新高考数学一轮复习之几何专项讲义：仿射变换

第28讲仿射变换

一、问题综述

X

22X

设椭圆C:\+A=l(a>b>0),作变换夕:<a得单位圆C:/+y，2=i,记点A5,%）,3（无2,%）在变

ab

b

换尹下的对应点分别为4（汇,乂）,3（男,弘），设直线AB和A3'的斜率分别为左水'（斜率存在且非零），AAOB和

AA'O®的面积分别为S,S'.

则变换9有以下性质:

性质1：共线结合性，即AB=XACo43'=2AC'；汽//o/；///；AeCoAeC.

性质2：=-kf^-=-.

kak'a

%f=仇%-乂)b，

证明：k==k

a

x2-x1a(%2~X)

性质3：线段回中点E变成线段AB'中点£.

性质4：直线与曲线的位置关系保持不变.

性质5：直线AB上线段成比例，则变成直线AB,上对应的线段仍成比例.

q

性质6：S=abS或一=ab,

S'

证明：因为S=3忖为一12%|=="S',即证之.

性质7：设线段钻在伸缩变换夕下的像为显然在伸缩变换下线段的长度关系不具有确定的关系，但是

我们可以利用斜率的不变关系（性质2）寻找|ABMA'B1的关系:

\AB\yjlk2\x-X\gyjl+k2aQl+%?

即设线段AB所在直线斜率为3则+AB

A，B

\'\伊+1?K-4|JI+的2l+（即

二、典例分析

类型1：取值范围型

22

【例1】设直线y=1和椭圆二十二=1有且仅有一个公共点，求人和机的取值范围.

4m

X

X

2

解析：令,则已知椭圆和直线变为相应的圆。'：/+；/2=1和直线24_J£y，-l=0,

y'=-

m

要使已知的直线与椭圆有且仅有一个公共点，只要相应的直线与圆相切.

由直线和圆相切的充要条件可知卜！.=1,即加=1-4廿,

yj(2k)2+m

故得Od,

即0<1-4左241,

22

【方法小结】转化到直线与圆相切，建立参数关系式，利用二次函数最值求解.

类型2：三角形面积最值型

22

【例2】若A,氏C是椭圆++==l(a>b>0)上的三点，求AABC面积的最大值.

ab

,_x

22X—一

解析：对椭圆J+%=l(a>b>0)做伸缩变换“，椭圆就变成圆x'2+y'2=l.

此时椭圆的内接AABC就变成圆的内接^A'B'C,

而圆的内接三角形以内接正三角形面积最大，

从而S.B,c，的最大值是苧，

还原到椭圆中，由伸缩变换对应多边形面积比的不变性可知，

%BC的最大值是孚必.

22

【例3】已知椭圆3+2=1(°>8>0),面积为2H的椭圆内接四边形有().

ab

A.1个B.2个C.3个D.4个

22X――

解析：对椭圆1+当=l(a>b>o)做伸缩变换“，椭圆就变成圆/+y2=i,

ab,y

此时相应的椭圆内接四边形就变成圆的内接四边形，

当椭圆的内接四边形的面积2必时，

其对应的圆内接四边形的面积就是ZHX-LUZ,

ab

由平面几何知识知圆的内接正方形的面积为2,

而这样的内接正方形有无数个,

还原到椭圆可知对应的椭圆内接四边形也有无数个,

故选D.

【例4】(2014年高考全国新课标1卷理第20题)已知点A(0,-2),椭圆E：二+斗=l(a>b>0)的离心率为

ab

B,P是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为矩，O为坐标原点.

23

(1)求后的方程；

(II)设过点A的直线/与E相交于P,Q两点，当AO尸。的面积最大时，求/的方程.

丫2

解析：(I)椭圆E的方程为L+丁印.

4

2

(II)由伸缩变换9：广一5,椭圆二+y2=i(如下图)变成了单位圆x，2+y，2=l,

,4■

[y=y

A(0,-2)变为A(O,-2),设直线P'Q'的方程为y'^kx'-2.

