2025年高考数学一轮复习之常用逻辑用语

2025年高考数学一轮复习之常用逻辑用语

选择题（共10小题）

1.已知。>0,b>0,则“a+6>l”是“由?〉9（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.命题“级曰-2,1],/-x-a>0”为假命题的一个充分不必要条件是（）

A.a<--TB.aWOC.D.a28

,a

3.已知p：-3<A<0,q：不等式2k/+依与VO的解集为R,则p是勺的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.已知尤>0,y>0,贝lj“x+y》l”是“7+，21"的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

———>T

5.已知向量a=（3,%）,b=（2x,6）,则“x=3”是ua||b"的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.aa+b<-2,且浦>1”是“a<-1,且。<-1”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

7.已知直线相，”平面a,0,7〃ua,”ua,则比〃0且〃〃0"是"a〃B"的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

8.已知数列｛丽｝为无穷项等比数列，S为其前〃项的和，且S2>0”是“V〃eN*,总有8>0"

的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不必要又不充分条件

9.设x,yGR,贝I"x<l且y<l”是“x+y<2"的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

10.己知a,bER,则“|°-例<1”是u\a\+\b\<\"的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

二.填空题（共5小题）

11.若“3毛（0,+8）,使/-"+4<0”是假命题，则实数。的取值范围为.

12.命题“VxCR,/>1”的否定是.

13.己知命题p：VxGR,2%>1,则）2是.

14.已知命题p：BxER,婷+2枢r+3W0,请写出一个满足“p为假命题”的整数能的值：.

111

15.已知XI,X2,…，X2023均为正数，并且---+-----+…+-------=1,给出下列四个结论：

1+巧1+%21+^2023

①XI,x2,…，X2023中小于1的数最多只有一个;

②XI,XI,•••,X2023中小于2的数最多只有两个；

③XI,X2,…，X2023中最大的数不小于2022;

、，1

④XI,X2,•••,X2023中最小的数不小于----.

2023

其中所有正确结论的序号为.

三.解答题(共5小题)

16.已知集合A={x|4x-x2-3>0},集合B=[x\2m<x<l-m}.

(1)若Ane=。，求实数机的取值范围；

(2)命题p：xEA,命题q：xEB,若p是q成立的充分不必要条件，求实数机的取值范围.

17.命题p：任意%2-2必-3加>0成立；命题夕：存在xER,%2+4/nx+lV0成立.

(1)若命题q为假命题，求实数机的取值范围；

(2)若命题p和q有且只有一个为真命题，求实数机的取值范围.

18.已知命题p：函数/(%)=1ogiG+1)在[-2,-1]上单调递增；命题q：函数g(%)=-J/++在

2x$

[3,+8)上单调递减.

(1)若乡是真命题，求实数，的取值范围；

(2)若p,q中有一个为真命题.一个为假命题，求实数〃的取值范围.

19.已知集合与={%|(x-a)(x+〃+l)WO},8={x|xW3或x26}.

(1)当〃=4时，求AG&

(2)当〃>0时，若“XE4”是<(xEBv的充分条件，求实数〃的取值范围.

丫2_y_«VQ

20.设命题p：实数x满足一|xl|>-

｛+3

(1)若4=1,且P且4为真，求实数X的取值范围;

(2)非p是非q的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

2025年高考数学一轮复习之常用逻辑用语

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.已知a>0,b>0,贝|J是“a。>；”（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】充分条件与必要条件.

【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；不等式；数学运算.

【答案】B

【分析】根据题意，利用不等式的性质与基本不等式，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的

答案.

【解答】解：当。=0.01,5=1时，满足但ab=0.1V、所以充分性不成立；

当时，由。>0且6>0,可得a+b22A/^K>21=1,即必要性成立.

综上所述，（（a^b>r是“ab*”的必要不充分条件.

故选：B.

【点评】本题主要考查基本不等式的应用、充要条件的定义与判断等知识，考查了逻辑推理能力，属于

基础题.

