2025届山东高三9月七校联考高三数学试题（含答案）

2025届山东高三9月七校联考高三数学试题含答案

2024-2025学年上学期高三九月七校联考数学试卷

本页4页满分150分，考试用时120分钟

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在

答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写

在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿

纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交..

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为()

A.Q；(AuB)B.[(AcB)

C.D.(1A)cB

2.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的

三条边长分别为“，b,c,则三角形的面积S可由公式5=而示二淳频万二亍求得，其中P为三角

形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个二角形的边长满足P=6,a+b=8,则此二角

形面积的最大值为()

A.1873B.4月C.8A/3D.

3.已知点A是抛物线C：V=2px(p>0)上一点，若A到抛物线焦点的距离为5,且A到无轴的距离为4,

则P=()

A.1或2B.2或4C.2或8D.4或8

4.圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,母线长为4.已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从

点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P,则该质点运动的最短路径长为()

5.将数字1,2,3,4,5,6,7,8,9随机填入3x3的正方形格子中，则每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三

个数字之和都相等的概率为（）

8r12「24-48

A.—B.—C.—D・—

9!9!9!9!

6.定义：已知数列｛4｝（"eN*）的首项弓=1,前〃项和为S”.设4与左是常数，若对一切正整数〃，均有

点.5：=而,成立，则称此数列为、&左”数列•若数列｛%｝（〃eN*）是“,&2”数列，则数列｛风｝的通项

公式。“=（）

r1(〃=1)r](〃=1)

A.3X4"-2C.4x3-2

■[3x4,!-2(n>2)■[4x3"-2(n>2)

7.在(尤+1)0+2)0+7")0+”)的展开式中,含尤3的项的系数是7,则加+〃=（）

A.1B.2C.3D.4

8.已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间［0,+8）单调递减，若aeR+,且满足

/（log3a）+/log,a<2/（2）,则。的取值范围是（）

I37

B.卜8,(C.g,2D.fo,1U[9,+⑹

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.欧拉公式e”=cos无+isin无（i为虚数单位，xeR）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与

指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（）

A./i的虚部为口B.e“i=-l

e2

C.ex,=|cosx|+|sinx|D.6的共轨复数为-i

23i

10.对于随机事件A,B,若尸(4)=Z，P(B)=~,P(B\A)=-,则()

55v174

3尸()；

A.P(AB)=——B.A|B=C.P(A+B)=,D.P(AB)=1

20

11.如图，正方体ABC。-A4G2的棱长为1,动点P在对角线上，过户作垂直于8。的平面a,记

平面a与正方体ABCD-A与GA的截面多边形(含三角形)的周长为L,面积为S,=x，尤w(0,6),

下面关于函数”x)和S(x)的描述正确的是(

A.S(x)最大值为容；

B.〃尤)在了=字时取得极大值；

C.””在0,彳上单调递增，在乎,6上单调递减；

D.S(x)在0,彳上单调递增，在三，栏上单调递减

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深

刻的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形ABCDEFGH,其中A3=1,。为正八

13.已知数列｛〃〃｝满足q=2,〃2=1，。3=-3,且。〃+2=+。〃+1,则。5=.

14.已知函数=H+2X：3,XW0,若存在实数占，尤2，七且尤i<W，使得尤3)，则

lnx,x>0

x1/(x1)+x2/(x2)+w/(w)的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题13分)

已知锐角△A5C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a-c=2ccosB.

(1)证明：B=2C；

(2)若。=2,求半+工的取值范围.

bc

16.(本小题15分)

已知数列｛%｝的前〃项和为Sn，且q=2,an+l=Sn+2.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵设£=log2^-ll,求数列｛同｝的前〃项和北.

17.(本小题15分)

如图，四边形ABCD为菱形，平面ABCD.

(1)证明：平面尸AC_L平面尸8。；

(2)若PA1PC,二面角A-5P-C的大小为120。，求PC与2D所成角的余弦值.

