2023–2024学年人教版七年级数学下册专项复习：相交线与平行线 压轴专练（解析版）

第五章相交线与平行线（压轴题专练）

目录

【题型一平行线中含一个拐点问题】1

【题型二平行线中含两个拐点问题】...............................................................6

【题型三平行线中含多个拐点问题】...............................................................9

【题型四平行线中与平移的综合问题】.............................................................13

【题型一平行线中含一个拐点问题】

例题：如图，AB//CD,若NA=40。，NC=26。，贝|NE=

【答案】66。##66度

【详解】解：如图所示，过点E作砂〃

VEF//AB,AB//CD,

：.AB//CD//EF,

：.ZAEF=ZA=40°,ZCEF=ZC=26°,

：.ZAEC=ZAEF+ZCEF=66°,

故答案为：66°.

【变式训练】

1.如图，AB//EF,则/A,ZC,/E满足的数量关系是.

【答案】ZA+ZC+ZE=360°

【详解】如下图所示，过点C作CW/AS,

■:CD//AB,

・・・NA+NACO=180。(两直线平行，同旁内角互补)，

AB//EF,CD//AB,

：.CD//EF,

：.ZE+Zr>CE=180°(两直线平行，同旁内角互补),

・•・ZA+ZACD+NE+NOCE=360。，

・•・ZA+ZACE+NE=360。,

・••在原图中NA+NC+NE1=360°,

故答案为：ZA+ZC+ZE=360°.

2.已知：AB//EF,在平面内任意选取一点C.利用平行线的性质，探究NB、/F、NC满足的数量关系.

图形/B、/F、/C满足的数量关系

图⑴

图⑵

图⑶

图(4)

图(5)

图(6)

（1）将探究NB、NC、NP之间的数量关系填写下表:

（2）请选择其中一个图形进行说明理由.

【详解】（1）

解：NB、/C、之间的数量关系如下表：

图形乙8、NR/C满足的数量关系

图⑴ZB+ZF=ZC

图(2)ZF-ZB=ZC

图（3）ZB-ZF=ZC

图(4)ZB+ZF+ZC=360°

图(5)ZB-ZF=ZC

图⑹ZF-ZB=ZC

（2）

解：图（1）NC与48、//之间的数量关系是：NB+NF=/C.

图⑴

理由：过点C作CG〃48,

:./BCG=/B,

\'AB//EF,

：.CG//EF,

：.ZGCF=ZF,

：.ZBCG+ZGCF=ZB+ZF,

：.ZB+ZF=ZBCF；

图（2）/C与NB、NF之间的数量关系是：ZF-ZB=ZC.

G

A--------\

E------------------XF

图(2)

理由：过点C作。G〃A3,

：.ZBCG=ZB.

9：AB//EF,

：.CG//EF,

：.NGCF=NF,

：.NGCF-NBCG=/F-NB,

：.ZF-ZB=ZBCF；

图(3)NC与/B、/尸之间的数量关系是:ZB-ZF=ZC.

理由：过点。作CG〃AS

：.ZBCG=ZB,

'CAB//EF,

：.CG//EF,

：.ZGCF=ZF,

：.ZBCG-ZGCF=ZB-ZFf

：.ZB-ZF=ZBCF；

图(4)/C与/B、//之间的数量关系是:ZB+ZF+ZC=360°.

B

理由：过点。作CG〃A5,

.,.ZBCG+ZB=180°,

9：AB//EF,

：.CG//EF,

.*.ZGCF+ZF=180°,

ZBCG+ZB+ZGCF+ZF=180°+180°,

JZB+ZF+ZBCF=360°；

图(5)NC与/B、/尸之间的数量关系是：ZB-ZF=ZC.

图(5)

理由：过点。作CG〃AS

：.ZBCG=ZB,

'：AB//EF,

：.CG//EF,

：.ZGCF=ZF,

：.ZBCG-ZGCF=ZB-

：.ZB-ZF=ZBCF；

图(6)NC与/B、Nb之间的数量关系是：ZF-ZB=ZC.