2.命题“八4-2,1],7-x-a>0”为假命题的一个充分不必要条件是（）

A.a<--TB.aWOC.D.a28

【考点】存在量词命题真假的应用.

【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学抽象.

【答案】D

【分析】结合含有量词的命题的真假关系先求出。的范围，然后结合充分必要条件检验选项即可判断.

【解答】解：若命题"3xG[-2,1],7-x-a>0”为假命题，

贝！JVx€[-2,1],/-x-aWO为真命题，

即a2/一无对-2,1]恒成立,

根据二次函数的性质可知，当冗=-2时，--X取得最大值6,

故〃26.

结合选项可知，则命题“不4-2,1],为假命题的一个充分不必要条件是a28.

故选：D.

【点评】本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应用，属于基础题.

3.已知p：-3<^<0,q：不等式2k/+日一卷V0的解集为R,则p是4的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】充分条件与必要条件；一元二次不等式及其应用.

【专题】对应思想；定义法；简易逻辑；数学运算.

【答案】A

【分析】首先计算出不等式2k/+kx-lVO的解集为R时左的取值范围，再根据范围大小即可得出结

论.

【解答】解：若不等式2k/+日—看<0的解集为R,当左=0时，Y<0符合题意；

OO

当20时，需满足上<0且4=k2—4x2kx（—/=k2+3kV0,解得-3<左<0,

综合可得-3<kW0,而p：-3<k<Q,所以p能推出q,q不能推出p,

即P是q的充分不必要条件.

故选：A.

【点评】本题考查充分条件与必要条件的定义，属于基础题.

4.已知x>0,y>0,则“x+y》l”是“一+9》1”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】充分条件与必要条件.

【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学抽象.

【答案】B

【分析】由已知结合不等式性质检验充分及必要条件即可判断.

【解答】解：当尤=y=|时，满足x+y2l,但不成立，即充分性不成立，

当/+/21时，x+y=+y2+2%y>J%2+y2即必要性成立，

所以x>0,y>0,贝广是的必要不充分条件.

故选：B.

【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题.

TTTT

5.已知向量a=(3,x),b=(2x,6),则“x=3”是“a||b”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】充分条件与必要条件.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；简易逻辑；数学运算.

【答案】A

->T

【分析】根据题意，由向量平行的的坐标表示方法可得“％=3”与“QIIb”的关系，即可得答案.

【解答】解：根据题意，向量a=(3,%),b=(2%,6),

TTT—

当x=3时，a=(3,3),b=(6,6),必有a〃力，

反之，若则有2%2=18,解可得x=±3,

->T

故“x=3”是“aII的充分不必要条件；

故选：A.

【点评】本题考查向量平行的坐标表示，涉及充分必要条件的判断，属于基础题.

6.aa+b<-2,且ab>1"是"a<-1,且b<-I”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】充分条件与必要条件.

【专题】转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算.

【答案】B

【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解.

【解答】解：若“<-1,且-1,根据不等式的加法和乘法法则可得-2,且油>1,即必要

性成立；

11

当a=—3,b=~~2,满足a+6<-2,且ab>l,但是6=—故充分性不成立，

所以ua+b<-2,且他>1”是aa<-1,且-1”的必要不充分条件.

故选：B.

【点评】本题考查了不等式的加法和乘法法则，充分条件和必要条件的定义，是基础题.

7.已知直线优，w平面a,0,"zua,wua,则机〃0且〃〃0"是"a〃0"的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】充分条件与必要条件；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行；平面与平面平行.

【专题】对应思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理.

【答案】B

【分析】根据充分条件和必要条件的定义和面面平行的判断与性质求解即可.

【解答】解：根据7〃ua,/ua,〃2rl〃=P,m//P，n//P=>a//p,

可知“〃2〃0且〃〃0"推不出"a〃0",

但“a〃印'可以推得“加〃0且“〃0”，

所以“机〃0且〃〃0”是“a〃B”的必要不充分条件.

故选：B.

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断和面面平行的判断与性质，属于基础题.

