2023年北京市初三二模数学试题汇编：圆解答题（第24题）

第1页/共1页2023北京初三二模数学汇编圆解答题（第24题）一、解答题1.（2023·北京东城·统考二模）如图，的直径与弦相交于点，且，点在的延长线上，连接．（1）求证：是的切线；（2）若，求半径的长．2.（2023·北京西城·统考二模）如图，以菱形的边为直径作交于点，连接交于点是上的一点，且，连接．（1）求证：；（2）求证：是的切线3．（2023·北京海淀·统考二模）如图，P为☉O外一点，PA，PB是☉O的切线，A，B为切点，点C在☉O上，连接OA，OC，AC．（1）求证：∠AOC=2∠PAC；（2）连接OB，若AC∥OB，☉O的半径为5，AC=6，求AP的长．4.（2023·北京朝阳·统考二模）如图，为的直径，C为上一点，，直线与直线相交于点H，平分．（1）求证：是的切线；（2）与的交点为F，连接并延长与相交于点D，连接．若F为中点，求证：．5.（2023·北京房山·统考二模）如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得∠BFD=∠ADB。（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AD=4，DE=5，求DF的长。 6.（2023·北京丰台·统考二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D是BC的中点，点E是AB的延长线上的一点，∠BCE=∠BOD，OD的延长线交CE于点F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若sinE＝，AC＝5，求DF的长．7.（2023·北京门头沟·统考二模）如图，是直径，弦于E，点F在上，且，连接，BC．（1）求证：；（2）延长到P，使，作直线．如果．求证：直线为的切线．

8．（2023·北京顺义·统考二模）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，AC是⊙O的直径．（1）求证：∠BAC=∠APB；（2）连接PO交⊙O于点D，若AC=6，cos∠BAC=，求PD的长．9．（2023·北京燕山·统考二模）如图，AB为⊙O的直径，BC为弦，射线AM与⊙O相切于点A，过点OOD∥BC交AM于点D，连接DC．(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)过点B作BE⊥AB交DC的延长线于点E，连接AC交OD于点F．若AB＝12，BE＝4，求AF的长．

参考答案1.（1）证明：连接，如图所示：∵的直径与弦CD相交于点E，且∴，∴，∵，∴，∴.∴∴是的切线；（2）解∵∴.∴在中，，∵解得：，∴，∴设则在中，∴∴.∴即的半径为4．2.【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角及菱形的性质得到点是的中点即可解答；（2）根据菱形的性质及全等三角形的判定得到，再根据全等三角形的性质得到，最后利用四边形的内角和及切线的判定即可解答．【小问1详解】解：连接，∵为的直径，∴，∴，∵四边形是菱形，∴，∴点是的中点，∴；【小问2详解】解：连接，∵四边形是菱形，∴，，∴在和，，∴，∴，∵是的直径，∴，∴，∵，∴在四边形中，，∴，∴，∴是的切线．3.（1）证明：∵PA是O的切线，切点为A，∴OA⊥PA.∴∠OAP90°.∴∠OAC90°－∠PAC.∵OAOC，∴∠OAC=∠OCA.∴∠AOC180°－2∠OAC.∴∠AOC2∠PAC.………3分（2）解：延长AC交PB于点D，过点O作OE⊥AC于E.∴∠OEC90°.∵OAOC，∴AEEC，∠AOE∠COE.∵∠AOC2∠PAC，∴∠AOE∠AOC∠PAC.∵AC6，O的半径为5，∴AEAC3.∴.∴cos∠AOE.∴cos∠PACcos∠AOE.∵PB是O的切线，切点为B，∴OB⊥PB.∴∠OBP90°.∵AC∥OB，∴∠ADB180°－∠OBP90°.∵∠OEC90°，∴四边形OEDB是矩形.∴EDOB5.∴ADAE+ED8.在△APD中，∠APD90°，∴AP.…………………6分4.（1）证明：连接，∵，∴∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴是的切线；（2）∵，∴，∵F为中点，∴，∵∴∴5.（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∵BD是⊙O的直径，∴∴∠1+∠ADB=90∘。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。∵∠F=∠ADE。，∴∠2+∠F=90°∴∠FDB=∴OD∵OD是半径，∴DF是⊙O的切线。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分（2）连接DC∵BD是⊙O的直径，∴∵BD平分∠ABC，∴DC=DA=4.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分∵∴CE=DE2∵∴∵∴∴EB=DE=5∴CB=3+5=8.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分∴DB=又∠FDB=∠DCB=90∘∴ΔFDB∼ΔDCB∴DF即DF∴DF=25。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6（其他解法酌情给分）6.（1）证明：连接OC.∵D是BC的中点，∴OD⊥BC.……1分∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB.∵∠BOD=∠BCF，∴∠BOD+∠OBC=∠BCF+∠OCB.∴∠BCF+∠OCB=90°.……2分即∠OCE=90°.∴OC⊥CE.∵OC⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线.……3分（2）解：∵∠OCE=90°，sinE=，∴.设OC=2k，OE=3k，则BE=OE-OB=k.∴AE=AB+BE=5k.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°∴∠ACB=∠ODB，∴AC∥OF.∴△EOF∽△EAC.……4分∴.∵AC=5,∴OF=3.……5分∵CD=BD,AO=BO,∴OD=AC=.∴DF=OF-OD=.……6分7.（1）证明：，，又∵AC，；（2）解：连接，∴∵，∴，∵弦于E∴在中，∴∴，，又∵AC，，∵OC是的半径∴直线为的切线．8.（1）证明一：如图，连接PO，交AB于点E．∵PA、PB为⊙O的切线，∴PA=PB，∠1=∠2=∠APB，∠PAO=90°．∴PE⊥AB，∠3+∠BAC=90°，∴∠PEA=90°．∴∠1+∠3=90°．∴∠BAC=∠1．∴∠BAC=∠APB．………………3分证明二：如图，连接OB．∵PA、PB为⊙O的切线，∴∠PAO=∠PBO=90°．∵∠PAO+∠PBO+∠P+∠1=360°，∴∠P+∠1=180°．∵∠2+∠1=180°，∴∠P=∠2．∵OA=OB，∴∠BAC=∠3．∵∠2=∠BAC+∠3，∴∠2=2∠BAC．∴∠P=2∠BAC．即∠BAC=∠APB．………………3分（2）解：∵cos∠BAC=，∴sin∠BAC=，∴sin∠1=，∵AC=6，∴AO=3，∴OP=5，∴PD=OP-OD=2．…………………6分9.(1)证明：如图，连接OC．∵AM与⊙O相切于点A，∴OA⊥AD．∵OD∥BC，∴∠1＝∠2，∠B＝∠3．∵OC＝OB，∴∠1＝∠B，∴∠2＝∠3．又∵OC＝OA，OD＝OD，∴△DOC≌△DOA，∴∠OCD＝∠OAD＝90°，即OC⊥DC．又∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线．……………3分(2)解：如图，连接OE．∵BE⊥AB，∴BE为⊙O的切线．∵EC也为⊙O的切线，∴EC＝EB．又∵OC＝OB，∴OE⊥BC．∵AB是⊙O的直径，AB＝12，∴OA＝OB＝6，∠ACB＝9