18.(本小题17分)

已知椭圆。:乂+==1(。>"0)的两个焦点分别为招，与，离心率为交，点尸为C上一点，口「£圾周长为

ab2

2V2+2,其中。为坐标原点.

⑴求C的方程；

(2)直线/：y=尤+相与C交于A,B两点，

(i)求△。48面积的最大值；

(ii)设丽=况+而，试证明点。在定直线匕并求出定直线方程.

19.(本小题17分)

已知函数/(x)=aln(x+l)-xe'+1

⑴当a<0时，求〃x)的单调区间；

⑵若函数存在正零点七，

(i)求。的取值范围；

(ii)记A为的极值点，证明：x0<3x1.

2024-2025学年上学期高三九月七校联考解析版

数学试卷

注意事项：

1.答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在

答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写

在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿

纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交..

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为()

A.Q,(AuB)B.J(AcB)

C.@B)cAD.(1A)c8

【答案】D

【详解】解：在阴影部分区域内任取一个元素x,

则xeA且xeB,即xeG,A且xeB,

所以，阴影部分可表示为&A)C3.

故选：D.

2.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的

三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式5=而示二水厂丽二同求得，其中P为三角

形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足P=6,a+b=8,则此三角

形面积的最大值为()

A.1873B.4A/3C.8VID.9也

【答案】B

【详解】由题意可知，三角形的周长为12,贝l]c=12-(a+b)=4,

S=J6x(6-a)(6-b)x2=J12[36-6(a+6)+ab]=J12(a6-12),

因为a+b=8,所以必w1与『=16,当且仅当。=b=4时等号成立，

所以演的最大值为16,

所以三角形面积的最大值S=J12x(16-12)=46.

故选：B

3.已知点A是抛物线C:y2=2pM0>O)上一点，若A到抛物线焦点的距离为5,且A到无轴的距离为4,

则P=()

A.1或2B.2或4C.2或8D.4或8

【答案】C

【详解】由题意得|%|=4,%+5=5,

其中门=2px“故2p[5_^]=16,解得p=2或8,

故选：C

4.圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,母线长为4.已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从

点尸出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P,则该质点运动的最短路径长为()

【答案】A

【详解】尸为圆台母线AB的中点，a，2分别为上下底面的圆心，把圆台扩成圆锥，如图所示,

s

则。］A=1,O2B=2,AB=4,

由有SA=4,SB=8,SP=6,

圆锥底面半径。?8=2,底面圆的周长为4兀，母线长58=8,

47rTT7T

所以侧面展开图的扇形的圆心角为弓=m，即=如图所示,

o22

质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P,则运动的最短路径为展开图弦PP,

JT

ZPSP'=-,SP=SP'=6,<PP'=6V2.

故选：A

5.将数字123,4,5,6,7,8,9随机填入3x3的正方形格子中，则每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三

个数字之和都相等的概率为（）

8r12-24-48

A.—B.—C.—D.—

9!9!9!9!

【答案】A

【详解】符合题意的填写方法有如下8种：

294618492816

753753357357

618294816492

672438276834

159951951159

834276438672

而9个数填入9个格子有9!种方法

Q

所以所求概率为尸=反，

故选：A.

6.定义：已知数列的首项q=l,前”项和为S,.设2与左是常数，若对一切正整数“，均有

S£,S|=射：成立，则称此数列为“4&左”数列.若数列｛七｝(〃eN*)是“f&2”数列，则数列｛%｝的通项

公式为=()

rI(D]l(n=1)

A.3X4)2C.4X3〃-2〃一)

•[3x4n-2(n>2).14x3252)

