高考数学专项复习：平面解析几何（解答题）（原卷版）

五年(2019-2023)年高考真题分项汇编

冷题08年面斛折几何(斛答题)

高存•送瓶分衍

平面解析几何在高考中考查比例较大，一般是1+1+1模式或者是2+1+1模式。在选题中，解析几何解答题

中难度一般较大，计算量比较大.主要知识点是

考点01椭圆及其性质

考点02双曲线及其性质

考点03抛物线及其性质

考点04解析几何定点定值问题

考点05解析几何综合性问题

备存真魅精折

考点01椭圆及其性质

22

1.(2020年新高考全国卷n数学(海南)•第21题)已知椭圆C：j+[=l(a>6>0)过点M(2,3),点A

ab

为其左顶点，且AM的斜率为工，

2

(1)求C的方程；

(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.

2.(2020江苏高考•第18题)在平面直角坐标系xOy中，己知椭圆E:—+^=1的左、右焦点分别为耳月，

43

点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2±FtF2,直线AF]与椭圆E相交于另一点8.

1

(1)求AA£8的周长；

(2)在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点。，求OPQP的最小值；

⑶设点,在椭圆E上，记AOAB与AM4B的面积分别为SpS2,若S?=3R,求点•的坐标.

尢2丫2J]'

3.(2020年高考课标m卷理科•第20题)已知椭圆C:—+^=1(0<»/<5)的离心率为,卜,8分别为

25m~4

C的左、右顶点.

(1)求C的方程；

(2)若点P在c上，点。在直线％=6上，且I3PHBQI,BPVBQ,求APQ的面积.

2

5.(2023年北京卷•第19题)已知椭圆从二+W-l(a>6>0)离心率为也，A、C分别是E的上、

。b23

下顶点，B,O分别是E的左、右顶点，|AC|=4.

(1)求E的方程；

(2)设p为第一象限内E上的动点，直线产。与直线交于点直线2与直线y=-2交于点

N.求证：MN//CD.

22

6.(2023年天津卷•第18题)设椭圆2+方=1(。>3>0)的左右顶点分别为4，4,右焦点为八已知

|4F|=3,|4F|=1.

(1)求椭圆方程及其离心率；

(2)已知点尸是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线4P交、轴于点。，若三角形AP2的面积是三角

形人/P面积的二倍，求直线&尸的方程.

22

7.(2022高考北京卷•第19题)已知椭圆：E:j+==l(a>b>0)的一个顶点为4(0,1),焦距为2G.

ab'

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点尸(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆£交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与X轴交于点M,

N,当|MN|=2时，求k的值.

3

2

8.(2022年浙江省高考数学试题•第21题)如图，已知椭圆r二+y2=i.设A,B是椭圆上异于P(0,l)的两

12

(n1

点，且点。0,-在线段上，直线PAPB分别交直线y=—^x+3于C,。两点.

\2

(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值;

⑵求IC0的最小值.

9.(2021高考北京•第20题)已知椭圆E:「+「=1(.>6>0)一个顶点A(0,-2),以椭圆£的四个顶

ab

点为顶点的四边形面积为4、后.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点P(0,-3)的直线/斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与直线交

y=-3交于点M,N,当|PM|+|PN|W15时,求k的取值范围.

4

22

10.(2020天津高考・第18题)己知椭圆二+当=1(.>6>0)的一个顶点为4(0,-3),右焦点为尸，且

ab

\OA\^\OF\,其中。为原点.

(I)求椭圆方程；

(II)已知点。满足30c=。尸，点8在椭圆上(5异于椭圆的顶点)，直线AB与以。为圆心的圆相切于

点、P,且尸为线段A8的中点.求直线A8的方程.

22

11.(2019•上海•第20题)已知椭圆二+匕=1,R,F,为左、右焦点，直线/过K交椭圆于儿B两点.

84■

(1)若AB垂直于x轴时，求|A@；

(2)当/耳A8=90时，A在x轴上方时，求的坐标；

(3)若直线A耳交y轴于M,直线3百交y轴于N,是否存在直线/,使Sa6AB=SaF幽N，若存在，求

出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

考点02双曲线及其性质

1.(2023年新课标全国II卷第21题)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为卜26,0),离心率为小.

(I)求C的方程；

(2)记C左、右顶点分别为4，4,过点(—4,0)的直线与C的左支交于/W,N两点，M在第二象限,

直线MA］与N4交于点p.证明:点尸在定直线上.

22

2.(2022新高考全国II卷•第21题)已知双曲线C：j-马=1(。>0力>0)的右焦点为尸(2,0),渐近线方程

ab

5

为y=±y/3x-

(1)求c的方程；

(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点，点P(西,在C上，

且.玉>马>0,%>0.过P且斜率为-8的直线与过Q且斜率为6的直线交于点从下面①②

③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：

①M在A8上；②尸。〃A3；③|M4|=|MS|.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

3.(2021年新高考I卷•第21题)在平面直角坐标系xOy中，已知点片万,0)、外(屈,0)帆制-|峥|=2,

点W的轨迹为C.

(1)求。的方程；

⑵设点T在直线x=g上，过T两条直线分别交。于A、8两点和P,。两点，且四・|用=回卜|照，

求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

22

4.(2022新高考全国I卷•第21题)已知点A(2,l)在双曲线C：j——J=l(q>l)上，直线/交C于P,Q

a1a2-l

两点，直线ARAQ的斜率之和为0.

(1)求/斜率；

(2)若tan/PAQ=2C，求△%Q的面积.

考点03抛物线及其性质

6

1.(2023年全国甲卷理科•第20题)已知直线x-2y+l=0与抛物线C:丁=2px(p>0)交于A,B两点,且

|AB\=4V15.