B

理由：过点C作。G〃A3,

:・/BCG=/B,

9：AB//EF,

：.CG//EF,

：.NGCF=NF,

：.NGCF-NBCG=/F-NB,

：.ZF-ZB=ZBCF；

【题型二平行线中含两个拐点问题】

例题：如图所示，AB//CD.BEFD是AB、CD之间的一条折线，贝!]N1+N2+N3+N4=

【答案】540°

【详解】解：连接班）,如图,

JZABD+ZCDB=180°f

Z2+Z3+ZEBD+ZFBD=360°,

JZ2+Z3+ZEBD+ZFDB+ZABD+ZCDB=540°,

BPZ1+Z2+Z3+Z4=54O°.

故答案为：540°.

【变式训练】

1.如图，直线h//l2,若/1=40。，Z2比/3大10°,则/4=

【答案】30。##30度

【详解】解:过A点作〃直线"，过C点作CD〃直线⑵

.\Z5=Z1=4O°,Z4=Z8,

•.•直线11//12,

J.AB//CD,

/6=/7,

.*.Z2-Z3=10°,

VZ5+Z6=Z2,Z7+Z8=Z3,

.*.Z5+Z6-Z7-Z8=10°,

.,.40°-Z4=10°,

解得/4=30°.

故答案为：30°.

2.(1)如图①，如果A3〃CD,求证：ZAPC=ZA+ZC.

(2)如图②，CD,根据上面的推理方法，直接写出NA+NP+NQ+NC=.

(3)如图③，AB//CD,若=ZBPQ=y,ZPQC=z,ZQCD=m,贝！p"=(用无、y、

z表示).

・•・ZA=ZAPM,

PM//AB,AB//CD(已知)，

:.PM//CD,

：.NC=NCPM,

*/ZAPC=ZAPM+ZCPM,

JZAPC=ZA+ZC；

(2)如图，过点P作P石〃AB,过点。作。尸〃A3,

*：AB//DC,PE//AB,QF//AB,

:.AB//PE//QF//CD,

/.ZA+ZAPE=180°,NE尸Q+NPQ厂=180。，N/QC+NQCD=180。，

.・・ZA+ZAPQ+ZPQC+NC=540°,

故答案为：540°；

4------B

PC----------E

火——F

C----------D

(3)过点尸作尸石〃AB,过点。作。产〃45,

9

：AB//DC,PE//AB,QF//ABf

：.AB//PE//QF//CD,

：.ZB=ZBPE,ZQPE=ZPQFfZFQC=ZCf

：.NB+ZPQC=ZC+ZBPQ,

即x+z=m+y,

m-x+z-y,

故答案为：x+z-y.

【题型三平行线中含多个拐点问题】

例题：如图，直线贝UN2+/3+N4—/1—N5的度数为'

【答案】360

【详解】过E作E过G作GH〃C£),过加作MN〃C£),如图所示:

,SCD//AB,

：.EF//GH//MN//AB//CD,

：.Zl=ZBEF,/GEF+/EGH=180。,ZHGM+ZGMN=180°,ZNMC=Z5,

VZ2=ZBEF+ZGEF,Z3=ZEGH+ZHGM,Z4=ZGMN+ZNMC,

：.Z2+Z3+Z4-Z1-Z5=ZBEF+Z.GEF+ZEGH+ZHGM+Z.GMN+ZNMC-Z.BEF-ZNMC

=NGEF+ZEGH+ZHGM+ZGMN=360°.

故答案为：360.

【变式训练】

1.如图：

A

1

p2

图3

⑴如图1,k//l2,若/尸=65。，计算并直接写出NA+NB的大小.