【答案】B

【详解】因为数列｛%｝(〃eN*)是“，&2”数列，则人?，笈=2,

11/？1

所以储一叼「储，而”…

]_

[I]£i_£

(S"+『-S『)2=-(Sn+J-Sj)(s3+s,3)，

_LJ_1J_J11

,⑸+/+V).--S"=2S“\，Sn+}=4Sn,.-.Sn=4"T,

1

S]=%=1,Sn=4-",

〃“=4"T—4〃-2=3.4〃-2,〃22,

l,n=l

3x4/7-2,n>2

故选：B

7.在(x+l)(x+2)(尤+/n)(x+〃)的展开式中,含尤3的项的系数是7,则加+〃=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【详解】由题意可知展开式中含X3的项：/+2/+必3+/=(］+2+%+〃=7/

m+H=4,

故选：D.

8.已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间［0,+8)单调递减，若awR+,且满足

/(log3«)+/^logi^<2/(2),则”的取值范围是()

-004o,1U[9,+co)

A-B.C.D.

【答案】D

【详解】依题意，/(x)是偶函数，且在区间［。,+8)单调递减，

由/(log3a)+/flogia<2/(2)^/(log3a)+/(-log3a)=2/(log3a)<2/(2),

I37

所以/(logs。)V"2),所以log3a<-2或logs。"，

所以0<a］或a29,

所以a的取值范围是(o,gU［9,+s).

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.欧拉公式短=cosx+isinx(i为虚数单位，xeR)是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与

指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是()

A.守的虚部为1B.e™=-1

e2

C.|exi|=|cosx|+|sinx|D.』的共轨复数为T

【答案】ABD

【详解】对于A中，由e?=cos&+isin¥=L+@i,其虚部为心，所以A正确；

33222

对于B中，由e70=cos7i+isin兀=-1,所以B正确;

对于C中，由e"=cosx+isin%,则卜［=Jcos'x+sin'x=1,所以C错误；

对于D中，由』Leos工+isin^=i,故］的共辗复数为-i,所以D正确.

22e

故选：ABD.

231

10.对于随机事件A,B,若P（A）=y,P(B)=+P(B\A)=-,则()

319-1

A.P(AB)=-B.P(A|B)=-C.尸(A+5)=一D.P(AB)=-

10

【答案】BCD

,、P（AB］,、，、，,211

【详解】对A：因为网8|4）=彳后=尸（叫=尸⑷P（2|A）=„木，故A错误;

二Z故B正确;

o

731Q

对C：因为尸（A+B）=尸（A）+P（B）—P（AB）=M+（—,，故C正确；

对D：P（B）=P（A）-P（B|A）+P（A）-P（B|A）^|=|x^-+|.P（B|A）,

所以：P（B|A）=|.

所以尸（现=尸（孙尸伍|可=|x'=；.故D正确.

故选：BCD

11.如图，正方体ABCO-AgGA的棱长为1,动点尸在对角线3A上，过尸作垂直于82的平面a,记

平面々与正方体ABC。-ABG2的截面多边形（含三角形）的周长为L,面积为s,BP=x,xe（0,V3）,

下面关于函数“尤）和S（x）的描述正确的是（）

B.〃尤)在x=字时取得极大值;

C.”尤)在o，+上单调递增，在乎,6上单调递减;

k7\?

D.S(x)在0,彳上单调递增，在彳,6上单调递减

、2JI2,

【答案】AD

【详解】当xe„时，截面为等边三角形，如图：

因为8P=x,所以EF=#x，

所以：L（x）=3V6x,S（x）=^^,xjo,，

此时”x),S(x)在卜，手上单调递增，且痣，s(x)&B.

、32

如图:

设AE=/,贝IJAE=A/=CG=S=51N=51M=/

所以六边形EFGHMN的周长为：36+3日(1-。=3次为定值;

做NN】_L平面ABC。于M,AIM]_L平面ABC£)于

设平面EFGHMN与平面ABCD所成的角为a,则易求cosa

所以SEFDHMNCOSCC=SFAN、M\CG，

所以SEFDHMN=G11_；(1T)2—；"］=6&+，一产］,

在，上递增，在卷g,l］上递减，

所以截面面积的最大值为可;+»手，此时，］，即

所以编)在性剧上递增,在吊苧上递减.T时，S(')最大,为华

当时，易得：

£（x）=3V6（V3-x）,S（X）=¥（6-X/

此时“尤)，S(x)在［毕,道］上单调递减，L(x)<3次，S(x)〈旦.