8.已知数列｛即｝为无穷项等比数列,S”为其前〃项的和，“Si>0,且S2>0”是“MEN*,总有S>0”

的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不必要又不充分条件

【考点】充分条件与必要条件；等比数列的性质.

【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算.

【答案】C

【分析】根据已知条件，推得。1>0,m+aiq>。，再对q分类讨论，即可判断充分性；结合等比

数列的前〃项和公式，即可判断必要性.

【解答】解：若Si>0,且S2>0,

则ai>0,ai+mq>0,q¥0,故q>-l,

当-l<q<0或0<q<l时，l-g>0,1-^>0,则SA0,

当4=1时，"Vw€N*,总有际>0"，

当g>l时，l-q<0,1-qn<0,即品>0,

综上所述，5>0恒成立，故充分性成立，

“V”CN*,总有S”>0”，

则Si>0,且S2>o,故必要性成立，

综上所述，“Si>0，且52>0”是“VweN*,总有SQ0”的充分必要条件.

故选：C.

【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题.

9.设x,yeR,则“x<l且y<l”是“x+y<2”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】充分条件与必要条件.

【专题】计算题；对应思想；定义法；简易逻辑；数学运算.

【答案】A

【分析】利用不等式的性质，充要条件的定义判定即可.

【解答】解：①当x<l且y<l时，则x+y<2成立，...充分性成立，

②当x=0,y=1.5时，满足x+y<2,但不满足1且y<l,...必要性不成立，

：.x<lS.y<l^x+y<2的充分不必要条件，

故选：A.

【点评】本题考查了不等式的性质，充要条件的判定，属于基础题.

10.已知a,b&R,则u\a-b\<r是u\a\+\b\<r的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】充分条件与必要条件.

【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学运算.

【答案】B

【分析】由充分必要条件结合|。-例W|a|+|臼判断即可.

【解答】解：由--W|a|+回,

则-6|VI”不能推出a\a\+\b\<r,a\a\+\b\<r,能够推出a\a-b\<r,

即“|°-例<1”是u\a\+\b\<r的必要不充分条件，

故选：B.

【点评】本题考查了充分必要条件，属基础题.

二.填空题(共5小题)

11.若Txe(0,+8),使/-办+4<0”是假命题，则实数a的取值范围为(-8,4].

【考点】命题的真假判断与应用；存在量词命题的否定.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；简易逻辑；逻辑推理.

【答案】(-8,4].

【分析】根据题意，若"3XG(0,+8),使依+4<0”是假命题，则其否定“vxe(0,+8),都有

x?-ax+420”是真命题，则有/-依+420在(0,+°°)上恒成立，由此分析可得答案.

【解答】解：根据题意，若"ire(0,+8),使/-依+4<0”是假命题，

则其否定“VxC(0,+°°),都有/-ax+420"是真命题，

即7-依+420在(0,+8)上恒成立，

变形可得aW?=x+$

又由x+g22jxxg=4,当且仅当x=2时等号成立，

若公X：4=尤+，在(0,+OO)上恒成立，

必有°W4,即°的取值范围为（-8,4].

故答案为：（-8,4].

【点评】本题考查命题真假的判断，涉及命题的否定方法，属于基础题.

12.命题“VxeR,/>1”的否定是mxCR,.

【考点】全称量词命题的否定；全称量词和全称量词命题.

【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算.

【答案】3xGR,fWl.

【分析】任意改存在，将结论取反，即可求解.

【解答】解：命题"VxeR./>1"的否定是“七WR,/W1

故答案为：BxGR,7Wl.

【点评】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题.

13.已知命题p：VxeR,2X>1,则r。是mxoeR,2-°W1.

【考点】全称量词命题的否定；全称量词和全称量词命题.

【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算.

【答案】3X06R,2X»<1.

【分析】根据已知条件，结合命题否定的定义，即可求解.

【解答】解:命题p：VxeR,2X>1,

则rp是：SxoeR,2X0<1.

故答案为：BxoER,2X0<1.

【点评】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题.

