2025届湖南省郴州市湘南中学高一数学第一学期期末教学质量检测试题含解析

2025届湖南省郴州市湘南中学高一数学第一学期期末教学质量检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若函数唯一的一个零点同时在区间、、、内，那么下列命题中正确的是A.函数在区间内有零点B.函数在区间或内有零点C.函数在区间内无零点D.函数在区间内无零点2．若函数在区间上单调递减，则实数满足的条件是A. B.C. D.3．已知向量满足，且，若向量满足，则的取值范围是A. B.C D.4．由直线上的点向圆作切线，则切线长的最小值为（）A.1 B.C. D.35．函数（）的最大值为（）A. B.1C.3 D.46．函数的零点个数为（）A. B.C. D.7．已知函数，，若恰有2个零点，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.8．函数，若恰有3个零点，则a的取值范围是（）A. B.C. D.9．函数取最小值时的值为（）A.6 B.2C. D.10．已知函数，则函数的最小正周期为A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数，若，则实数的取值范围是__________.12．两平行线与的距离是__________13．已知函数（，）的部分图象如图所示，则的值为14．已知，，则的值为_______.15．已知函数（为常数）的一条对称轴为，若，且满足，在区间上是单调函数，则的最小值为__________.16．已知集合A={2，log2m}，B={m，n}(m，n∈R)，且，则A∪B=___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数，.（1）当时，解关于的方程；（2）当时，函数在有零点，求实数的取值范围.18．已知，，，.（1）求的值；（2）求的值.19．已知函数（为常数）是定义在上的奇函数.（1）求函数的解析式；（2）判断函数的单调性，并用定义证明；（3）若函数满足，求实数的取值范围.20．已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且（1）求的解析式；（2）若时，对一切，使得恒成立，求实数的取值范围.21．已知的三个顶点分别为，，.（1）求AB边上的高所在直线的方程；（2）求面积.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】有题意可知，函数唯一的一个零点应在区间内，所以函数在区间内无零点考点：函数的零点个数问题2、A【解析】因为函数在区间上单调递减，所以时，恒成立，即，故选A.3、B【解析】由题意利用两个向量加减法的几何意义，数形结合求得的取值范围.【详解】设，根据作出如下图形，则当时，则点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，且结合图形可得，当点与重合时，取得最大值；当点与重合时，取得最小值所以的取值范围是故当时，的取值范围是故选：B4、B【解析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值【详解】切线长的最小值是当直线上的点与圆心距离最小时取得，圆心到直线的距离为，圆的半径为1，故切线长的最小值为，故选：B【点睛】本题考查圆的切线方程，点到直线的距离，是基础题5、C【解析】对函数进行化简，即可求出最值.【详解】，∴当时，取得最大值为3.故选：C.6、B【解析】当时，令，故，符合；当时，令，故，符合，所以的零点有2个，选B.7、B【解析】利用数形结合的方法，作出函数的图象，简单判断即可.【详解】依题意，函数的图象与直线有两个交点，作出函数图象如下图所示，由图可知，要使函数的图象与直线有两个交点，则，即.故选：B.【点睛】本题考查函数零点问题，掌握三种等价形式：函数零点个数等价于方程根的个数等价于两个函数图象交点个数，属基础题.8、B【解析】画出的图像后，数形结合解决函数零点个数问题.【详解】做出函数图像如下由得，由得故函数有3个零点若恰有3个零点，即函数与直线有三个交点，则a的取值范围，故选：B9、B【解析】变形为，再根据基本不等式可得结果.【详解】因为，所以，所以，当且仅当且，即时等号成立.故选：B【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值时，取等号的条件，属于基础题.10、C【解析】去绝对值符号，写出函数的解析式，再判断函数的周期性【详解】，其中，所以函数的最小正周期，选择C【点睛】本题考查三角函数最小正周期的判断方法，需要对三角函数的解析式整理后，根据函数性质求得二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】先确定函数单调性，再根据单调性化简不等式，最后解一元二次不等式得结果.【详解】在上单调递增，在上单调递增，且在R上单调递增因此由得故答案为：【点睛】本题考查根据函数单调性解不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.12、【解析】直接根据两平行线间的距离公式得到平行线与的距离为：故答案为.13、【解析】先计算周期，则，函数，又图象过点，则，∴由于，则.考点：依据图象求函数的解析式；14、－.【解析】将和分别平方计算可得.【详解】∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴,故答案为：－.【点晴】此题考同脚三角函数基本关系式应用，属于简单题.15、【解析】根据是的对称轴可取得最值，即可求出的值，进而可得的解析式，再结合对称中心的性质即可求解.【详解】因为是的对称轴，所以，化简可得：，即，所以，有，，可得，，因为，且满足，在区间上是单调函数，又因为对称中心，所以，当时，取得最小值.故答案为：.16、【解析】根据条件得到，解出，进而得到.【详解】因为，所以且，所以，解得：，则，，所以.故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】（1）方程变成，令，化简解关于的一元二次方程，从而求出的值.（2）将零点转化为方程有实根，即时有解，令，，得：，从而得出取值范围.【详解】（1），令，则，解得，所以（2），时，设，，，对称轴为，时，，.18、（1）；（2）.【解析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而根据，利用两角差的余弦函数公式即可求解（2）利用二倍角公式可求，的值，进而即可代入求解【详解】（1）因为，所以又因为，所以所以（2）因为，所以所以【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想19、（1）（2）在上单调递减，证明见解析（3）【解析】（1）依题意可得，即可得到方程，解得即可；（2）首先判断函数的单调性，再根据定义法证明，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（3）根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，再解得即可；【小问1详解】解：因为是定义在上的奇函数，所以，即，即，所以，即；解得，所以【小问2详解】解：函数是上的减函数证明：在上任取,，设，因为，所以，则，所以即所以在上单调递减【小问3详解】解：因为是定义在上奇函数所以可化为又在上单调递减，所以解得20、（1）;（2）综上或【解析】（1）利用奇偶性构建方程组，解之即可；（2）恒成立等价于在恒成立（其中），令，讨论二次项系数，利用三个“二次”的关系布列不等式组即可.试题解析：（1）①，，分别是定义在上的奇函数和偶函数，②，由①②可知（2）当时，，令，即，恒成立，在恒成立.令（ⅰ）当时，（舍）；（ⅱ）法一：当时，或或解得.法二：由于，所以或解得.（ⅲ）当时，，解得综上或点睛：研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，然后研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值