2025届重庆市万州三中高二上数学期末调研试题含解析

2025届重庆市万州三中高二上数学期末调研试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在等差数列中，，且构成等比数列，则公差等于（）A.0 B.3C. D.0或32．已知空间向量，则（）A. B.C. D.3．焦点坐标为的抛物线的标准方程是（）A. B.C. D.4．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数，他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，若：三角形数、、、、，正方形数、、、、等等.如图所示为正五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第4项为（）A. B.C. D.5．已知数列满足，，令，若对于任意不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）A. B.C. D.6．f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）＜0且f（﹣1）＝0则不等式f（x）g（x）＜0的解集为A.（﹣1，0）∪（1，+∞） B.（﹣1，0）∪（0，1）C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D.（﹣∞，﹣1）∪（0，1）7．是数列，，，－17，中的第几项()A第项 B.第项C.第项 D.第项8．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是A. B.C. D.9．已知直线经过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，若满足，则直线的方程为（）A. B.C. D.10．已知直线：恒过点，过点作直线与圆：相交于A，B两点，则的最小值为（）A. B.2C.4 D.11．算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）．如果拨动图1算盘中的两枚算珠，可以表示不同整数的个数为（）A.8 B.10C.15 D.1612．在等差数列中，其前项和为.若，是方程的两个根，那么的值为（）A.44 B.C.66 D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出．如图，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则与的离心率之比为________14．若圆心坐标为圆被直线截得的弦长为，则圆的半径为______.15．以双曲线的右焦点为圆心，为半径的圆与的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率为_________16．若向量，且夹角的余弦值为________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，动点M满足（1）求动点M的轨迹方程；（2）若动点M在双曲线C上，设双曲线C的左支上有两个不同的点P，Q，点，且，直线NQ与双曲线C交于另一点B．证明：动直线PB经过定点18．（12分）已知椭圆F：经过点且离心率为，直线和是分别过椭圆F的左、右焦点的两条动直线，它们与椭圆分别相交于点A、B和C、D，O为坐标原点，直线AB和直线CD相交于M．记直线的斜率分别为，且（1）求椭圆F标准方程（2）是否存在定点P，Q，使得为定值．若存在，请求出P、Q的坐标，若不存在，请说明理由19．（12分）设函数，且存在两个极值点、，其中.（1）求实数的取值范围；（2）若恒成立，求最小值.20．（12分）已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上.（1）求圆的方程；（2）已知直线与圆相交于A、B两点，求所得弦长的值.21．（12分）如图，三棱锥中，，，，，，点是PA的中点，点D是AC的中点，点N在PB上，且.（1）证明：平面CMN；（2）求平面MNC与平面ABC所成角的余弦值.22．（10分）已知数列是公差为2的等差数列，它的前n项和为，且，，成等比数列(1)求的通项公式(2)求数列的前n项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据，且构成等比数列，利用“”求解.【详解】设等差数列的公差为d，因为，且构成等比数列，所以，解得，故选：D2、A【解析】求得，即可得出.【详解】，，，.故选：A.3、D【解析】依次确定选项中各个抛物线的焦点坐标即可.【详解】对于A，的焦点坐标为，A错误；对于B，的焦点坐标为，B错误；对于C，焦点坐标为，C错误；对于D，的焦点坐标为，D正确.故选：D.4、D【解析】根据前三个五边形数可推断出第四个五边形数.【详解】第一个五边形数为，第二个五边形数为，第三个五边形数为，故第四个五边形数为.故选：D.5、D【解析】根据递推关系，利用裂项相消法，累加法求出，可得，原不等式转化为恒成立求解即可.【详解】，，，由累加法可得，又，，符合上式，，，对于任意不等式恒成立，则，解得.故选：D6、A【解析】构造函数h（x）＝f（x）g（x），由已知得当x＜0时，h（x）＜0，所以函数y＝h（x）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得函数y＝h（x）为R上的奇函数，所以函数y＝h（x）在（0，+∞）单调递减，得到f（x）g（x）＜0不等式的解集【详解】设h（x）＝f（x）g（x），因为当x＜0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）＜0，所以当x＜0时，h（x）＜0，所以函数y＝h（x）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以函数y＝h（x）为R上的奇函数，所以函数y＝h（x）在（0，+∞）单调递减，因为f（﹣1）＝0，所以函数y＝h（x）的大致图象如下：所以等式f（x）g（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）故选A【点睛】本题考查导数乘法法则、导数的符号与函数单调性的关系；奇函数的单调性在对称区间上一致，属于中档题7、C【解析】利用等差数列的通项公式即可求解【详解】设数列，，，，是首项为，公差d＝－4的等差数列{}，，令，得故选：C8、D【解析】，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴取值范围是．