14.已知命题p：3x£R,/+2;加+3W0,请写出一个满足“p为假命题”的整数的值：-1（答案不唯

一）.

【考点】存在量词命题真假的应用.

【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算.

【答案】-1（答案不唯一）.

【分析】根据已知条件，结合判别式法，即可求解.

【解答】解：由命题p：B.rGR,/+2MZX+3W0为假命题，得A=4川-4X3<0,解得—

所以整数机的值可为-1,0,1（答案不唯一）.

故答案为：-1（答案不唯一）.

【点评】本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题.

111

15.已知XI,X2,…，X2023均为正数，并且----+-----+…+--------=1,给出下列四个结论:

1+%21+%2023

①XI,X2,,•*,X2023中小于1的数最多只有一个；

②XI,X2,…，X2023中小于2的数最多只有两个；

③XI,%2,…，X2023中最大的数不小于2022;

,1

④XI,XI,…，X2023中最小的数不小于----.

2023

其中所有正确结论的序号为①②③.

【考点】命题的真假判断与应用.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；推理和证明；不等式；数学运算.

【答案】①②③.

【分析】根据题意，利用反证法分析①②③，可得其正确，对于④，举出反例，可得④错误，综合可得

答案.

【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：

对于①，假设在XI,X2,…，庭023中有2个或更多的数小于1,

一1111

不妨设0<X2<L---->一,---->一,

1+%121+%2----2

r-11111

则有----+-----+…+-------->一+-=1,

1+久11+汽21+%202322

故假设不成立，则XI，X2,…，X2023中小于1的数最多只有一个，①正确;

对于②，假设在XI,X2,­•,,X2023中有3个或更多的数小于2,

不妨设O<X1V2,O<X2<2,O<X3<2,

111111

则>-,----->一,

1+%!31+%2----31+%3-----3

111111

则有=+证+…+>一+一+-=1

1+%2023333

故假设不成立，则％1，X2,…，X2023中小于2的数最多只有两个，②正确;

对于③，假设XI,,•*,X2023中最大的数小于2022,

即0Vxi<2022,O<X2<2O22,……0<x2013<2022,

1111ii

则---->----,----->----,……停—>57%

1+%12023l+x220231+120232023

1111

显然++…+-------->2023x^023

1+%!1+汽21+第2023

故假设不成立，则X2,…，X2023中最大的数不小于2022,③正确;

对于④，假设XI是XI,X2,…，X2023中最小的数,

1

当*1=2024,其余X2=・・・=X2O23=2025X2022-1,

田11111120241

+2022X+=1,

满足尤1<2023-此时]+均+1+x+…+1+x=1+—2025x2022=20252025

L乙zu"2024

故④错误.

故答案为：①②③.

【点评】本题考查反证法的应用，涉及不等式的性质以及应用，属于中档题.

三.解答题(共5小题)

16.己知集合A={x|4x-%2-3>0},集合2={X[2MJ<X<1-相}.

(1)若ACB=0,求实数机的取值范围；

(2)命题p：xCA,命题4：若。是4成立的充分不必要条件，求实数机的取值范围.

【考点】充分条件与必要条件；交集及其运算.

【专题】对应思想；转化法；简易逻辑；数学运算.

【答案】(1)实数机的取值范围为{加|相》0};

(2)数.的取值范围为{加租2}.

【分析】(1)求出A,通过讨论AC2=0和ACIBW0解关于根的不等式，解出即可；

(2)根据集合的包含关系得到关于加的不等式，解出即可.

【解答】解：⑴A={x|4x-7-3>0}={x[l<x<3},

由ACB=0,①若即m24时，8=0,符合题意；

1

②若2m<1-即加〈可时，

1

2机N3或1-机W1,解得OWmV旅

综上，实数机的取值范围为{刑山20}.

(2)由已知A是B的真子集，

故《机工七(两个端不同时取等号)，解得机w-2.

由实数机的取值范围为{MmW-2}.

【点评】本题考查了集合的运算，考查充分必要条件，是基础题.

17.命题/?：任意xCR,/--3加>0成立；命题q：存在x€R,/+4"a+1<0成立.