⑴求。；

(2)设F为C的焦点，M,N为C上两点，FMFN=0,求△MF7V面积的最小值.

2.(2021年高考浙江卷•第21题)如图，已知F是抛物线『=2px(p>0)的焦点，M是抛物线的准线与x轴

的交点，且|上诉|=2,

(1)求抛物线的方程；

(2)设过点F的直线交抛物线与48两点,斜率为2的直线/与直线AB,x轴依次交于点P,Q,

R,N,且=|尸,求直线/在x轴上截距的范围.

3.(2021年高考全国乙卷理科•第21题)已知抛物线C：炉=2处(0>0)的焦点为尸，且尸与圆

M:X2+(J+4)2=1上点的距离的最小值为4.

7

⑴求。；

⑵若点^在加上，PAPB是C的两条切线，A,5是切点，求面积的最大值.

4.(2021年高考全国甲卷理科•第20题)抛物线C的顶点为坐标原点。.焦点在X轴上，直线/：X=1交C

于P,Q两点，且OPLOQ.已知点“(2,0),且，："与/相切.

(1)求C,〃的方程；

⑵设是c上的三个点，直线A4，44均与“相切.判断直线44与f/的位置关

系，并说明理由.

5.(2020年浙江省高考数学试卷•第21题)如图，已知椭圆G：［+y2=1,抛物线Q：y2=2px(p>0),

点A是椭圆C］与抛物线。2的交点，过点A的直线/交椭圆于点B,交抛物线。2于M(B,M不同于A).

(1)若夕=工，求抛物线C,的焦点坐标；

16

(II)若存在不过原点的直线I使M为线段A8的中点，求p的最大值.

8

6.(2022年高考全国甲卷数学(理)•第20题)设抛物线C:y2=2a(p>0)焦点为F,点D(P，。)，过F的直

线交C于M,N两点.当直线垂直于x轴时，|"|=3.

(1)求C的方程；

(2)设直线与C另一个交点分别为A,B,记直线的倾斜角分别为a,夕.当a-4取得

最大值时，求直线AB的方程.

7.(2019•浙江•第21题)如图，已知点F(l,0)为抛物线尸=2px(p>0)的焦点.过点F的直线交抛物线于A,

5两点，点。在抛物线上，使得"BC的重心G在X轴上，直线AU交X轴于。点，且。在点尸的右

侧，记"FG，的面积分别为S2.

(I)求〃的值及抛物线的准线方程；

S,

(II)求U的最小值及此时点G的坐标.

尤2

8.(2019•全国III•理•第21题)已知曲线C：产土，。为直线产1-一上的动点，过。作C的两条切线,

22

切点分别为A，B.

(1)证明：直线A2过定点：

5

⑵若以E(0,5)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.

9.(2019•全国I•理•第19题)已知抛物线C：y=3x的焦点为F,斜率为2的直线/与C的交点为A,B,

2

与x轴的交点为尸.

⑴若|AF|+忸>=4,求/的方程;

9

（2）若A户=3PB,求

10.（2019•北京•理•第18题）已知抛物线C：N=-2py经过点（2,-1）.

（I）求抛物线C的方程及其准线方程；

（II）设。为原点，过抛物线c的焦点作斜率不为。的直线/交抛物线C于两点M,N,直线y=T分别

交直线OM,ON于点A和点8.求证：以为直径的圆经过y轴上的两个定点.

考点04圆锥曲线的定点定值问题

22

1.（2021年新高考全国II卷•第20题）已知椭圆C的方程为二+二=1（°>6>0）,右焦点为『（拒,0）,且离

ab

心率为，.

3

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M,/V是椭圆C上的两点，直线与曲线V+）2=}2（1>0）相切.证明：M,N,F三点共线的

充要条件是|MN|=".

丫2

2.（2020年高考课标I卷理科•第20题）已知4B分别为椭圆E：±-+/=1（0>1）左、右顶点，G为E

a

的上顶点，AG.G6=8，P为直线x=6上的动点，力与E的另一交点为C,P8与E的另一交点为D.

⑴求E方程;

10

（2）证明：直线C。过定点.

„22、万

3.（2020年新高考全国I卷（山东）•第22题）已知椭圆C：三+方=1（4>6>0）的离心率为三，且过点

A（2,1）.

（1）求C的方程：

（2）点M,N在C上，且A/WLAN,AD±MN,。为垂足.证明：存在定点Q,使得|DQ|为定值.

4.（2022年高考全国乙卷数学（理）•第20题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过

A（0,-2）,B—,_1j两点.

（1）求E的方程;

⑵设过点P（l,-2）的直线交E于/W,N两点，过M且平行于X轴的直线与线段AB交于点7，点H满

足MT=TH•证明：直线"N过定点.

考点05解析几何综合类问题

1.（2023年新课标全国I卷•第22题）在直角坐标系X0Y中，点P到了轴的距离等于点P到点„的距离,

记动点P的轨迹为W.

（1）求W的方程；

（2）已知矩形ABC。有三个顶点在W上，证明：矩形ABC。的周长大于3m.

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2.（2023年全国乙卷理科•第20题）已知椭圆C：4+「=l（a>6>。）的离心率是，，点A（—2,0）在C

上.

（1）求C方程；

（2）过点（—2,3）的直线交。于P,Q两点，直线与、轴的交点分别为证明：线段2WN

的中点为定点.

3.（2020年高考课标II卷理科•第19题）已知椭圆Ci：江+二=1(a>£»0)右焦点F与抛物线Ci的焦点

a1b2

重合，G的中心与C2的顶点重合.过F且与X轴垂直的直线交Q于A,B两点，交C2于C,。两点,

）4

且|CO|=1\AB\.

（1）求Q的离心率；

⑵设M是Q与C2的公共点，若|/WF|=5,求Ci与C2的标准方程.