人教版九年级数学上册专项复习：直线和圆的位置关系

直线和圆的位置关系

第1课时直线和圆的位置关系[见A本P43]

风基础达标

1.已知。。的半径为5,圆心。到直线/的距离为3,则反映直线/与。。的位置关系的图

形是（B）

【解析】：。。的半径r为5,圆心。到直线/的距离d为3,且0<d<r,.•.直线/与。。

的位置关系是相交且直线/不经过圆心.

2.已知圆的半径是5cm，如果圆心到直线的距离是5cm，那么直线和圆的位置关系是（B）

A.相交B.相切C.相离D.内含

【解析】d—r—5cm,故选B.

3.[2013•青岛]直线/与半径为r的。。相交，且点。到直线/的距离为6,则r的取值范围

是（C）

A.r<6B.r—6

C.r>6D.

【解析】•••直线/与半径为r的。。相交，且点。到直线/的距离d=6,

r>6.

4.己知。。的半径为2,直线/上有一点尸满足PO=2,则直线/与。。的位置关系是（D）

A.相切B.相离

C.相离或相切D.相切或相交

【解析】当。尸垂直于直线/时，即圆心。到直线/的距离d=2=r,。。与/相切；当OP

不垂直于直线/时，即圆心。到直线/的距离d<2=r,。。与直线/相交，故直线/与。。

的位置关系是相切或相交.

5.在平面直角坐标系尤Oy中，以点（一3,4）为圆心，4为半径的圆（C）

A.与x轴相交,与y轴相切

B.与无轴相离,与y轴相交

C.与无轴相切,与y轴相交

D.与x轴相切,与y轴相离

6.RtAABC中，NC=90°,AC=3cm,2C=4cm,以C为圆心，r为半径作圆，若圆C

与直线相切,则r的值为（B）

A.2cmB.2.4cmC.3cm.D.4cm

7.在△ABC中，已知/AC8=90°,BC=AC=10,以C为圆心，分别以5,58为半

径作圆，那么直线A3与圆的位置关系分别为.相离.、.相切.、相交..

【解析】C到的距离1=5陋.当1=5啦>r=5时，直线48与圆相离；当d=5小=r

时，直线A8与圆相切；当d=5陋<r=8时，直线与圆相交.

8.已知。。的面积为9ncm2,若点。到直线/的距离为mcm,则直线/与。。的位置关

系是相离.

【解析】因为。。的面积为9ncm2,所以。。的半径r=3cm,而点。到直线/的距离d

=五cm,所以d>r,所以直线/与。。相离.

9.如图24—2—7,在RtZXABC中，NC=90°,ZA=60°,BC=4cm,以点C为圆心，

以3cm长为半径作圆，则。C与AB的位置关系是」

【解析】在RtaABC中，因为NC=90°,NA=60°,所以NB=30°,所以AB=2AC.

4r-

由勾股定理得AC2+BC2=AB2,即AC?+42=4AC2,解得AC=y\「(负值已舍)，所以A8=

oACBC|V3X4

2AC=C/5.设C至!JAB的距离为CD,则CD=^^~=8s=2cm<3cm,所以以点C

3

为圆心，以3cm长为半径的。C与AB的位置关系是相交.

10.己知NAOB=30°,尸是。1上的一点，OP=24cm,以r为半径作。P.

⑴若r=12cm,试判断。尸与。2的位置关系；

(2)若。P与OB相离，试求出r需满足的条件.

解：过点P作尸CLOB,垂足为C,则NOCP=90。.

VZAOB=30°,OP=24cm,

；.PC=OP=12cm.

⑴当r=12cm时，r—PC,

二。尸与02相切,

即。尸与02位置关系是相切.

(2)当。尸与。3相离时，r<PC,

；.r需满足的条件是：0cm<r<12.cm.

忌，能力握H

图24—2—9

11.如图24—2—9,在平面直角坐标系中，。。的半径为1,则直线y=x—也与。。的位

置关系是（B）

A.相离B.相切

C.相交D.以上三种情况都有可能

12.如图24—2—10,在平面直角坐标系xOy中，若动点尸在抛物线丫=浸上，。尸恒过点

（0,ri）.且与直线y=一〃始终保持相切，则，?=_七_（用含。的代数式表示）.

图24-2-10

【解析】如图，连接PE设。尸与直线y=—"相切于点E,连接尸E.则PELAE

:动点P在抛物线>=加上,

设P(m,am2).

:。尸恒过点尸(0,ri),

:.PE=PF,即m=2n

anr—n

故答案是工

13.如图24—2—11,在口ABC。中，AB=10,AD^m,ZD=60°,以AB为直径作。O.

图24-2-11

（1）求圆心O到CD的距离（用含m的代数式来表示）;

⑵当相取何值时，CD与。。相切？

解：（1）分别过A，。两点作AELCO,OFLCD,垂足分别是点E,F,

J.AE//OF,OF就是圆心0到CD的距离.

