是任何非空集合3的真子集.

⑶AgBoAB=A<^AB=B<^CUB^CUA.

（4）Cv（AiB）=（CuA）（CuB）,Cu（A3）=（QA）广（QB）•

题型洞察

题型一：集合的表示：列举法、描述法

【典例1-1］（2024•广东江门・一模）己知集合A={-1,0,1},B={m\7rr-l^A,m-1^A\,则集合B中

所有元素之和为（）

A.0B.1C.-1D.72

【典例1-2】已知集合A={-3,—2,0,1,2,3,7},_B={x|xeA,—xmA},则3=（）

A.{0,1,7}B.{1,7}C.{0,2,3}D.{0,1,2,3,7）

【方法技巧】

1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然.

2、描述法，注意代表元素.

【变式1-1］（2024•新疆•一模）己知集合4=卜11,%€?4,且04444，，则集合A的元素个数为（）

A.3B.2C.4D.5

【变式1-2］（2024・高三•山东泰安・期中）已知集合4={1,2,3},B={3,5},则

=A,Z?w5}中的元素个数为（）

A.3B.4C.5D.6

题型二：集合元素的三大特征

【典例2-1】设集合A=12,3,1-3a,a+2+71，B={|a-2|,3）,已知4eA且4盾8,贝/的取值集合

【典例2-2】由a,-a,时，府构成的集合中，元素个数最多是

【方法技巧】

1、研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。

2、研究两个或者多个集合的关系时，最重要的技巧是将两集合的关系转化为元素间的关系。

【变式2-1］（2024・高三.天津河西•期中）含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成

储°+反0},则齐+产

【变式2-2］（2024・高三.山东潍坊•期中）英语单词“Mww”所含的字母组成的集合中含有个元素.

【变式2-3］（2024•云南大理•模拟预测）已知{X62-4》+1=。}=抄},其中a,%eR,贝同=（）

A.0B.—或7?C.■-D.—

4224

题型三：元素与集合间的关系

【典例3.1】已知集合A={x,=4匕左,B=|x|x=4m+l,mGZ},C=|^|x=4zz+2,neZ|

£）={x|%=4/+3/wZ},若awB,beC,则下列说法正确的是（）

A.tz+Z?GAB.a+bGBC.a+bGCD.a+bGD

【典例3-2】（2024•高三•山东青岛•开学考试）已知xe{l,2,f},贝ijx的取值为（）

A.1B.1或2C.0或2D.0或1或2

【方法技巧】

1、一定要牢记五个大写字母所表示的数集，尤其是N与N*的区别.

2、当集合用描述法给出时，一定要注意描述的是点还是数.

【变式3-1］（2024•全国.模拟预测）已知集合4={乂工=3左+l,%eZ},则下列表示正确的是（）.

A.-2eAB.2023髭A

C.3左2+1仁AD.—35更A

【变式3-2］（2024・贵州贵阳・模拟预测）若集合A={x|2如-3>0,加ER},其中2♦2且1”,则实

数机的取值范围是（）

333333

A.B.D.

了54,24,2

【变式3-3]已知4=卜,—奴+1叫，若2e/,且3走A,贝!的取值范围是()

*出10

A.2'3)B.(2,3C.D.

题型四：集合与集合之间的关系

【典例4・1】(2024.四川德阳.三模)已知集合4={尤[1<%<2024},B={x\x<a}f若A±B,则实数

a的取值范围是()

A.(2024,4w)B.[2024,+oo)C.(—oo,2024]D.(—8,2024)

【典例4・2】(2024.全国.模拟预测)已知集合{1,0}之8{-1,0,1,2},则满足条件的集合6的个数为

()

A.3B.4C.5D.6

【方法技巧】

1、注意子集和真子集的联系与区别.