9

原点O'到直线P'Q'的距离为d=,

圆与直线相交，则需要满足d<i,

从而易得左2>3,

O'P'Q'=5俨。1"

=12产—32

2&2-3

k2+\

_2

<2_j_

-4-2

当且仅当_3=.r,即％=±V7时，（SO'P'Q'）=—，

而Q\Q/max2

此时直线I的斜率为±线=土业，

a2

=abS

且(S。尸。)max()1mx=2(S"O)1mx=1•

又直线/过点A(0,-2),

所以直线/的方程为y=与x-2或y=-?x-2.

【方法小结】对于求三角形面积和直线方程问题，可以用性质2和6求解.

类型3：四边形面积型

【例51(2013年高考全国新课标2卷理科第20题)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：三4=l(a>6>0)右

a

焦点的直线x+y-6=0交M于两点，尸为他的中点，且OP的斜率为工.

2

(I)求M的方程；

(II)C,。为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDLAB,求四边形的最大值.

，x

X=—

解析：在伸缩变换":“下，椭圆(如下图)变成圆，

(I)由伸缩变换性质知七B，=4%=--,k(yp.=-kop=—,

bbb2b

又在椭圆中尸为AB的中点，则在单位圆中P'为HE的中点，

2

则O'P'l.AB',故kA,B，ko，P，=一a=-1,

即a2=2b2,

又因为直线x+y-退=0过椭圆的右焦点,

则c=A/3，于是a=A/6,b=A/3,

22

则椭圆M的方程为卜

(II)由CD_LAB知％8=1，则在单位圆中,

,_A/6,

•叵kep.==叵•

KA'B'=~^KAB

72-(-V2)

设AB'与C'D'间的夹角为a,贝hang==2应,

1+V2-J-72)

则sU半

又直线互变换为直线AZ',其方程为应x'+y'-1=0,

则O'到直线AB'的距离d===立，

y/33

则|4用=241一/=半

又S.CD=JAB［依必sina=^\CD'\<苧，

当C'D'为圆的直径时取等号，

由伸缩变换的性质知，

SABCD=abS^B,c'D'=^^^A'B'C'D'-j"

【方法小结】对于四边形面积问题，在单位圆中利用三角函数的有界性和性质6求解.

类型4：距离型

22

【例6】在椭圆亍+1=1上求一点，使它到直线/:3x-2y-16=0的距离最短，并求此距离.

［,x

X=一

解析：作仿射变换2，则己知椭圆和直线/变为相应的圆x'2+y'2=l和直线r：6x'-2夕｝/-16=（）,

从而所求问题变为：在圆/+y，2=1上求一点到直线I'：6X'-277/-16=0的距离的最短问题,

由平面几何知识可知,

过圆尤〃+/2=］的圆心。仅⑼作直线/,的垂线段，交圆于点p（x，,y）,

点P到垂足的距离最短，由直线I'的垂线OP':y=~—x'和圆x'2+y,2=l相交,

3,

解方程可求得点尸'为字）

则相应椭圆所求的点尸为g,-,

37

3x-+2x——16厂

所求最短距离为一,4_=生竺.

13

【方法小结】距离最短，转化为单位圆中的垂线段最短，联立方程后得到点的坐标，用点到直线的距离求解即

可.

类型5：证明型

22

【例7】如图，椭圆C：j+斗=1(。>6>0)(其中)与过点4(2,0),2(0,1)的直线有只且只有1个公共点T,且

ab

椭圆的离心率e=皿.

2

(I)求椭圆的方程；

(II)设耳外分别为椭圆的焦点，”为线段人的的中点，求证:

ZATM=ZAFJ.

解析:

(I)如下图

,因为切线AB的方程为四+y=l,

2"

所以切线A'B'的方程为微才+by'=l,

由点O'到切线A'B'距离d==1,

得/+4b2=4,又e='=,解得a?=2,=L

a22

从而椭圆方程为1+2/=1.

（II）由点A（2,0）,B（0,l）可变换得A（夜,0）,?（0,⑹,

因为O'A=O'B',07'_LA'B',

所以|A7[=；]A8[.

由性质2可知卜[=曰4同=与，

在椭圆中易得1AMi=1-亭回=2+半,

从而|AT『=|A制4⑷，即|AT|_\AM\

XZTAF{=ZMAT,从而,刀地MAT,ZATM=ZAFJ.