(1)若命题q为假命题，求实数机的取值范围；

(2)若命题p和q有且只有一个为真命题，求实数机的取值范围.

【考点】复合命题及其真假；命题的真假判断与应用.

【专题】分类讨论；综合法；简易逻辑；数学运算.

【答案】(1)｛利一±

1,1

(2)｛词—24THV0或小W-3或TH>？｝.

【分析】(1)由9真，由判别式求得机的取值范围，进而得到q假的条件；

(2)求得p真的条件，由p和q有且只有一个为真命题，得到p真q假，或p假q真，然后分别求的

机的取值范围，再取并集即得.

【解答】解：(1)由q真：△=16m2-4>0,得mV-*或

所以9假：—44根44；

即实数机的取值范围为：｛列一或1〈根4分1；

(2)p真：△=4根2+12mV0推出-3<加<0,

由p和q有且只有一个为真命题，

，p真q假，或p假q真，

—3<m<0(m<-3或m>0

即I1-J或I1-'

—K工TH4不TH<—7T切⑦1〉不

1、1

-2<mV0或mW-3或TH〉,.

即实数机的取值范围为：｛M一为爪V0或mW-3或爪>执

【点评】本题考查复合命题的真假判定和含有量词的命题真假判定，涉及一元二次不等式恒成立和能成

立问题，不等式的求解，关键是由p和夕有且只有一个为真命题，得到p真q假，或p假q真，属于中

档题.

18.已知命题0：函数/(%)=Zogi(0+1)在[-2,-1]上单调递增；命题g：函数g(x)=-4/+/+3在

2久,

[3,+°°)上单调递减.

(1)若q是真命题，求实数a的取值范围；

(2)若p,g中有一个为真命题.一个为假命题，求实数。的取值范围.

【考点】复合命题及其真假.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】(1)(-8,3].

(2)(-8,O]U[1,3].

【分析】（1）利用复合函数的单调性即可解出；

（2）分别讨论命题p,乡的真假，即可解出.

【解答】解：（1）因为gQr）=

所以/（x）=-/+2x+〃，

又据题意知，当函数g（x）在区间[3,+8）上单调递减时，

-J+Zx+aWO对VxE[3,+8）成立，即aWx2-2%对VxE[3,+°0）成立，

又当XC[3,+°°）时，（/-2%）min=3f

所以〃W3,即所求实数〃的取值范围为（-8,3],

（2）据题设知“p真，q假”或“p假，乡真”，

a

据题设知，若p为真命题，则〃>0,且一+1>0,

—1

所以0<a<l,

⑴当“0真，q假”时，fVaVL此时不等式无解；

（万）当“p假，q真”时，,4°或Q21,

ta<3

所以aWO或

综上，所求实数。的取值范围为（-8,0]U[l,3].

【点评】本题考查了函数的性质，命题，学生的数学运算能力，属于基础题.

19.己知集合4={尤|（x-d）（x+o+1）WO},B={尤仅W3或x26}.

（1）当a=4时，求AClB；

（2）当。>0时，若“xeA”是“x£B”的充分条件，求实数a的取值范围.

【考点】充分条件与必要条件；交集及其运算.

【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算.

【答案】（1）{x|-5WxW3}；（2）（0,3].

【分析】（1）先解一元二次不等式求出A,再利用交集运算求解即可.

（2）将充要条件转化为AU8,得到不等式，求解即可.

【解答】解：（1）当。=4时，

A=[x\（x-a）（尤+a+l）W0}={x|（x-4）（x+5）W0}={x|-5WxW4},

又•.,2={_4rW3或x26},

.•.AnB={x|-5WxW3}.

(2)当a>0时，A={x\(x-6f)(x+a+1)WO}={x|-a-iWxWa},

是xCB的充分条件，.”乩，

{无|xW3或x》6},

或-a-l26,又：a>0,

；.0<aW3,

实数。的取值范围为(0,3].

【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，交集运算，充要条件的应用，属于中档题.