,/四边形ABCD是平行四边形，

S.AB//CD,J.AE^OF.

在AAOE中，ZD=60°,ZAED=9Q°,：.ZDAE=30°,：.DE=^AD=^m,：.AE=

当m,：.OF=AE=^m.

J3

（2）VOF=^m,AB为（DO的直径,且A8=10,

.,.当。尸=5时，CD与。。相切于厂点，

即坐m=5,.,.当m=1今"时,CD与。O相切.

14.如图24—2—12所示，在AABC中，A。为BC边上的高，且AO=3BC,E,尸分别为

AB,AC的中点，试问以斯为直径的圆与BC有怎样的位置关系.

解：如图所示，过所的中点。作OGLBC于G,

,:E,尸分别为A2,AC的中点，

EF为4ABC的中位线./.EF=^BC,

即BC=2EF.

又：OG_LBC,AD1BC,所是AABC的中位线，

AD=^BC,：.OG=^AD=^BC=^X2EF=^EF=OF.：.以EF为直径的圆与8c相切.

15.如图24—2—13所示，点A是一个半径为300m的圆形森林公园的中心，在森林公园

附近有B,C两个村庄，现要在8,C两个村庄间修一条长为1000m的笔直公路将两村连

通，经测得NABC=45°,ZACB=30°,问此公路是否会穿过森林公园？请通过计算进行

说明.

A

BC

图24-2-13

A

BHC

第15题答图

【解析】此题实质上是判断直线BC与。A的位置关系.问题的关键是求出点A到直线

的距离A/1的长，可设在RtaABH和RtZVIS中分别用x表示出①7及CH,然

后依据BH+CH=BC构建方程求解即可.

解：如图所示，

过点A作于点"设AH=xm.

VZABC=45°,；.BH=AH=xm.VZACB=30°,；.AC=2xm,

由勾股定理可得CH=y[3xm.

又,：BH+CH=BC,BC=1000m,：.x+yf3x=l000,解得尤=500($—1)>300,

即BC与。A相离，故此公路不会穿过森林公园.

布展创新

16.由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘侵袭..如图24-2-14所

示，近日，A城气象局测得沙尘暴的中心在A城的正西方向240km的2处，正以每小时12

km的速度向北偏东60°的方向移动，距沙尘暴的中心150km的范围内为受影响区域.

(1)4城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？

(2)若A城受到这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？

北串

第16题答图

解：⑴如图所示，过A作于C,则AC=%2=120<150,因此A城受到这次沙尘

暴的影响.

⑵设沙尘暴由B移动到D点时A城刚好受到这次沙尘暴的影响，则AZ)=150,DC=

yjAD2~AC2=90,那么A城遭受影响的时间为=弩=^15(h).

第2课时切线的判定和性质[见B本P44]

理基础达标

1.下.列结论中，正确的是（D）

A.圆的切线必垂直于半径

B.垂直于切线的直线必经过圆心

C.垂直于切线的直线必经过切点

D.经过圆心与切点的直线必垂直于切线

【解析】根据切线的性质来判断.选项A中，只有过切点的半径才与切线垂直；选项B中,

只有过切点且垂直于切线的直线才经过圆心；选项C中，只有垂直于切线的半径才经过切

点，所以A,B,C都错误，故选D.

2.如图24—2—15,是。。的弦，BC与。。相切于点3,连接。4,0B,若/A8C=70°,

则NA等于（B）

A.15°B.20°C.30°D.70°

【解析】与。。相切于点3,

；./OBC=90°.：NABC=70°,/.ZOBA=ZOBC-ZABC^90°-70°=20°=

图24-2-16

3.如图24—2—16所示，。。与直线AB相切于点A,8。与。。交于点C,若N8AC=30°,

则等于（B）

A.29°B.30°C.31°D.32°

【解析】连接。1,则NO42=90°,又NCAB=30°,

...NOAC=60°.又OA=OC,

...△OAC是等边三角形，...NO=60°,

AZB=30°.

4.如图24—2—17所示，线段48是。。上一点，/CDB=20°,过点C作。。的切线交

AB的延长线于点E,则NE等于（A）

D

图24-2-17

A.50°B.40°C.60°D.70°

【解析】连接。C,

圆心角ZBOC与圆周角/CDB都对弧BC,

:./BOC=2/CDB,又N0)2=20°,

：.ZBOC=4Q°,

又为圆0的切线，

C.OCLCE,即NOC£=90°,

则NE=90°-40°=506.

