2023年北京市初三二模数学试题汇编：圆章节综合

第1页/共1页2023北京初三二模数学汇编圆章节综合一、单选题1．（2023·北京石景山·统考二模）如图，为的直径，C，D为上的点，．若，则的度数为（

）

A． B． C． D．2．（2023·北京昌平·统考二模）船航行的海岸附近有暗礁，为了使船不触上暗礁，可以在暗礁的两侧建立两座灯塔.只要留心从船上到两个灯塔间的角度不超过一定的大小，就不用担心触礁.如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，当船航行到点的位置时，此时与两个灯塔间的角度（的大小）一定无触礁危险.那么，对于四个位置，船处于___________时，也一定无触礁危险.（）

A．位置 B．位置 C．位置 D．位置二、填空题3．（2023·北京朝阳·统考二模）如图，是的直径，是的弦，，则________°．4．（2023·北京房山·统考二模）如图，点A,B,C在⊙O上，BC=6,∠BAC=60°，则⊙O的半径为______．三、解答题5．（2023·北京朝阳·统考二模）在平面直角坐标系中，对于图形M给出如下定义；将M上的一点变换为点，M上所有的点按上述变换后得到的点组成的图形记为N，称N为M的变换图形．(1)①点的变换点的坐标为______；②直线的变换图形上任意一点的横坐标为______；(2)求直线的变换图形与y轴公共点的坐标；(3)已知⊙O的半径为1，若的变换图形与直线有公共点，直接写出k的取值范围．6．（2023·北京大兴·统考二模）已知：如图，线段AB．求作：，使得，且．

作法：①分别以点A和点B为圆心，长为半径画弧，两弧在的上方交于点D，下方交于点E，作直线；②以点D为圆心，长为半径画圆，交直线于点C，且点C在的上方；③连接．所以就是所求作的三角形．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：连接．∵，，∴是线段的垂直平分线，∴________．∵，∴为等边三角形，∴．∵，∴（________）（填推理的依据），∴．7．（2023·北京房山·统考二模）在平面直角坐标系中，有图形W和点P，我们规定：若图形W上存在点M、N（点M和N可以重合），满足，其中点是点P关于x轴的对称点，则称点P是图形W的“对称平衡点”．

(1)如图1所示，已知，点，点．①在点中，是线段的“对称平衡点”的是___________；②线段上是否存在线段的“对称平衡点”？若存在，请求出符合要求的“对称平衡点”的横坐标的范围，若不存在，请说明理由；(2)如图2，以点为圆心，1为半径作．坐标系内的点C满足，再以点C为圆心，1为半径作，若上存在的“对称平衡点”，直接写出C点纵坐标的取值范围．8．（2023·北京顺义·统考二模）在平面直角坐标系中，已知点P，直线l与图形G．连接点P与图形G上任意一点Q，取的中点M，点M关于直线l的对称点为N，所有的对称点组成的图形W称为图形G关于点P及直线l的“对应图形”．已知点．(1)对于直线，若直线关于点A及直线l的“对应图形”与直线的交点在x轴的上方，求a的取值范围；(2)已知点，，，直线，的圆心，半径为2．若存在关于点D及直线l的“对应图形”与的边有交点，直接写出t的取值范围．9．（2023·北京西城·统考二模）在平面直角坐标系中，给定圆C和点P，若过点P最多可以作出k条不同的直线，且这些直线被圆C所截得的线段长度为正整数，则称点P关于圆C的特征值为k．已知圆O的半径为2，(1)若点M的坐标为，则经过点M的直线被圆O截得的弦长的最小值为___________，点M关于圆O的特征值为___________；(2)直线分别与x，y轴交于点A，B，若线段上总存在关于圆O的特征值为4的点，求b的取值范围；(3)点T是x轴正半轴上一点，圆T的半径为1，点R，S分别在圆O与圆T上，点R关于圆T的特征值记为r，点S关于圆O的特征值记为s．当点T在x轴正轴上运动时，若存在点R，S，使得，直接写出点T的横坐标t的取值范围．10．（2023·北京昌平·统考二模）用尺规“三等分任意角”是数学史上一个著名难题，它已经被数学家伽罗瓦用《近世代数》和《群论》证明是不可能的．但对于特定度数的已知角，如角，角等，是可以用尺规进行三等分的．下面是小明的探究过程：已知：如图1，．求作：射线三等分．

作法：如图2，①在射线上取任一点；②分别以为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点，在下方交于点，连接；③作直线交于点；④以为圆心，长为半径作圆，交线段于点（点不与点重合）；⑤作射线．所以射线即为所求射线．(1)利用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：，为等边三角形．．．为的直径，___________．又，平分（）（填推理的依据）．．．即射线三等分．