向+。，其中4。，命题：实数满足「|丫,2+—]Y|—〉6V一f)

20.设命题p：实数x满足了3/<qx3

(1)若。=1,且p且q为真，求实数x的取值范围;

(2)非p是非q的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

【考点】充分条件与必要条件；复合命题及其真假.

【专题】简易逻辑.

【答案】见试题解答内容

【分析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，但解题的关键是绝

对值不等式及对数不等式的解法.

【解答】解：(1):命题p：实数无满足/-4狈+3/<0,其中。>0,

...由％2-4办+3。2<0,得(x-3a)(尤-a)<0.又a>0,所以a<x<3a,

当a=l时，1v尤<3,

.•.即〃为真命题时，实数x的取值范围：1〈尤<3.

丫2—X—6V0

{

%2—%—6<0-2<%<3

由解得即{

|x+1|>3x<-4或x>2

所以q为真时，实数尤的取值范围：2VxW3.

..•若〃且q为真,

1Vx<3

真q真，则=2<x<3

2<x<3

实数x的取值范围是(2,3)

(2)•.•不妨设&={扑1忘4,或x23a},B={x|xW2,或x>3}

:非p是非q的充分不必要条件，

，0＜忘2且3。＞3,即1«2.

:.实数。的取值范围是（1,2].

【点评】判断充要条件的方法是:

①若p=>q为真命题且qnp为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件；

②若p=q为假命题且q=p为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件；

③若p0q为真命题且qnp为真命题,则命题p是命题q的充要条件；

④若p=>q为假命题且qnp为假命题,则命题p是命题q的既不充分也不必要条件.

⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题"与命题

4的关系.

考点卡片

1.交集及其运算

【知识点的认识】

由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与8的交集，记作AAB.

符号语言：4「12={尤|尤&4,且底8}.

AC2实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素.

当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集.

运算形状：

①②AC0=0.③④AHBUA,AP\BQB.⑤AnB=AQAUB.⑥AClB=0,两个

集合没有相同元素.⑦AC(CuA)=0.⑧Cu(AAB)=(CuA)U(CuB).

【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解.不能把“或”与“且”混

用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图.

【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集.

命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联

合命题.

2.充分条件与必要条件

【知识点的认识】

1、判断：当命题“若p则/为真时，可表示为p今q,称p为q的充分条件，q是p的必要条件.事实上，

与“0今/'等价的逆否命题是“「g今「p”.它的意义是：若q不成立，则p一定不成立.这就是说，q对

于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件.例如：p：x>2；q：x>0.显然xCp,则xCg.等价于尤Cg,

则xip一定成立.

2、充要条件：如果既有“pnq”，又有“qnp”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是0成立的

充要条件，记作“pcq”.p与q互为充要条件.

【解题方法点拨】

充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一

不可.证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学

生答题时往往混淆二者的关系.判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

判断充要条件的方法是：

①若pnq为真命题且qnp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；

②若pnq为假命题且qnp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；

③若p=q为真命题且q=p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；

④若p=q为假命题且q=p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件.

⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q

的关系.

【命题方向】

充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内

容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广.

3.全称量词和全称量词命题

【知识点的认识】

全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词.符号：V

应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法

1.全称量词与存在量词

(1)全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，

用符号“V”表示.

(2)存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等

词，用符号“丁’表示.

全称命题

含有全称量词的命题.“对任意一个无eA/,有p(无)成立"简记成"VxeM,p(%)”.

同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下

命题全称命题VxCAf,p(x)特称命题mxoEAf,p(xo)

表述方①所有的使0(%)成立①存在X0E.M,使p(xo)成立

法②对一切xGAf,使p(x)成立②至少有一个xoEM,使p(xo)成立

③对每一个xCM,使p(x)成立③某些xEM,使p(x)成立

④对任给一个xeM,使p（x）成立④存在某一个xoeM,使「（刈）成立

⑤若xeM,则p（x）成立⑤有一个无oeM,使p（尤o）成立

【解题方法点拨】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，要求我们会判断含有一个量词的全称命题和

一个量词的特称命题的真假；正确理解含有一个量词的全称命题的否定是特称命题和含有一个量词的特称

命题的否定是全称命题，并能利用数学符号加以表示.应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法.