综上可知：AD是正确的，BC错误.

故选：AD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深

刻的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形ABCDMG//，其中AB=1,。为正八

边形的中心，则丽.丽=1

AB

【答案】1+V2/V2+1

［详解】在正八边形ABCDEFGH中,连接HC,则HC//AB,

E

而/ABC=135°,即/BCH=45。，于是/HCQ=90°,在等腰梯形A8CH中，

CH=l+2xlxcos45°=1+V2,所以赤.丽=lx|而|cosNCH£>=|麻卜1+0.

故答案为：1+应

13.已知数列｛4｝满足4=2,%=1，%=-3,且a,.=24+a,+i,贝1]%=.

【答案】1

【详解】当"=1得/=2al+电，又4=2,%=L%=-3得—3=24+1,解得A=-2.

则%+2=-2%+4用，

以内=_2a,+/=_2x1_3——5,%=—2%+%=—2x(—3)—5—1.

故答案为：1.

14.已知函数=H+2X：3，X(。，若存在实数%,无2，%且无i<%<W，使得/(为)=〃々)=〃尤3)，则

llnx,x>0

xlf(xl)+x2f(x2)+w/(w)的最大值为.

【答案】-6+3e3

【详解】根据题意作出函数y=f(x)的图象，如图所示,

令y=2,解得x=—1或％=e?,

令y=3,解得％=-2或%=。或X=e3,

由题意可知：>=。与丫=/(%)有三个交点，则2<。《3,

止匕时一2W芯<一1</<0<e?<退<,且玉+/=-2,

^/（x3）=lnx3=a,可得七=1,

xaXax

则xxf（再）+X2f（冗2）+?>f（43）=+2+3=-2〃+〃e",

令g（“）=-2〃+〃e",2<〃K3,则，（。）=—2+（〃+l）e">-2+3e2>0,

可知g⑷在（2,3]内单调递增，则g⑷的最大值为^（3）=-6+3e3,

所以玉/（石）+//（入2）+%/（不）的最大值为—6+363.

故答案为：-6+3e3.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题13分）

已知锐角△ABC中，角A,B,。的对边分别为〃，b,c,若Q-C=2CCOSB.

（1）证明：B=2C；

（2）若a=2,求学cos+r上的i取值范围.

bc

【答案】（1）证明见解析

33

（2）

452

【详解】（1）因为a—c=2ccos5,由正弦定理得sinA-sinC=2sinCcosB,

所以sin5COSC+sinCCOSB-sinC=2sinCcosB,

所以sin3cosc-sinCeos3=sinC<=>sin（B-C）=sinC,

而。<5<兀,0<C<JI,则3—C=C或B—C+C=TIF

即5=2。或5=乃（舍去），故5=2C.

0<C<-

2

（2）因为△ABC是锐角三角形，所以0<2C<],解得

2o4

0<K-3C<-

2

所以cosC的取值范围是乐c小东

,一bsinBsinBsin2C-_

由正弦TE理可得：一=一^;，则H=—.一•c=2cosCc,

csinCsinCsinC

cosC1cosC13

所以丁W'所以丁+二五'

因为。一。=2ccos5,所以2-。=2ccos2C,

2

所以2-c=2ccos2C,所以c=

2cos2C+l

cosC1333(2cos2C+l)3(4cos，C-l)

所以bc~2c-4-4-4

2cos2C+l

rviA

因为COSCG所以4cos2C-le(1,2),

2'2

所以cosCJ_3(4COS2J1)

的取值范围是

bc43

16.（本小题15分）

已知数列｛%｝的前n项和为S,,,且弓=2,a,+]=5“+2.

