福建省平潭县新世纪学校2025届数学高二上期末综合测试模拟试题含解析

福建省平潭县新世纪学校2025届数学高二上期末综合测试模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，过拋物线的焦点的直线与拋物线交于两点，与其准线交于点（点位于之间）且于点且，则等于（）A. B.C. D.2．已知函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.3．直线的一个方向向量为，则它的斜率为（）A. B.C. D.4．在等差数列中，若，则（）A.5 B.6C.7 D.85．如图，在正方体ABCD-EFGH中，P在棱BC上，BP=x，平行于BD的直线l在正方形EFGH内，点E到直线l的距离记为d，记二面角为A-l-P为θ，已知初始状态下x=0，d=0，则（）A.当x增大时，θ先增大后减小 B.当x增大时，θ先减小后增大C.当d增大时，θ先增大后减小 D.当d增大时，θ先减小后增大6．已知数列通项公式，则（）A.6 B.13C.21 D.317．若点在椭圆上，则该椭圆的离心率为（）A. B.C. D.8．已知等比数列中，，，则公比（）A. B.C. D.9．已知函数，则（）A.函数的极大值为，无极小值 B.函数的极小值为，无极大值C.函数的极大值为0，无极小值 D.函数的极小值为0，无极大值10．当圆的圆心到直线的距离最大时，（）A B.C. D.11．我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传.”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止.分配时一定要依照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话.”在这个问题中，第5个孩子分到棉花为（）A.133斤 B.116斤C.99斤 D.65斤12．在区间内随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知圆，圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，则圆的标准方程为________14．设椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线l与C交于A，B两点（点A在x轴上方），且满足，则直线l的斜率为______.15．已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为____________________.16．方程表示双曲线，则实数k的取值范围是___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在等差数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.18．（12分）已知E，F分别是正方体的棱BC和CD的中点（1）求与所成角的大小；（2）求与平面所成角的余弦值19．（12分）已知圆与直线（1）若，直线与圆相交与，求弦长（2）若直线与圆无公共点求的取值范围20．（12分）已知函数.（1）若，求的极值；（2）若有两个零点，求实数a取值范围.21．（12分）已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.22．（10分）已知点，.（1）求以为直径的圆的方程；（2）若直线被圆截得的弦长为，求值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由题可得，然后结合条件可得，即求.【详解】设于点，准线交轴于点G，则，又，∴，又于点且，∴BE∥AD，∴，即，∴，∴等于.故选：B.2、D【解析】由题意转化为，恒成立，参变分离后转化为，求函数的最大值，即可求解.【详解】函数的定义域是，，若函数在定义域内单调递减，即在恒成立，所以，恒成立，即设，，当时，函数取得最大值1，所以.故选：D3、A【解析】根据的方向向量求得斜率.【详解】且是直线的方向向量，.故选：A4、B【解析】由得出.【详解】由可得，故选：B5、C【解析】以F为坐标原点，FB，FG，FE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则P(2,x,0)，A(2,0,2)，设直线l与EF，EH交于点M、N，，求得平面AMN的法向量为，平面PMN的法向量，由空间向量的夹角公式表示出，对于A，B选项，令d=0，则，由函数的单调性可判断；对于C，D，当x=0时，则，令，利用导函数研究函数的单调性可判断.【详解】解：由题意，以F为坐标原点，FB，FG，FE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示,设正方体的棱长为2，则P(2,x,0)，A(2,0,2)，设直线l与EF，EH交于点M、N，则，所以，，设平面AMN的法向量为，则，即，令，则，设平面PMN的法向量为，则，即，令，则，，对于A，B选项，令d=0，则，显示函数在是为减函数，即减小，则增大，故选项A，B错误；对于C，D，对于给定的，如图，过作，垂足为，过作，垂足为，过作，垂足为，当在下方时，，设，则对于给定的，为定值，此时设二面角为，二面角为，则二面角为，且，故，而，故即，当时，为减函数，故为增函数，当时，为增函数，故为减函数，故先增后减，故D错误.当在上方时，，则对于给定的，为定值，则有二面角为，且，因，故为增函数，故为减函数，综上，对于给定的，随的增大而减少，故选：C.6、C【解析】令即得解.【详解】解：令得.故选：C7、C【解析】根据给定条件求出即可计算椭圆的离心率.【详解】因点在椭圆，则，解得，而椭圆长半轴长，所以椭圆离心率.故选：C8、C【解析】利用等比中项的性质可求得的值，再由可求得结果.