2、判断集合之间关系的两大技巧：

(1)定义法进行判断

(2)数形结合法进行判断

【变式4-1](2024•河南驻马店•一模)已知集合

M=卜x=万+7发ez},N=1x卜=工+万,左eZ；,/eM,则5与N的关系是()

A.x0&NB.XQ^N

C.%CM且X°£ND.不能确定

【变式4-2】已知集合M,Nu/,若McN=N,贝|()

A.砸3]NB.M7QNC.枷7]ND.M

【变式4-3](2024青海西宁.二模)设集合4={1,2。+1},3={3,4-1,3所2},若4=3,则。=()

A.-2B.-1C.1D.3

题型五：集合的交、并、补运算

【典例5-1】已知集合4={x|(x-2)(x-5)V。},B={x||3-2x|<5},则仅A)I8=()

A.(-1,2)B.[-1,2]C.[-1,2)D.(-1,2]

【典例5-2】(2024•广东深圳•二模)对于任意集合下列关系正确的是()

A.M及K=MNB.瘠NWN)=(MNMH&NN)

C.MNN=MND.fW(MN)=(M'M)&M

【方法技巧】

1、注意交集与并集之间的关系

2、全集和补集是不可分离的两个概念

【变式5-1】已知集合0=：«,A={y[y=g^+GT},台二卜卜一/4),则g(AB)=()

A.[0,1)B.(0,1]

C.(-oo,0]u(l,+oo)D.(^o,0)u[l,+co)

【变式5-2](2024•四川德阳•二模)己知集合4=何必一了一22。},5=3y=lnx},贝|(①勾八8=

()

A.{.r|0<x<1}B,{x[0<x<2}

C.{x|-l<x<2}D.{x|x>2}

题型六：集合与排列组合的密切结合

【典例6-1】(2024•福建厦门•二模)设集合A={T,0,l},B={(^,x2,x3,x4,x5)|x;eA,«=1,2,3,4,51,那

么集合3中满足14|玉|+国+国+闻归3的元素的个数为()

A.60B.100C.120D.130

【典例6-2】(2024.全国•模拟预测)已知ABC的三个顶点的横纵坐标均在集合{1,2,3,4}内，则这样

的三角形共有()

A.64个B.125个

C.432个D.516个

【典例6-3】cwd(A)表示集合中元素的个数，card^B)=card(B\C)=card(CA)=l,且

ABC=0,则称(4B,C)为N的“有序子集列”.现有N={1,2,3,4,5,6},则N的“有序子集列”的个数为

()

A.540个B.1280个C.3240个D.7680个

【方法技巧】

利用排列与组合思想解决集合或者集合中元素个数的问题，需要运用分析与转化的思想方法。

【变式6-1】设集合A={1,2,3,4},8={5,6,7},则从A集合到8集合所有不同映射的个数是（）

A.81B.64C.12D.以上都不正确

【变式6-2］已知AB=1,2,3,,2022,2023},则由集合A3构成的集合{A,8}的个数为（）

A24（M5_22023B24045—22022

40462022

Q24046_22023£）2_2

【变式6-3］（2024•高三・四川雅安•开学考试）已知集合。={%€2|14445},非空集合A三。,且A中

所有元素之和为奇数，则满足条件的集合A共有（）

A.12个B.14个C.16个D.18个

【变式6-4］（2024・上海静安•一模）已知直线依+勿+。=0的斜率大于零，其系数服b、c是取自集合

{-2,-1,0,1,2}中的3个不同元素，那么这样的不重合直线的条数是（）

A.11B.12C.13D.14

题型七：容斥原理

【典例7-1】（2024•高三・北京・强基计划）一群学生参加学科夏令营，每名同学参加至少一个学科考

试.已知有100名学生参加了数学考试，50名学生参加了物理考试，48名学生参加了化学考试，学生总数

是只参加一门考试学生数的2倍，也是参加三门考试学生数的3倍，则学生总数为（）

A.108名B.120名C.125名D.前三个答案都不对

【典例7-2】“四书五经”是中国传统文化瑰宝，是儒家思想的核心载体，其中“四书”指《大学》《中庸》

《论语》《孟子》.某大学为了解本校学生阅读“四书”的情况，随机调查了200位学生，其中阅读过《大学》

的有60位，阅读过《论语》的有160位，阅读过《大学》或《论语》的有180位，阅读过《大学》且阅读

过《论语》及《中庸》的有20位.则该校阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数与

该校学生总数比值的估计值是（）

A.0.1B.0.2

C.0.3D.0.4

【方法技巧】

容斥问题本身存在包容与排斥的一种计数问题，所以我们在处理这一类问题的时候必须要注意扣除掉

重复的部分，也要保证没有遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方

法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数

时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理.