图24-2-18

5.如图24—2—18,AB是。。的直径，BC交。。于点。，OELAC于点E,要使。E是。。

的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（A）

A.DE=DOB.AB=AC

C.CD=DBD.AC//OD

6.如图24-2-19,以。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦切小圆于点C,若/AOB=120°,

则大圆半径R与小圆半径r之间满足（C）

A.R=y[3rB.R=3r

C.R=2rD.R=2y[ir

【解析】连接OC,因为大圆的弦切小圆于点C,所以0CLA8,又因为。4=。2,所以/AOC

=1xi20°=60°,所以NA=30°,所以。4=2OC,即R=2r,故选C.

图24-2-19

图24-2-20

7.如图24—2—20,点P是。。外一点，B4是。。的切线，切点为A,。。的半径。4=2

cm,NP=30°,则P0=4cm.

8.如图24—2—21,从。。外一点A引圆的切线A3,切点为3,连接49并延长交圆于点

C,连接BC若NA=26°,则NACB的度数为-32°..

AR

图24—2—21

图24-2-22

9.如图24—2—22,ZvlBC的一边A8是。。的直径，请你添加一个条件，使8C是。。的

切线，你所添加的条件为.

【解析】当△ABC为直角三角形时，即NABC=90°时，8C与圆相切，理由是：经过半

径外端，与半径垂直的直线是圆的切线.

10.如图24—2—23,是。。的直径，。是圆心，BC与。。相切于B点，C。交。。于

点、D,且BC=8,CO=4,那么。。的半径是6.

图24-2-23

图24-2-24

11.如图24—2—24,已知尸是。。外一点，尸0交。。于点C,OC=CP=2,弦AB_LOC,

劣弧AB的度数为120°,连接产区

⑴求BC的长；

(2)求证：PB是。。的切线.

解：(1)连接02，:弦A8L0C,劣弧AB的度数为120°,

：.ZCOB=60°,

又,:OC=OB.

:AOBC是正三角形，

；.BC=OC=2.

(2)证明：-：BC=CP,

:..NCBP=NCPB,

VAOBC是正三角形，

：.ZOBC^ZOCB=6Q°.

：.ZCBP^3,0°,

：.NOBP=NCBP+NOBC=90°,

C.OBLBP,

:点B在。。上，...尸8是。。的切线.

段能力与H

12.如图24—2—25,A。是。。的弦，AB经过圆心。，交。。于点C,/DAB=/B=30°

(1)直线2。是否与。。相切？为什么？

(2)连接C。，若8=5,求A8的长.

第12题答图

解：(1)直线与。。相切.

理由如下：如图，连接。。，'：OA=OD,：.Z0DA=ZDAB^ZB=3Q°,：.ZODB^1SO°

-ZODA-ZDAB-ZB=.180°-30。一30。-30。=90。，即。。_LB。，直线BD与。。相

切.

(2)如图，连接CD,由(.1)知，NODA=NDAB=30°,

：.ZDOB^ZODA+ZDAB=60°.又；OC=OD,

.,.△DOC是等边三角形，••.0A=0O=CD=5.

又：/B=30°,NODB=90°,；.OB=2OD=10,

；.AB=OA+OB=5+10=15.

13.如图24—2—26,已知AB是。。的直径，.点C,。在。。上，点E在。。外，ZEAC

=NZ)=60°.

(1)求NABC的度数；

(2)求证：AE1是。。的切线.

解：(1)：/ABC与/。都是佥所对的圆周角，

AZABC=ZD=60°.

(2)VAB是。。的直径，；.ZACB=90°,/.Nft4c=90°-ZABC^3Q°,：./BAE=/BAC

+NEAC=30°+60°=90°,BPBA1AE,是。。的切线.

B

AE

图24-2-26

图24-2-27

14.如图24—2—27,已知为。。的直径，2为AD延长线上一点，2C与。。切于C点，

NA=30°.求证：(1)BD=CD；(2)AAOC^ACDB.

证明：(1)；AD为。。的直径，.,.NACZ)=90°.

又；NA=30°,OA^OC=OD,AZACO=ZA^30°,ZODC^ZOCD=90°-ZACO

=60°.又与。。切于C点，.,.NOCB=90°,.,.488=90°—NOCD=30°,

B=/ODC—NBCD=30°,

:"BCD=/B,:.BD=CD.

(2)V.ZA=ZACO=ZBCD^ZB=30°,：.AC^BC,：.AAOC^ACDB.

图24-2-28

15.如图24—2—28,△04C中，以。为圆心、。4为半径作。。，作03_L0C交。。于点

B,连接交。C于点。，ZCAD^ZCDA.

⑴判断AC与。。的位置关系，并证明你的结论；

(2)若。4=5,OD=1,求线段AC的长.

解：(1),.,点A,3在。。上，；.OB=OA,；.NOBA=/OAB.；NCAD=/CDA=NBDO,

：.ZCAD+ZOAB^ZBDO+AOBA."：BOLCO,

：.ZCAD+ZOAB=ZBDO+ZOBA=90°,即/OAC=90°,；.AC是。