参考答案1．A【分析】根据等弧所对的圆周角相等可得，根据直径所对的圆周角为90度可得，进而可得，．【详解】解：如图，连接，，

，，，为的直径，，，，故选A．【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，半圆（或直径）所对的圆周角是直角．2．B【分析】先利用格点找出的外接圆的圆心，再判断哪个点在的外接圆上即可．【详解】解：如图，

由网格可知，点O是和垂直平分线的交点，即点O是的外接圆的圆心，，点M在的外接圆上，，船处于位置B时，也一定无触礁危险，故选B．【点睛】本题考查圆周角定理，三角形的外心，勾股定理与网格问题等，解题的关键有两个，一是找出的外接圆的圆心，二是掌握同弧所对的圆周角相等．3．50【分析】连接BC，则由圆周角定理可以得到∠ADC=∠ABC，再根据直径所对的圆周角是90度，得到∠ACB=90°，再根据∠BAC=40°即可求解.【详解】解：如图所示，连接BC∴∠ADC=∠ABC∵AB是直径∴∠ACB=90°∵∠BAC=40°∴∠ABC=180°-90°-40°=50°∴∠ADC=∠ABC=50°故答案为：50.【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.4．【分析】根据已知条件以及图形，可知本题考查圆对应知识点，包括圆周角、圆心角、垂径定理，可构造辅助线用垂径定理以及角度关系解答本题．【详解】连接OB、OC并作OFBC,如下图所示∵同弧∴∠BOC=2∠BAC=120°（同弧所对的圆心角是圆周角的二倍）又∵OFBC（垂径定理），BC=6∴FB=FC=3，∠FOC=60°∴OF=，OC=

(30°特殊直角三角形三边之比为)∴半径为．故答案为：．【点睛】本题简要综合了圆的基础知识点，且有60°特殊角度的提示，加之求半径常用垂径定理，故辅助线不难做出，构图完成题目即可解决．5．(1)①；②；(2)；(3)且．【分析】（1）①按定义操作即可得出答案；②设直线的图像上任意一点坐标为，然后按定义操作即可得出答案；（2）设直线的图像上任意一点坐标为，求出该点的变换点坐标，根据横纵坐标之间的关系求出直线的变换图形的解析式即可得出答案；（3）设⊙O上点的坐标为，可得，然后求出其变换点到原点的距离为，可得的变换图形是以原点为圆心，半径为的圆，再根据直线恒过点，求出直线与的变换图形相切时的k值即可．【详解】（1）解：①按定义操作：，，∴点的变换点的坐标为，故答案为：；②设直线的图像上任意一点坐标为，按定义操作：，∴直线的变换图形上任意一点的横坐标为，故答案为：；（2）解：设直线的图像上任意一点坐标为，则该点的变换点坐标为，令，得：，∴，当时，，∴直线的变换图形与y轴公共点的坐标为；（3）解：设⊙O上点的坐标为，∵⊙O的半径为1，∴点到原点的距离为1，∴，∵⊙O上的点的变换点坐标为，∴其变换点到原点的距离为：，∴的变换图形是以原点为圆心，半径为的圆，又∵直线，∴直线恒过点，如图，点，直线与y轴交于点C，当直线与的变换图形相切于点B时，可得，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴此时直线过点，∴，解得：，同理，当直线与的变换图形相切于x轴的下方时，可得，∴若的变换图形与直线有公共点，k的取值范围为且．

【点睛】本题考查了新定义，一次函数的应用，圆的基本概念，切线的性质，两点间的距离公式，勾股定理等知识，正确理解变换图形的定义，能够准确表示出变换点的坐标是解题的关键．6．(1)见解析(2)，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．【分析】（1）尺规作图，使得，利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，画的．（2）根据尺规作图的画法，得到垂直平分线上的点到线段两段距离相等．【详解】（1）解：根据题意尺规作图如下．

（2）解：；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．【点睛】本题考查了尺规作图做线段的垂直平分线线，以及一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半的知识点，其中能够根据画法画出图形是解决本题的关键．7．(1)①，；②不存在，理由见解析(2)【分析】（1）①根据对称平衡点的定义进行判断即可；②不存在，根据对称平衡点的定义进行讨论可得结论；（2）画出图形进行判断即可．【详解】（1）①如图所示，点，，则；，则，

∴线段的“对称平衡点”的是，；故答案为：，；②不存在设P为线段上任意一点，则它与线段上点的距离最小值为0，最大值为和中的较大值；显然点P关于x轴的对称点为，它到线段上任意一点的距离即若是线段上的任意两点，，不存在∴线段上不存在线段的“对称平衡点”；（2）如图，由②可知线段上不存在的“对称平衡点”，上存在的“对称平衡点”，