【变式7-1］（2024.高三.湖北.期末）某校高一年级有1200人，现有两种课外实践活动供学生选择，要

求每个同学至少选择一种参加.统计调查得知，选择其中一项活动的人数占总数的60%到65%,选择另一项

活动的人数占50%到55%,则下列说法正确的是（）

A.同时选择两项参加的人数可能有100人

B.同时选择两项参加的人数可能有180人

C.同时选择两项参加的人数可能有260人

D.同时选择两项参加的人数可能有320人

【变式7-2］（2024・高三・福建三明•期中）某班有45名同学参加语文、数学、英语兴趣小组.已知仅参

加一个兴趣小组的同学有20人，同时参加语文和数学兴趣小组的同学有9人，同时参加数学和英语兴趣小

组的同学有15人，同时参加语文和英语兴趣小组的同学有11人，则同时参加这三个兴趣小组的同学有

人.

【变式7-3］（2024・江西•模拟预测）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看

电影，学党史”系列短视频，传扬中国伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》

《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建

党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4

人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，

三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为一.

题型八：集合的创新定义运算

【典例8-1］（多选题）（2024.山西.一模）群的概念由法国天才数学家伽罗瓦（1811-1832）在19世纪

30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分

广泛的应用.设G是一个非空集合，是一个适用于G中元素的运算，若同时满足以下四个条件，则称G

对“”构成一个群：（1）封闭性，即若a,beG,则存在唯一确定的ceG,使得c=ab-（2）结合律成立,

即对G中任意元素a,b,c都有（ab）c=a（bc）；（3）单位元存在，即存在eeG,对任意aeG,满足

ae=ea=a,则e称为单位兀；（4）逆兀存在，即任意aeG,存在bwG,使得。b=ba=e,则称a

与匕互为逆元，分记作力.一般地，a3可简记作功,。。可简记作心/。可简记作苏，以此类推.正八边

形ABCDE尸G”的中心为。.以e表示恒等变换，即不对正八边形作任何变换；以「表示以点。为中心，将

正八边形逆时针旋转;的旋转变换；以加表示以Q4所在直线为轴，将正八边形进行轴对称变换.定义运算

“”表示复合变换，即/g表示将正八边形先进行g变换再进行/变换的变换.以形如km/pueN,并

规定八=，"°=e）的变换为元素，可组成集合G,则G对运算“”可构成群，称之为“正八边形的对称变换

群”，记作2.则以下关于2及其元素的说法中，正确的有（）

1

A.mr~eZ）8,且mr=r'm

B.Nm与，加互为逆兀

C.2中有无穷多个元素

D.2中至少存在三个不同的元素，它们的逆元都是其本身

【典例8-2】已知全集。且集合A、3是非空集合，定义=且xe用（Ac/?）},已知

A={x|-2cx<5},B=1x|x<3},则A（g）3=___.

【方法技巧】

1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和

方法并不难，难在转化.

2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”,

要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解。

【变式8-1］定义集合运算：A3=卜|2=皿》+丫）,尤€4,”同，集合A={0,l},8={2,3},则集合

N8所有元素之和为一.

【变式8-2］如果集合U存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空子集

A，4，,&keN*,左22）,且满足AUAULUA*=U,那么称子集组A，4,,4构成集合。的一个左划

分.若集合/中含有4个元素，则集合/的所有划分的个数为（）

A.7个B.9个C.10个D.14个

【变式8-3］（2024.上海嘉定.二模）若规定集合E={0,1,2,，科的子集{%,%,%，，%}为E的第上

个子集，其中左=2q+2%+2%+-+2%，则E的第211个子集是—.

3

1.(2023年北京高考数学真题)已知集合加={%|%+220},N={x|%-1<0},则McN=()

A.{x|-2<x<l}B.{x|-2<x<l}

C.{x\x>-2}D.{x|x<l}

2.(2023年高考全国甲卷数学(理)真题)设全集U=Z，集合

M={x|x=3k+l,kZ},N={x\x=3k+2,k^Z]f&j(MoN)=()

A.{x\x=3k,keZ}B.{x\x=3k-l,k^Z}

C.{x|x=3k-2,k^Z}D.0

3.(2023年高考全国乙卷数学(理)真题)己知等差数列{%}的公差为高，集合S=tosa“geN*},

若3={〃,。},则出2=()

A.-1B.--C.0D.士

2