2024-2025学年邵阳市高二数学上学期开学考试卷（附答案解析）

2024-2025学年邵阳市高二数学上学期开学考试卷

（考试时间：120分钟试卷满分：150分注★为暑假作业原题）

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.复数z=—的实部和虚部分别是（）

2+i

1515.

A.1,1B.1,iC.,—D.—,—i

3333

2.已知向量5=(2,2),b=(A,-4),2eR,若值“5+役)，则；1=()

A.-1B.0C.1D.2

3.如图所示，梯形是平面图形48co用斜二测画法得到的直观图，A'D'=2B'C=2,

H8'=l,则平面图形48CD的面积为（）

B'/C

A.2B.272C.3D.372

4.已知向量5=（1,1）,b=（-2,l）,则斤在B方向上的投影数量为（）

11

A.—B•---C.

5555

71

5.将函数y=sin2x+1的图象向右平移A个单位长度，所得图象对应的函数（)

10

3兀5兀3兀

A.在区间—上单调递增B.在区间—,7T上单调递减

444

5兀33兀

C.在区间—上单调递增D.在区间—,271上单调递减

422

6.已知/（x）=2sin0x+£（0〉0）,若方程=l在区间（0,2兀）上恰有3个实根，则0的取

值范围是（）

155,44

A.—<a）<—B.—<a）<\C.\<a）<—D.1<^<—

26633

7.《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的

1

一部.在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知“堑堵”ABC-A^C,

的所有顶点都在球。的球面上，且45=/C=l.若球。的表面积为4兀，则这个三棱柱的表面积是

()

A.2+2^/2B.2^2C.3+2,\/2D.3+2-\/3

8.已知/(x)是定义域为R的奇函数，且/(X—2)是偶函数，当0Kx<2时，/(X)=X2-4X,则当

6Kx<8时，/(x)的解析式为()

A./(x)=-x2-4xB./(x)=x2-16x+60

C./(x)=x?-12x+32D./(x)=-"X?+12x-•32

二选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件/：甲骰子点数为奇数，事件8：乙骰子点数为偶数,

事件C：甲、乙骰子点数相同.下列说法正确的有()

A.事件Z与事件5对立B.事件Z与事件8相互独立

C.事件/与事件。相互独立D.P(C)=P(48)

7T

10.在△48。中，角4伉。的对边分别为见必。，。=3,A=—,。为△48C的外心，则()

3

A.若A/BC有两个解，则3<c<2百

B.次•元的取值范围为136,36]

C.互配能的最大值为9

D.若民C为平面上的定点，则/点的轨迹长度为3百兀

3

★11.。,人为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形48c的直角边ZC所在直线与都垂直,

斜边48以直线/C为旋转轴旋转，有下列结论正确的有()

A.当直线48与。成60°角时，45与6成30°角；

B.当直线48与。成60°角时，48与6成60°角；

C.直线48与。所成角的最小值为45°；

D.直线48与a所成角的最大值为60。.

2

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

*12.如图，在同一个平面内，向量方，砺，灰的模分别为1,1,V2,况与云的夹角为且

tana=7,砺与云的夹角为45°.若=加厉+〃砺(加,〃eR),贝!J加+〃=.

*13.已知直四棱柱Z8CD—44cl2的棱长均为2,ABAD=60°.以为球心，、后为半径的球面

与侧面BCC声的交线长为______.

14.已知函数/(》)={2工，若函数g(x)=/(/(x)-加)一2,当g(x)恰有3个零点

2x2+4x+2（x<0）

时，求加的取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.

15.(本小题满分13分)某地区对初中500名学生某次数学成绩进行分析，将得分分成8组(满分150

分)：[65,75),[75,85),[85,95),[95,105),[105,115),[115,125),[125,135),[135,145),

整理得到如图所示的频率分布直方图.

频率

W

0.030-------------------

0.020------------------------------

0.016--------------------

0.012---------------

0.006_______________________,

0.004-----1----------------------------T-1----1

0^65758595105115125135145^

(1)求第七组的频率；

(2)用样本数据估计该地的500名学生这次考试成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作

代表)；

(3)现从500名学生中利用分层抽样的方法从[95,105),[105,115)的两组中抽取5个人进一步做调查

问卷，再从这5个人中随机抽取两人，求抽取到的两人不在同一组的概率.

★16.(本题满分15分)如图，已知多面体28以[4。]，4483,。1。均垂直于平面

ZABC=120°,Z/=4,qC=1,AB=BC=B,B=2.