⑵如图2,在图1的基础上，将直线PB变成折线尸QB,证明：2A+/8+/Q=/尸+180。

（3）如图3,在图2的基础上，继续将且线3。变成折现.请你写出一条关于Z1、/2,-3,14,N5

的数量关系（无需证明直接写出）

【详解】（1）

：.PE//R//l\

：.ZA=Z1,ZB=Z2

ZAPB=Z1+Z2=ZA+ZB=65°

BPZA+ZB=65°；

（2）

证明：过点尸、Q分别作/I和/2的平行线分别记为/3和/4

：.11//12//13//14

■J11//13（已知）

AZA=Z1（两直线平行，内错角相等）

VZ3/7/4（已知）

；./2=/3（两直线平行，内错角相等）

VZ2/7Z4（已知）

...N4+NB=180°（两直线平行，同旁内角互补）

，ZA+Z3+Z4+ZB=Z1+Z2+18O°

又：N1+/2=NP,N3+N4=NQ

(3)

解：如图，分别过尸，Q,M作尸C〃/1,QD//l\,ME//II,

图3

,/lA//12,

：.PCIIQDIIMEIIIJII,

：.Z1=ZAPC,ZQPC=ZPQD,ZDQM=ZEMQ,ZEMB=Z5,

：.Z2=Z1+ZPQD,Z4=Z5+ZDQM,

：.Z2+Z4=Z1+ZPQD+Z5+ZDQM=Z1+Z3+Z5,

.\Z1+Z3+Z5=Z2+Z4.

2.猜想说理：

(1)如图，AB//CD//EF,分别就图1、图2、图3写出—A,ZC,NAFC的关系，并任选其中一个图

形说明理由：

拓展应用：

（2）如图4,若4B〃C£>,则NA+NC+NA尸C=度；

（3）在图5中，若请你用含〃的代数式表示N1+N2+N3+N4+…+N〃的度数.

【详解】解：（1）如图1：ZA+ZC=ZAFC,

如图2：ZA-Z.C=ZAFC,

如图3：ZC-ZA=z<AFC,

如图1说明理由如下：

AB//CD//EF,

：.ZA=ZAF£,NC=NEFC,

：.ZAA-ZC=ZAFE+ZEFC,

即NA+NLNAFC；

过尸作EF/〃AB,

ZA+ZAFH=180°,

又：AB//CD,

：.CD//FH,

：.NC+NCFH=180。，

ZA+ZAFH+ZC+ZCFH=360°,

即ZA+ZC+ZAFO=360°；

故答案为：360；

(3)如下图：AB//CD,

AB//CD,

：.AB//EG//FH//CD,

：.ZA+ZAEG=180o,ZGEF+ZEFH^L80°,ZHFC+ZC=180°,

ZA^ZAEG+ZGEF+ZEFH+ZHFC+ZC=180°x3,

即ZA^~ZAEF+ZEFC+ZC=540°；

综上所述：

由当平行线AB与CD间没有点的时候，ZA+ZO=180°,

当A、C之间加一个折点厂时，ZA+ZAFC+ZC^2xl80°；

当A、C之间加二个折点E、尸时，则NA+/AEF+NEFC+NC=3xl80。；

以此类推，如图5,\B//A,tD,

当A、A之间加三个折点儿、4、4时，

=4x180

则ZA+ZA+ZA,+ZA4+Z4°；

当4、4之间加〃个折点4、4、…4T时，

则Z4+Z4+N4+…/4=5-1）x180°,

即Z1+Z2+Z3+Z4+L+Zn的度数是（"-1）x180。.

【题型四平行线中与平移的综合问题】

例题：（2023下•全国•八年级假期作业）如图，线段AB,BC被直线AC所截，D是线段AC上的点，过点。

作。连接AE,NB=NE.将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ,连接

（1）求证：AE//BC；

⑵若ZE=75。,DELDQ,求/。的度数.

【答案】(1)见解析

(2)/0=15。

【详解】解：(1)证明：.•.NB4E+/E=180。.

；NB=NE,ZBAE+ZB=180°,:.AE//BC.