∵∴【点睛】本题考查了对称平衡点．两圆的位置关系，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点特殊位置解决问题．8．(1)(2)或【分析】（1）根据题意可得，，根据新定义可得，点与直线上的任意一点所成的线段的中点，即为直线，设直线关于的对称直线与轴的交点为，直线关于点A及直线l的“对应图形”与直线的交点在x轴的上方，则只需要点在点左侧，据此可得，即可求解．（2）根据题意，先画出图形，由的圆心，半径为，关于点及直线的“对应图形”，，根据新定义求得中点坐标，再关于对称，根据直线与圆的位置关系，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，直线，当时，，当时，，则，，则点与直线上的任意一点所成的线段的中点，即为直线，∴，设直线的解析式为，∴解得：∴直线的解析式为，设直线关于的对称直线与轴的交点为，直线关于点A及直线l的“对应图形”与直线的交点在x轴的上方，则只需要点在点左侧，因此，∴又∵∴，即

（2）的圆心，半径为，关于点及直线的“对应图形”，，则是以为圆心，半径为1，作关于的对称的圆，则此圆是以为圆心的圆，半径为1，

∵点，，，∴直线的解析式为，当时，，直线的解析式为，当时，，∵与的边有交点，当在的左侧，与相切时，到的距离为，，解得：，当在的右侧，与相切时，到的距离为，解得：，当在的左侧，与相切时，到的距离为；解得：，当在的右侧，与相切时，到的距离为；解得：，结合图形可知：或．【点睛】本题考查了几何新定义，一次函数的性质，直线与圆的位置关系，熟练掌握新定义，中点坐标公式以及轴对称的性质是解题的关键．9．(1)，3(2)b的取值范围是或；(3)【分析】（1）设经过点M的直线与交于E、F两点，过点O作于H，连接，利用垂径定理得到，由勾股定理可得当最大时，最小，即此时最小，求出，再由，得到当点H与点M重合时，有最大值，即可求出的最小值为，则被圆O截得的弦长取值范围为，再由被圆O截得的弦长为3的弦有2条，被圆O截得的弦长为4的弦只有1条，可得点M关于圆O的特征值为3；（2）根据题意得，关于圆O的特征值为4的所有点都在以O为圆心，为半径的圆周上，分当时和当时，两种情况讨论即可求解；（3）由于同一平面内，对于任意一点Q，经过O、Q的直线与圆O截得的弦（直径）都为4，则点Q关于圆O的特征值不可能为0，由此可得，则或；经过点S且弦长为4（最长弦）的直线有1条，弦长为3（最短弦）的直线有1条，由（2）可知点S一定在以O为圆心，以为半径的圆上，同理点R一定在以T为圆心，以为半径的圆上，则当满足以O为圆心，2为半径的圆与以T为圆心，为半径的圆有交点，且同时满足以O为圆心，为半径的圆与以T为圆心，1为半径的圆有交点时t的值符合题意，由此求解即可．【详解】（1）解：设经过点M的直线与交于E、F两点，过点O作于H，连接，∴，在中，由勾股定理得，∴当最大时，最小，即此时最小，∵点M的坐标为，∴，又∵，∴当点H与点M重合时，有最大值，∴此时有最小值，∴的最小值为∵过点M的直线被圆O截得的弦长的最大值为4（直径），∴被圆O截得的弦长取值范围为，∴被圆O截得的弦长为正整数的只有是3或4，∵被圆O截得的弦长为3的弦有2条，被圆O截得的弦长为4的弦只有1条，∴点M关于圆O的特征值为3，故答案为：，3；

（2）解：设点G是圆O的特征值为4的点，由（1）可知经过一点G且弦长为4（最长弦）的直线有1条，弦长为3的直线有2条，∵特征值要保证为4，∴经过点G且弦长为2的直线有且只有1条，∴经过点G的直线被圆O截得的弦长的最小值为2，∵，∴由（1）可知，关于圆O的特征值为4的所有点都在以O为圆心，为半径的圆周上，

∵直线分别与x，y轴交于点A，B，∴，，∴，∴当时，∵线段上总存在关于圆O的特征值为4的点，∴线段与以O为圆心，为半径的圆有交点，当线段与以O为圆心，为半径的圆相切时，将切点设为H，连接OH，则，∴，∴，将以O为圆心，为半径的圆与y轴正半轴的交点记为，则，当线段与以O为圆心，为半径的圆相交，且过点时，可得，∴；同理可求当时，；综上，b的取值范围是或；（3）：∵同一平面内，对于任意一点Q，经过