3

4

（1）证明：48］，平面440；

（2）求直线幺。与平面所成角的正弦值.

★17.（本题满分15分）记A/BC是内角4瓦。的对边分别为仇c.已知/=。。，点。在边/C上,

BDsinZABC=asinC.

（1）证明：BD=b；

（2）若4D=2DC,求cosZASC.

*18.（本题满分17分）如图，四棱锥尸—45CD中，48CD为矩形，平面PZD，平面45CD.

（2）若NAPC=90°,PB=C,PC=2,问为何值时，四棱锥P—/BCD的体积最大？并求

此时平面PBC与平面DPC夹角的余弦值.

19.（17分）在平面直角坐标系中，。为坐标原点，对任意两个向量成=（石,乂），«=（x2,y2）.

作：OM=m,西=万当成，万不共线时，记以（W,ON为邻边的平行四边形的面积为

S^m,n^=\xty2-x2y11；当成，为共线时，规定S（西万）=0.

（1）分别根据下列已知条件求S（龙,五）；

①应=（2,1）,万=（—1,2）；②应=（1,2）,万=（2,4）；

（2）若向量/=痴+〃万（九〃e氏力+，w0）,求证：S（万，砌+S（万,k）=Q川+|“）S（万，元）

（3）记。/=彳，OB=b,OC=c,且满足e=+5，同=忖=同=1,求

S伍㈤+S（3周的最大值.

4

高二上学期入学考试数学参考答案

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

12345678

ABCDABCD

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

91011

BCABDBC

II.【解析】：由题意，48是以/C为轴，5c为底面半径的圆锥的母线，由ACLb,又

/CL圆锥底面，在底面内可以过点8,作BDHa,交底面圆。于点。，如图所示，连结QE,则

DELBD,:.DEHb连结AD,等腰AZAD中，AB=AD=也,当直线48与。成60°角时，

ZABD=60°,故BD=C~,又在RMBDE中,BE=2,:.DE=O,过点、B作BF//DE,交圆C

于点F,连结//，由圆的对称性可知5尸=£>£=J5,.•.△/BE为等边三角形，.,.NZB/=60°,即

48与6成60°角，B正确，A错误.由最小角定理可知C正确；

很明显，可以满足平面直线。，直线48与。所成的最大角为90°,D错误.正确的说法为BC.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.313.名14.（1,3]U{4}（1〈加<3或加=4也对）

2

V2

13.【答案】-----兀.

2

解析：如图：取BC1的中点为E,A8i的中点为R,CG的中点为G，因为/氏4。=60°,直四棱柱

5

/BCD—481GA的棱长均为2,所以△QBiG为等边三角形，所以〃£=G，D[E_LB°I，

又四棱柱48。）—44。。为直四棱柱，所以AS1，平面44。〃，所以

因为84。B©=此,所以，侧面B&CB,

设尸为侧面4cle3与球面的交线上的点，则£»/，

因为球的半径为仆，D[E=6,所以忸耳=J%邛=与与=亚,

所以侧面4GC8与球面的交线上的点到E的距离为血，

因为|EE|=|EG|=C，所以侧面用GC8与球面的交线是扇形EEG的弧出，

因为NB,EF=NgEG=三,所以NEEG=巴，所以根据弧长公式可得出=J5=变兀.

114222

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

【解】（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：

1-（0.004+0.012+0.016+0.030+0.020+0.006+0.004）xl0=0.080；

（2）用样本数据估计该地500名学生这次考试成绩的平均分为：

70x0.004x10+80x0.012x10+90x0.016x10+100x0.030x10+110x0.020x10+

120x0.006x10+130x0.008x10+140x0.004x10=102.

（3）由频率分步直方图可知[95,105）的频数为500x0.030x10=150,[105,115）的频数为

500x0.020x10=100,所以两组人数比值为3:2,

按照分层抽样抽取5人,则在[95,105）,[105,115）分别抽取3人和2人,

记[95,105）这组三人的编号为4民C[105,115）这组两人的编号为a,b,

故从5人随机抽取2名，共10种情况，为：（45），（4C）,（C,S）,（4。），

6

（C,a）,（C,b）,（a,b）

设事件"从5个人中随机抽取两人，抽取到的两人不在同一组”

则屈=｛（4。）,（2例,（民。）,（5/）,（。,4）,（。力）｝,共6种情况.故尸（/）=历=丁

3

即从这5个人中随机抽取两人，则抽取到的两人不在同一组的概率为一.