【详解】由等比中项的性质可得，解得，又，，故选：C.9、A【解析】利用导数来求得的极值.【详解】的定义域为，，在递增；在递减，所以的极大值为，没有极小值.故选：A10、C【解析】求出圆心坐标和直线过定点，当圆心和定点的连线与直线垂直时满足题意，再利用两直线垂直，斜率乘积为-1求解即可.【详解】解：因为圆的圆心为,半径，又因为直线过定点A(-1,1),故当与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，此时有，即，解得.故选：C.11、A【解析】根据等差数列的前n项和公式、等差数列的通项公式进行求解即可.【详解】依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，设该等差数列为，公差为d，前n项和为，第一个孩子所得棉花斤数为，则由题意得，，解得，故选：A12、C【解析】利用几何概型的面积型，确定两数之和小于的区域，进而根据面积比求概率.【详解】由题意知：若两个数分别为，则，如上图示，阴影部分即为，∴两数之和小于的概率.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据题干求得圆的圆心及半径，再利用圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上确定圆的圆心及半径.【详解】圆的标准方程为，所以圆心，半径为由圆心在直线上，可设因为与轴相切，与圆外切，于是圆的半径为，从而，解得因此，圆的标准方程为故答案为：【点睛】判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．两圆相切注意讨论内切外切两种情况.14、【解析】设出直线的方程并与椭圆方程联立，结合根与系数关系以及求得直线的斜率.【详解】椭圆，由于在轴上方且直线的斜率存在，所以直线的斜率不为，设直线的方程为，且，由，消去并化简得，设，，则①，②，由于，所以③，由①②③解得所以直线的方程为，斜率为.故答案为：15、【解析】依题意，设所求的双曲线的方程为.点为该双曲线上的点，.该双曲线的方程为：，即.故本题正确答案是.16、【解析】由题可得，即求.【详解】∵方程表示双曲线，∴，∴.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）根据已知条件求得，由此求得数列的通项公式.（2）令，分和去掉绝对值，根据等差数列的求和公式求得.【小问1详解】设等差数列的公差为，∵，，所以，所以，则.【小问2详解】令，解得，当时，，，当时，.18、（1）60°；（2）.【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出异面直线所成角的余弦值，进而结合异面直线成角的范围即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出求出线面角的正弦值，进而结合线面角的范围即可求出结果；【小问1详解】以AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，，，，所以，，设与EF所成角的大小为，则，因为异面直线成角的范围是，所以与所成角的大小为60°【小问2详解】设平面的法向量为，与平面所成角为，因为，，所以，，所以，令，得为平面的一个法向量，又因为，所以，所以19、（1）；（2）或.【解析】（1）求出圆心到直线的距离，再由垂径定理求弦长；（2）由圆心到直线的距离大于半径列式求解的范围【详解】解：（1）圆，圆心为，半径，圆心到直线的距离为，弦长（2）若直线与圆无公共点，则圆心到直线的距离大于半径解得或20、（1）极小值为，无极大值（2）【解析】(1)利用导数求出，分别令、，进而得到函数的单调区间，即可求出极值；(2)利用导数讨论、0时函数的单调性，进而得出函数的最小值小于0，解不等式即可.【小问1详解】函数的定义域为，时，.令，解得，∵在上，，在上，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴的极小值为，无极大值.【小问2详解】，当时，，∴在上单调递增，此时不可能有2个零点.当0时.令，得，∵在上，，在上，），∴在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为.∵有两个零点，∴，即，∴.经验证，若，则，且，又，∴有两个零点.综上，a的取值范围是.21、x-y-4=0或x-y+1="0."【解析】假设存在，并设出直线方程y＝x＋b，然后代入圆的方程得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理得到根的关系，最后利用OA⊥OB即x1x2＋y1y2＝0，得到参数b的方程求解即可试题解析：设直线l的方程为y＝x＋b①圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0．②联立①②消去y，得2x2＋2（b＋1）x＋b2＋4b－4＝0设A（x1，y1），B（x2，y2），则有③因为以AB为直径的圆经过原点，所以OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0，而y1y2＝（x1＋b）（x2＋b）＝x1x2＋b（x1＋x2）＋b2，所以2x1x2＋b（x1＋x2）＋b2＝0，把③代入：b2＋4b－4－b（b＋1）＋b2＝0，即b2＋3b－4＝0，解得b＝1或b＝－4，故直线l存在，方程是x－y＋1＝0，或x－y－4＝0考点：存在性问题【方法点睛】存在性问题，首先应假设存在，然后去求解．对本题来说具体是：设出直线方程y＝x＋b，然后分析几何性质得到OA⊥OB即得到关于参数b方程求解即可．解该类问题最容易出错的的地方是，忽视对参数范围的考虑，即直线方程与圆的方程联立求解后应得到，即求出的b值必须满足b的范围，否则无解22、(1).(2)或【解析】（1）根据题意