(2)如图，过点。作。尸〃AE交AB于点R贝!]?E?EDF180?.

,/ZE=75°,ZEDF=180°-NE=105°.

由平移的性质，得PQ〃AE,

DF//PQ,ZFDP=ZDPQ.

DE±DQ,:.NEDQ=90°,

ZFDQ=360°-105°-90°=165°.

ZFDQ=ZFDP+NQDP,

ZDPQ+ZQDP=ZFDQ=165°,

ZQ=180°-165°=15°.

【变式训练】

1.(2023下•陕西咸阳•八年级统考期中)如图，将AABC沿BC的方向平移得到ADEF.

⑴若N3=74。，求NDEF的度数；

(2)若BC=3cm,EC=2cm,求AABC平移的距离.

【答案】(1)74。

(2)1cm

【分析】（1）根据平移的性质，得到对应角相等，即可得解；

（2）根据3E=3C-EC,求出BE的长，即为AABC平移的距离

【详解】（1）解：将AABC沿BC的方向平移得到ADEF,

/DEF=/B=74。；

（2）解：BC=3cm,EC=2cm,

:.BE=BC—EC=lcm,即：A4BC平移的距离为1c机.

【点睛】本题考查平移的性质，熟练掌握平移的性质，是解题的关键.

2.（2023下•江苏淮安•七年级校联考期中）如图，将AABC沿射线的方向平移2个单位到ADEF的位置,

点A、B、C的对应点分别点。、E、F.

(1)若AB=3,贝！|AE=.

⑵若ZABC=75。，求/CFE的度数.

【答案】(1)5

(2)105°

【分析】（1）根据平移的定义可知BE=2,进而可知AE=5；

（2）根据平移的性质可知3c〃跖，AE//CF,再利用平行线的性质解答即可.

【详解】（1）解：：将AABC沿射线AB的方向平移2个单位到AD即的位置，

BE=2,

,/AB=3,

AE=BE+AB=2+3^5,

故答案为5；

（2）解：由平移的性质可知：BC//EF,AE//CF,

：.ZE=ZABC,ZE+ZCfE=180°,

*.•/ABC=75°,

ZE=75°,

ZCFE=180°-ZE=180°-75°=105°.

【点睛】本题考查了平移的性质，平移的定义，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键.

3.（2023下•江西南昌•七年级统考期末）将三角形ABC沿射线AM方向平移到三角形的位置.

图1图2备用图

⑴如图1,当点。与点B重合时.

判断：ZBFENCBF；（用填空）

（2）如图2,当点。与点8不重合时，连接M,CT.试探究/ACB,ZCBF,NBED三个角之间的数量关

系，并证明你的结论.

【答案】（1）=

（2）ZACB=NCBF+NBFD或ZACB=/CBF—NBFD,见解析

【分析】（1）根据平移的性质得出结论；

（2）根据点。的位置可分为点D在点B左边和点。在点B右边两种情形，利用平行线的性质得出结果.

【详解】（1）解：=,理由如下：

,/三角形。跖是由三角形平移得到，

BC//EF,

：.NBFE=NCBF；

（2）解：根据点。的位置可分为两种情形，

①若点D在点B左边，如图.

由平移的性质可得：AC//DF,BC//EF,ZACB=ZDFE,

BC//EF,

：.ZBFE=ZCBF,

ZACB=ZCBF+NBFD.

②若点。在点8右边，如图:

由平移的性质可得：AC//DF,BC//EF,ZACB=ADFE,

'：BC//EF,

：.NBFE=NCBF,

：.ZACB=ZCBF-NBFD.

【点睛】本题主要考查图形的平移和平行线的性质，灵活运用这些性质和特点是解题的关键.

4.(2023下•河北邢台•七年级校考期末)如图1,AB,被直线AC所截，4=72。，过点A作AE〃8C,

。是线段AC上的点，过点。作交AE于点E.

⑴求一E的度数；

(2)将线段AE沿线段AC方向平移得到线段PQ,连接.