5

J39

16.【答案】（1）详见解析；（2）

13

【解析】方法一：（常规做法）

（1）由A8=2,Z4=4,BB、=2,AAX±AB,BB］±AB,得/4=44=2血，

所以4B；+4B：=44；,故2片，4片.

由5C=2,BB、=2,Cq=1,BBy±BC,CC,±BC,得4G=近，

由Z8=5C=2,N/8C=120°4G=万，得ZC=2百，

由cq^zc,得/G=VH,所以/8；+4C；=zc；,故

又因为441501=4,44，Kou平面444,所以平面44cl.

（2）如图，过点C］作交直线44于点£）,连结ND.

由ABX1平面44。，C｛Dcz平面44G,可得ABXLC.D,又CtDt±44，网A4自=4，

所以CQ，平面ABB/所以NC/。就是AC,与平面ABBl所成的角.

由44=2血，4G=万得:

cosNC/ig=4纥+VG=8+半，.sinZCAB=1

24%4G2x272x721用V7

所以G。=4GsinNC/iB]=6故sinACXAD=冬=普

V39

因此，直线ZC］与平面48片所成的角的正弦值是王-

7

4

方法二：（建系向量法）

（1）如图，以/C的中点。为原点，分别以射线08,0。为x,y轴的正半轴，建立空间直角坐标系

0-xyz.由题意知各点坐标如下：2（0,—省,0）,5（1,0,0）,4（0,一也,4）,^（1,0,2）,£（°，百，1）

因此葩=（1,行,2）,4^=（1,A-2），4G=（0,273,-3）,由彳瓦•丽=0,得亚―

由福•西二。，得Ng，4G.又因为481n4G=4，所以2及，平面481G.

（2）设直线ZG与平面/AS］所成的角为夕

由（1）可知数=（0,2百,1）,方=（1,百,0）,西=（0,0,2）,设平面/8g的法向量方=（匹＞/）,

।元,4B=0x+y/3y=0_/r1rmn_/VF'-\|_,拓_V39

由<,，即<，可取〃=(—\/3,1,0),所以sin。=cos(AC.,n)=卜,।,—=

n-BB^O[2z=0V''八\ACi[\n\13

J39

因此，直线zq与平面48名所成的角的正弦值是七一.

17.解析：(1)由题设，BD=aSmC,由正弦定理知：=——-——，即smC=£

sinZABCsinCsinZABCsinZABCb

BD=—,又/=ac,，台少二人得证.

b

B

ADb

8

r\i1

(2)由题意知：BD=b,AD=—,DC=-

-33

,4〃213b22，2b22lOZr-02

b2+------c----cbH-------Q

cosAADB=------9---------同理cosZCDB=-----3一9

4b22b-

2cb,—2b2b2

333亍

13b22210"

—QC&,.Wb1

•:ZADB=n—NCDB,—=------整理得2/+。？=——,又白=a9c,

4b22b23

亍亍

.•.2«2+^-=—,整理得6--11//+3/=o解得=)■或—y3

a23b23b-2

〃22-h24a2

由余弦定理知：cosZABC=----+--r-------

2ac3一方

2i72a7

当々=—时，cosNZBC='〉l不合题意；当々=士时，cosZABC=—；

b236b2212

7

综上，cosNABC=一.

12

18.解析：(1)证明：48CD为矩形，故48,40,

又平面PAD±平面ABCD

平面PADA平面ABCD=AD

所以45,平面尸40,因为P£>u平面尸40,故48，尸£).

(2)解：过尸作的垂线，垂足为。，过。作的垂线，垂足为G,连接尸G.

故平面48C。，5C_L平面尸OG,BCVPG

在直角三角形APC中，PG二空,GC=2V3,BG=—,

333

设AB=m,则DP7PG?-OG?,,故四棱锥尸-45C。的体积为

因为加，8—6冽之

9

故当加=—时，即48=—时，四棱锥的体积P—48cD最大.

33

建立如图所示的空间直角坐标系，。（0,0,0）,B—,0,C，逅侦］,小班］,

、33J<337\3/

尸10,0,半1故无=［手,孚,—，15C=（0,V6,0）,CD=T,。,。］

13)

___________________⑥5,276V6

设平面ARC的法向量，=（x,y,l）,则由正，瑟得133/3解得x=l，

>J=0

y=0,=（1,0,1）,同理可求出平面OPC的法向量a=10,g,l）