（1）求数列｛%｝的通项公式;

⑵设么=log2^-ll,求数列｛同｝的前"项和7；.

【答案】⑴%=2",〃eN*

10n-n2,n<5

⑵北=〃£N".

n2-10/1+50,72>6

【详解】（1）由4+i=S〃+2,则当牛＞2时4=S〃T+2

两式相减得。〃+1-4=%,所以%+i=2tzn(n>2).

将。1=2代入。用=S〃+2得，%=4=2〃],

所以对于〃sN*“+1=24,故｛册｝是首项为2,公比为2的等比数列，

所以为=2".

(2)^=log2^-H=2n-ll.

2

Bn=bx+b2H—+bn=n(n-10)=n-lOn,

因为当〃45时勿<0,当时包>0,

2

所以当〃工5时，Tn=-bx-b2——bn=-Bn=Wn-n9

2

当鹿26时，Tn=—bx—b2-------&+%+,■1-----卜=Bn—2B5=n—10n+50.

2

44r7fl0«-n,n<5

故(=〈，

In2-10n+50,n>6

17.（本小题15分）

如图，四边形ABCD为菱形，平面ABCD.

(1)证明：平面尸AC_L平面尸8。；

(2)若PALPC,二面角A-BP-C的大小为120。，求PC与2D所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见详解.

⑵亚

6

【详解】(1)：P8_L平面ABC。且ACu平面A8CD

PB1AC,

在菱形ABCD中，BD1AC,且尸8cB£>=B,PB,BDu平面PBD,

ACJ_平面PBD

又：ACu平面尸AC

平面PAC±平面PBD.

(2)：PB_L平面ABCD且ABu平面ABC。,BCu平面ABCD

A8_LB尸，BC1BP,即二面角A-8P-C是/ABC,

/ABC=120°,

取AC与8。交点为。，设AB=BC=2,

则AC=2y/3,

PA=PC=R,；.PB=C，

以。为坐标原点，08为龙轴，OC为V轴，如图建立空间直角坐标系,

则8（1,0,0）,。（-1,0,0）,尸（1,0,⑹，C（0,V3,0）

丽=（2,0,0）,PC=（-1,73,-72）

I/一►一IBDPC2x[6

：.cos（BD,PC）=一11一=—~广=—.

1'八BD^PC2xV66

所以BD,PC所成角的余弦值为1.

6

18.(本小题17分)

已知椭圆C:£+A=l(a>b>0)的两个焦点分别为居，耳，离心率为变，点P为C上一点，口尸耳为周长为

ab2

20+2,其中。为坐标原点.

⑴求C的方程;

(2)直线/：y=x+根与C交于A,8两点,

(i)求△0A8面积的最大值;

(ii)设丽=厉+9，试证明点。在定直线上，并求出定直线方程.

【答案】⑴工+v=l

2

/71

(2)(i)/；(ii)证明见解析，丫=一5元・

'c_41

a=V2,

【详解】(1)设焦距为2c,依题意,<~a~亏解得《

c=l,

2a+2c=2>/2+2,

y.a2=b2+c2,所以〃=。—2=1,

所以C的方程为]+y2=i.

（2）（i）设4（再，％）,3（%2，%），

k21

因为,2，所以3x2+4mx+2m2—2=0,

y=x+m

A=16/-4x3x（2疗-2）>0,解得/<3,

4m2m2-2

2=-

所以玉+九石，石%2

3

=

|AB\=J（X]-工2）2+（M->2）2=抗x'（%+々）2-4%々~~x三24-8后=4\"

m

点。到直线/：%-y+根=。的距离d=\\

△。油的面积S〈x〒,4

V2——^x(3-^)+加26

=----X

3322

当且仅当3-病=疗，即加=±YE时，/\。48面积的最大值为交