【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题

形式出现.

4.存在量词命题真假的应用

存在量词命题真假的应用

5.全称量词命题的否定

【知识点的认识】

一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：

全称命题0：VxEM,p（X）它的否命题r°：BXOEM,rp（xo）.

【解题方法点拨】

写全称命题的否定的方法：（1）更换量词，将全称量词换为存在量词，即将“任意”改为“存在”；（2）

将结论否定，比如将“〉”改为“W”.值得注意的是，全称命题的否定的特称命题.

【命题方向】

这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现.难度一般不大，从考查的数学知识上看，

能涉及高中数学的全部知识.

6.存在量词命题的否定

【知识点的认识】

一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：

特称命题0：BXOEM,p（X0）它的否命题rp：\fxEM,rp（x）.

【解题方法点拨】

写特称命题的否定的方法：（1）更换量词，将存在量词换为全称量词，即将“存在”改为“任意”；（2）

将结论否定，比如将“〉”改为“W”.值得注意的是，特称命题的否定的全称命题.

【命题方向】

这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现.难度一般不大，从考查的数学知识上看，

能涉及高中数学的全部知识.

7.复合命题及其真假

【知识点的认识】

含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题.若此命题的真假满足真值表，就是复合

命题，否则就是简单命题.逻辑中的“或”“且”“非”与日常用语中的“或”“且”“非”含义不尽相同.判

断复合命题的真假要根据真值表来判定.【解题方法点拨】

能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不是

命题.能判断真假的不等式、集合运算式也是命题.写命题尸的否定形式，不能一概在关键词前、力口“不”，

而要搞清一个命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将

“不是”改成“是”即可.如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不是”，将

“不是”改成“是"，而要分清命题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命题是指含有“所有”“全部”

“任意”这一类全称量诃的命题；所谓存在性命题是指含有“某些”“某个”“至少有一个”这一类存在性

量词的命题，全称命题的否定形式是存在性命题，存在性命题的否定形式是全称命题.因此，在表述一个

命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，有关命题的关键词也应发生相应的变化，常

8.命题的真假判断与应用

【知识点的认识】

判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、4及非p的真假，然后由真值表判断复

合命题的真假.

注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2-2x+l=0的两根都不是实根”，因为“都

是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分.

【解题方法点拨】

1.判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由

真值表得出复合命题的真假.

2.判断一个“若。则/形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”,贝IJ“若p

则4”为真；而要确定“若p则必为假，只需举出一个反例说明即可.

3.判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同

真同假这一关系进行转化判断.

【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题

形式出现.

9.一元二次不等式及其应用

【知识点的认识】

含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式.它的一般形式是ar+bx+c>G

或axr+bx+c<0（a不等于0）其中以2+区+。是实数域内的二次三项式.

特征

当△=d-4ac>0时，

一元二次方程有两个实根，那么a/+6x+c可写成a（尤-尤1）（尤-X2）

当△=/-4<?c=0时，

一■元二次方程。/+以+。=0仅有一■个实根，那么cu^+bx+c可写成°（%-xi）~.

当△=%2-4<7（?<0时.

一元二次方程a/+bx+c=O没有实根，那么a^+bx+c与x轴没有交点.

【解题方法点拨】

例1：一元二次不等式/<x+6的解集为.

解：原不等式可变形为（尤-3）（x+2）<0

所以，-2<x<3

故答案为：(-2,3).

这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成以2+6尤+c<0的形式；然后应用了特征

当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解.

【命题方向】

①一元二次不等式恒成立问题：

一元二次不等式a)C+bx+c>G的解集是R的等价条件是：«>0且△<()；一元二次不等式or2+Z?x+c<0的

解集是R的等价条件是：。<0且△<().

②分式不等式问题：

",，>0=/(尤)(x)>0；

。(久)