2025届江苏省泰州市泰州中学高二数学第一学期期末检测模拟试题含解析

2025届江苏省泰州市泰州中学高二数学第一学期期末检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．过抛物线的焦点引斜率为1的直线，交抛物线于，两点，则（）A.4 B.6C.8 D.102．我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（1533-1606年）所著.该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”.其意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且下一层灯数是上一层的2倍，则可得塔的最顶层共有灯几盏？”.若改为“求塔的最底层几盏灯？”，则最底层有（）盏.A.192 B.128C.3 D.13．在等差数列{an}中，a1＝2，a5＝3a3，则a3等于（）A.－2 B.0C.3 D.64．抛物线y2=4x的焦点坐标是A.（0,2） B.（0,1）C.（2,0） D.（1,0）5．已知点到直线的距离为1，则m的值为（）A.或 B.或15C.5或 D.5或156．如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为M.设，则下列向量中与相等的向量是（）A. B.C. D.7．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则一定是（）A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形8．春秋时期孔子及其弟子所著的《论语·颜渊》中有句话：“非礼勿视，非礼勿听，非礼勿言，非礼勿动.”意思是：不符合礼的不看，不符合礼的不听，不符合礼的不说，不符合礼的不做.“非礼勿听”可以理解为：如果不合礼，那么就不听.从数学角度来说，“合礼”是“听”的（）A.充分条件 B.必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9．已知等差数列的前项和为，，公差，．若取得最大值，则的值为（）A.6或7 B.7或8C.8或9 D.9或1010．如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，则线段的中点到坐标原点的距离等于（）A.7 B.10C.12 D.1411．若函数有两个零点，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.12．若倾斜角为的直线过两点，则实数（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．数学中，多数方程不存在求根公式.因此求精确根非常困难，甚至不可能.从而寻找方程的近似根就显得特别重要.例如牛顿迭代法就是求方程近似根的重要方法之一，其原理如下：假设是方程的根，选取作为的初始近似值，在点处作曲线的切线，则与轴交点的横坐标称为的一次近似值，在点处作曲线的切线.则与轴交点的横坐标称为的二次近似值.重复上述过程，用逐步逼近.若给定方程，取，则__________.14．已知函数，若，则________.15．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点坐标是，则该抛物线的标准方程为___________16．已知圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于、两点，且，则圆的方程为_________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在如图所示的多面体中，且，，，且，，且，平面，（1）求证：；（2）求平面与平面夹角的余弦值18．（12分）已知函数图像在点处的切线方程为.（1）求实数、的值；（2）求函数在上的最值.19．（12分）已知椭圆的长轴在轴上，长轴长为4，离心率为，（1）求椭圆的标准方程，并指出它的短轴长和焦距.（2）直线与椭圆交于两点，求两点的距离.20．（12分）已知焦点为F的抛物线上一点到F的距离是4（1）求抛物线C的方程（2）若不过原点O的直线l与抛物线C交于A，B两点（A，B位于x轴两侧），C的准线与x轴交于点E，直线与分别交于点M，N，若，证明：直线l过定点21．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，四边形ACEF为正方形，且平面ABCD⊥平面ACEF（1）证明：AB⊥CF；（2）求点C到平面BEF距离；（3）求平面BEF与平面ADF夹角的正弦值22．（10分）已知数列满足，，，n为正整数.（1）证明：数列是等比数列，并求通项公式；（2）证明：数列中的任意三项，，都不成等差数列；（3）若关于正整数n的不等式的解集中有且仅有三个元素，求实数m的取值范围；

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由题意可得，的方程为，设、，联立直线与抛物线方程可求，利用抛物线的定义计算即可求解.【详解】由上可得：焦点，直线的方程为，设，，由，可得，则有，由抛物线的定义可得：，故选：C.2、A【解析】根据题意，转化为等比数列，利用通项公式和求和公式进行求解.【详解】设这个塔顶层有盏灯，则问题等价于一个首项为，公比为2的等比数列的前7项和为381，所以，解得，所以这个塔的最底层有盏灯.故选：A.3、A【解析】利用已知条件求得，由此求得.【详解】a1＝2，a5＝3a3，得a1＋4d＝3(a1＋2d)，即d＝－a1＝－2，所以a3＝a1＋2d＝－2.故选：A.4、D【解析】的焦点坐标为，故选D.【考点】抛物线的性质【名师点睛】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单几何性质是我们要重点掌握的内容，一定要熟记掌握5、D【解析】利用点到直线距离公式即可得出.【详解】解：点到直线的距离为1，解得：m=15或5故选：D.6、B【解析】根据代入计算化简即可.【详解】故选：B.7、B【解析】利用余弦定理化角为边，从而可得出答案.