故选D考点：利用导数研究函数的单调性.9、C【解析】求出抛物线的焦点，设出直线方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和向量坐标表示，解得，即可得出直线的方程.【详解】解：抛物线的焦点，设直线为，则，整理得，则，.由可得，代入上式即可得，所以，整理得：.故选：C.【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，主要考查韦达定理和向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题.10、A【解析】根据将最小值问题转化为d取得最大值问题，然后结合图形可解.【详解】将，变形为，故直线恒过点，圆心，半径，已知点P在圆内，过点作直线与圆相交于A，两点，记圆心到直线的距离为d，则，所以当d取得最大值时，有最小值，结合图形易知，当直线与线段垂直的时候，d取得最大值，即取得最小值，此时，所以.故选：A.11、A【解析】根据给定条件分类探求出拨动两枚算珠的结果计算得解.【详解】拨动图1算盘中的两枚算珠，有两类办法，由于拨动一枚算珠有梁上、梁下之分，则只在一个档拨动两枚算珠共有4种方法，在每一个档各拨动一枚算珠共有4种方法，由分类加法计数原理得共有8种方法，所以表示不同整数的个数为8.故选：A12、D【解析】由，是方程的两个根，利用韦达定理可知与的和，根据等差数列的性质可得与的和等于，即可求出的值，然后再利用等差数列的性质可知等于的11倍，把的值代入即可求出的值.【详解】因为，是方程的两个根，所以，而，所以，则,故选：.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##0.75【解析】根据椭圆和双曲线定义用长半轴长和实半轴长表示出撤掉装置前后的路程，然后由已知可解.【详解】记椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，由椭圆和双曲线的定义有：，得，即，又由椭圆定义知，，因为，所以，即所以.故答案为：14、【解析】利用垂径定理计算即可.【详解】设圆的半径为，则，得.故答案为：.15、【解析】由题意可得，化简整理得到，进而可求出结果.【详解】因为双曲线的一个焦点到其一条渐近线为，所有由题意可得，即，则，所以离心率,故答案为：.16、【解析】根据求解即可.【详解】，故答案为：【点睛】本题主要考查了求空间中两个向量的夹角，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据双曲线的定义求得的值得双曲线方程；（2）确定垂直于轴，设直线BP的方程为，设，，则，直线方程代入双曲线方程，由相交求得范围，由韦达定理，利用N、B、Q三点共线，且NQ斜率存在，由斜率相等得出的关系，代入韦达定理的结论可求得的值，从而得直线BP所过定点【小问1详解】因为，所以，动点M的轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的左支，则，可得，，所以，点M的轨迹方程为；【小问2详解】证明：∵，∴直线PQ垂直于x轴，易知，直线BP的斜率存在且不为0，设直线BP的方程为，设，，则，联立，化简得：，直线与双曲线左支、右支各有一个交点，需满足或，∴，，又，又N、B、Q三点共线，且NQ斜率存在，∴，即，∴，∴，∴，化简得：，∴，∴，即，满足判别式大于0，即直线BP方程为，所以直线BP过定点18、（1）；（2）存在点，使得为定值.【解析】（1）设，，，结合条件即求；（2）由题可设直线方程，利用韦达定理法可得，再结合条件可得点的轨迹方程为，然后利用椭圆的定义即得结论.【小问1详解】设，，，椭圆方程为：，椭圆过点，，解得t=1，所以椭圆F的方程是【小问2详解】由题可得焦点的坐标分别为，当直线AB或CD的斜率不存在时，点M的坐标为或，当直线AB和CD的斜率都存在时，设斜率分别为，点，直线AB为，联立，得则，，同理可得，，因为，所以，化简得由题意，知，所以设点，则，所以，化简得，当直线或的斜率不存在时，点M的坐标为或，也满足此方程所以点在椭圆上，根据椭圆定义可知，存在定点，使得为定值【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用韦达定理法及题设条件求出点M的轨迹方程，再结合椭圆的定义，从而问题得到解决.19、（1）（2）【解析】（1）存在两个极值点，等价于其导函数有两个相异零点；（2）适当构造函数，并注意与关系，转化为函数求最大值问题，即可求得的范围.【小问1详解】（），，函数存在两个极值点、，且，关于的方程，即在内有两个不等实根，令，，即，，实数的取值范围是.【小问2详解】函数在上有两个极值点，由（1）可得，由，得，则，，，，，，，，令，则且，令，，，再设，则，，，即在上是减函数，（1），，在上是增函数，（1），，恒成立，恒成立，，的最小值为.【点睛】关键点点睛：本题考查导函数，函数的单调性，最值，不等式证明，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是将恒成立，转化为恒成立，化简，令，则化为，然后构造函数，利用导数求出其最大值即可，属于较难题20、（1）；（2）.【解析】（1）根据条件可以确定圆心坐标和半径，写出圆的方程；（2）先求圆心到直线的距离，结合勾股定理可求弦长.【详解】(1)由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2.则圆的方程为；(2)圆心（2，0）到l的距离为d，=1，.【点睛】圆的方程求解方法：（1）直接法：确定圆心，求出半径，写出方程；（2）待定系数法：设出圆的方程，可以是标准方程也可以是一般式方程，根据条件列出方程，求解系数即可.21、（1）证明见解析（2）【解析】建立如图所示空间直角坐标系，得到相关点和相关向量的坐标,（1）求出平面的法向量，利用证明即可；（2）由（1）知平面的法向量，再求平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解.【小问1详解】证明：三棱锥中，，，∴分别以，，，，轴建立如图所示空间直角坐标系∵，，点M是PA的中点，点D是AC的中点，点N在PB上且