【方法小结】用坐标伸缩变换将椭圆问题化作圆处理，解答过程完全退去了代数运算的成分，而是通过图形的

几何性质进行解答，化繁为简，事半功倍

类型6：相切轨迹型

22

【例8】（2014年广东省数学高考理科试题第20题）已知椭圆C:会+%=1（。>6>0）的一个焦点为（返,0）

离心率为冬

（I）求椭圆C的标准方程;

（II）若动点尸（与,为）为椭圆C外一点，且点尸到椭圆的两条切线互相垂直，求点P的轨迹方程.

解析：

(II)如图,

X

xr

3下的像分别为A,尸',？，可知尸’（包，区

设点API在伸缩变换，

f2132.

y

2

从而

339

kpA'kpB，=2kpA~kpB=~~f

直线P'A,P3与圆。相切，设过点P的圆的切线方程为=-蓑

即6kx—6y+3%—2kx0=0,

从而圆心O'到切线的距离为也二2"。1=i,即

严+36

（4%：—36）左之一12.为左+9y：—36=0,

根据韦达定理知,

9

32第I4

化简得君+M=13,

故点的轨迹方程为一+尸=13.

【方法小结】在单位圆中得到切线方程，用点到直线的距离建立二次方程，用韦达定理得到

kpwkpB，="厂兆=--，即可求得轨迹方程为x2+y2=13.

4君-364

类型7：定值型

【例9】(2011年重庆卷理科第20题)如题(20)图，椭圆的中心为原点O,离心率e=也，一条准线的方

2

程为x=2^/2.

(I)求该椭圆的标准方程；

(II)设动点P满足：OP=OM+2ON,其中是椭圆上的点，直线与ON的斜率之积为-)，问：是

2

否存在两个定点大，外，使得陀周+|尸即为定值？若存在，求耳，外的坐标；若不存在，说明理由.

解析:

22

(I)所求椭圆的方程为匕+匕=1

42

X

x'

(II)在伸缩变换＜的作用下(如下图)

y_一方y

^OM^-ON~］变为卜皿,，k(yN'=-1，

点、M,N,P变为点、M；N；P.

在圆中，由电以#O，M=T，知O'A/UON,

设尸'(x',yM'(cosa,sincr),N'[cos[a+耳J,sin[a+—Jj,

即N'(—sinacosi),因为O'P=O'M'+2O'N',

“…=cosa-2sina

所以.q,

[y=sina+2cosa

两式平方相加，得铲+y"=5,

即点P'的轨迹为圆x'2+y，2=5,

由伸缩变换知，

22

在椭圆中，点P的轨迹为椭圆二+匕=1,

2010

所以存在两个定点由-师,0),鸟(质,0),使得|尸局+|尸周=4如.

【方法小结】利用单位圆的参数方程得到点P'的轨迹为圆/+y'2=5,通过伸缩变换得到点P的轨迹为椭圆

22

L+匕=1,所以存在两个定点片卜加,。),外使得|P局+|尸周=46.

三、巩固练习

22

1.(2014年浙江省数学高考理科试题第21题)如图，设椭圆C:三+当=1(。>6>0),动直线/与椭圆C只有

ab

一个公共点尸，且点P在第一象限.

(I)已知直线/的斜率为左，用4力,左表示点尸的坐标;

(II)若过原点O的直线4与/垂直，证明：点尸到直线/]距离的最大值为a-火

(第21题图)

22

2、(2011年江苏卷理科第18题)如图，在平面直角坐标系X0y中，分别是椭圆,+'=1的顶点，过坐

标原点的直线交椭圆于P,A两点，其中尸在第一象限，过尸作x轴的垂线，垂足为C,连接AC,并延长

交椭圆于点8,设直线上4的斜率为入

(I)当直线丛平分线段跖V时，求上的值；

(II)当上=2时，求点尸到直线AB的距离d；

(III)对任意左>0,求证：PAA.PB.

3.(2013年山东高考理文科第22题)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，

短轴长是2,离心率为在.

2

(1)求椭圆。的方程；

(IDA,3是椭圆C上满足三角形AO3的面积为好的任意两点，E为线段4?的中点，射线OE交椭圆C于

4

点、P.设OP=tOE,求实数f的值.

参考答案：

1.第1小题的伸缩变换解法如下：

X

X-22

解析：(