【详解】解：因为，所以，则，所以，所以是等腰三角形.故选：B.8、B【解析】如果不合礼，那么就不听.转化为它的逆否命题.即可判断出答案.【详解】如果不合礼，那么就不听的逆否命题为：如果听，那么就合理.故“合礼”是“听”的必要条件.故选：B.9、B【解析】根据题意可知等差数列是，单调递减数列，其中，由此可知，据此即可求出结果.【详解】在等差数列中，所以，所以，即，又等差数列中，公差，所以等差数列是单调递减数列，所以，所以等差数列的前项和为取得最大值，则的值为7或8.故选:B.10、A【解析】可由椭圆方程先求出，在利用椭圆的定义求出，利用已知求解出，再取的中点，连接，利用中位线，即可求解出线段的中点到坐标原点的距离.【详解】因为椭圆，，所以，结合得，，取的中点，连接，所以为的中位线，所以.故选：A.11、C【解析】函数有两个零点等价于方程有两个根，等价于与图象有两个交点，通过导数分析的单调性，根据图象即可求出求出的范围.【详解】函数有两个零点，方程有两个根，，分离参数得，与图象有两个交点，令，，令，解得当时，，在单调递增，当时，，在单调递减，且在处取得极大值及最大值，可以画出函数的大致图象如下：观察图象可以得出.故选：C.【点睛】本题主要考查函数零点的应用，构造函数求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键.12、A【解析】解方程即得解.【详解】解：由题得.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据牛顿迭代法的知识求得.【详解】构造函数，，切线的方程为，与轴交点的横坐标为.，所以切线的方程为，与轴交点的横坐标为.故答案为：14、【解析】求出导函数，确定导函数奇函数，然后可求值【详解】由已知，它是奇函数，∴故答案为：【点睛】本题考查导数的运算，考查函数的奇偶性，确定函数的奇偶性是解题关键15、【解析】根据焦点坐标即可得到抛物线的标准方程【详解】因为抛物线的顶点为坐标原点，焦点坐标是，所以，解得，抛物线的标准方程为故答案为：16、【解析】利用对称条件求出圆心C的坐标，借助直线被圆所截弦长求出圆半径即可写出圆的方程.【详解】设圆的圆心，依题意，，解得，即圆心，点C到直线的距离，因圆截直线所得弦AB长为6，于是得圆C的半径所以圆的方程为：.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据线面垂直的性质可得，，如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系，证明即可得证；（2）求出平面与平面的法向量，再利用向量法即可得解.【小问1详解】证明：因为平面，平面，平面，所以，且，因为，如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，，所以；【小问2详解】，设平面的法向量为，则，即，令，有，设平面的法向量为，则，即，令，有，设平面和平面的夹角为，，所以平面和平面的夹角的余弦值为18、（1）a=3，b=-9.（2）最小值=-24，最大值=8.【解析】由曲线在的值以及切线斜率容易确定a与b的值；根据导数很容易确定函数单调区间以及极值点.【小问1详解】，，，由于切线方程是，当x=1时，y=-8，即，即=-8……①；又切线的斜率为-12，∴……②；联立①②得.【小问2详解】由（1）得：，；当时，，导函数图像如下：在时，单调递增，时，单调递减，时单调递增；∴在x=-1有极大值，x=3有极小值；在区间内：在x=-1有最大值；在x=3有最小值.19、（1），短轴长为，焦距为；（2）.【解析】（1）由长轴得，再由离心率求得，从而可得后可得椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立方程组求得交点坐标后可得距离【详解】（1）由已知：，，故，，则椭圆的方程为：，所以椭圆的短轴长为，焦距为.（2）联立，解得，，所以，，故20、（1）；（2）证明过程见解析.【解析】（1）利用抛物线的定义进行求解即可；（2）设出直线l的方程，与抛物线方程联立，根据一元二次方程的根与系数关系进行求解证明即可.【小问1详解】该抛物线的准线方程为，因为点到F的距离是4，所以有，所以抛物线C的方程为：；【小问2详解】该抛物线的准线方程为，设直线l的方程为：，与抛物线方程联立，得，不妨设，因此，直线的斜率为：，所以方程为：，当时，，即，同理，因为，所以有，而，所以有，所以直线l的方程为：，因此直线l恒过.【点睛】关键点睛：把直线l的方程为：，利用一元二次方程根与系数关系是解题的关键.21、（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】(1)利用余弦定理计算AC，再证明即可推理作答.(2)以点A为原点，射线AB，AC，AF分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，借助空间向量计算点C到平面BEF的距离.(3)利用(2)中坐标系，用向量数量积计算两平面夹角余弦值，进而求解作答.小问1详解】在中，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，由余弦定理得，，即，有，则，即，因平面ABCD⊥平面ACEF，平面平面，平面，于是得平面，又平面，所以.【小问2详解】因四边形ACEF为正方形，即，由(1)知两两垂直，以点A为原点，射线AB，AC，AF分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，，，设平面的一个法向量，则，令，得，而，于是得点C到平面BEF的距离，所以点C到平面BEF的距离为.【小问3详解】由(2)知，，设平面的一个法向量，则，令，得，，设平面BEF与平面ADF夹角为，，则有，，所以平面BEF与平面ADF夹角的正弦值为.【点睛】易错点睛：空间向量求二面角时，一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算22、（1）证明见解析；（2）证明见解析（3）【解析】（1）将所给等式变形为，根据等比数列的定义即可证明结论；（2）假设存在，，成等差数列，根据等差数列的性质可推出矛盾，故说明假设错误。从而证