①如图2,当ZEE>Q=45。时，求/。的度数；

②如图3,当NED0=9O。时，求/Q的度数；

③在整个平移过程中，是否存在N£»Q=3/Q?若存在，京段写出此时/即0的度数，若不存在，请说明

理由.

【答案】⑴ZE=72°

(2)①NQ=27°；②NQ=18°；③存在，N£»Q=54。或/矶)Q=108°

【分析】(1)利用平行线的性质得N54E+/3=180。，ZE+ZSAE=18O°,根据同角的补角相等可得答案；

(2)①如图1中，过点。作DFV/AE,则NEDP=NE=72。，再证明。尸〃PQ,根据平行线的性质可得

答案；

②如图3中，过点。作。/〃AE,则N即尸=NE=72。，再证明。尸〃尸Q,根据平行线的性质可得答案即

可求解；

③分两种情形：图2,图3分别求解即可.

【详解】(1)VAE//BC,

：.ZR4E+ZB=180°.

•:DE〃AB,

：.ZE+Z^AE=180。,

：・4E=/B=7T；

(2)①如图2,过点。作。尸〃AE,

・•・/EDF=NE=72。,

：.ZFDQ=ZEDF-ZEDQ=72°-45°=27°.

VPQ//AE,DF//AE,

：.DF//PQf

：.ZQ=ZFDQ=27°.

②如图3,过点。作。方〃AE,

・•・ZEDF=ZE=72°f

；.ZFDQ=ZEDQ-ZEDF=90°-72°=18°.

・.・PQ//AE,

:.DF//PQ,

：.ZQ=ZFDQ=18°-

③存在，ZED。=54。或NE。。=108。.

如图2,当/£OQ=3NQ时，

由①知，3NQ+NQ=72。，ZQ=18°f

.・・NE。。=54。；

如图3,当NEZ)Q=3NQ时，

由②知，3NQ=NQ+72。，NQ=36。，

NED。=108。

图2图3

【点睛】本题考查了平移性质、平行线的性质，角的和差等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构

造平行线解决问题，并学会用分类讨论的思想思考问题.

5.（2023下•福建泉州•七年级统考期末）如图，将线段平移得到CD,使A与。对应，5与C对应，连

接A。，BC.

⑴求证：ZB=ZADC；

（2）点G在3C的延长线上,点C与C'关于直线DG对称,直线DC'交BC的延长线于点E.点、F在线段CE上,

且NDFE=NEDF.

①设/3=a,求NEDG的度数（用含a的代数式表示）;

〜丁巾CGCD

②证明：=

GEDE

【答案】（1）证明见解析

（2）①NEDG=；a；②证明见解析

【分析】（1）根据平移的性质可知AD〃3C,AB//CD,再利用平行线的性质可知NADC=/3；

（2）①根据平行线的性质及对称的性质可知NADC=2NFDG,进而可知/尸。6=］。；②根据对称的性质

2

可知△COG的面积与ADGC的面积相等，再利用等面积法可知三=一.

GEDE

【详解】（1）证明：将线段A3平移得到8,使A与。对应，8与C对应，

.••由平移性质知AT>〃3C,AB//CD,

：.ZADC=ZDCF,ZB=ZDCF,

：.ZADC=ZB；

（2）①解：：由（1）知AD〃5C,

:.AADF=ZDFE,

•：NDFE=NEDF,

:.ZADF=ZEDF,

VZEDF=ZFDG+ZEDG,ZADF=ZADC+ZCDF,

:.ZADC+NCDF=NFDG+/EDG,

由对称性质知，NCDG=NEDG,

：.ZEDG=/CDF+ZFDG,

JZADC+/CDF=/FDG+/CDF+/FDG,

；・ZADC=2NFDG,

VZB=a,ZADC=ZB=a,

：.ZFDG^-a；

2

AD

BCFGE

②证明：过G作GM_LOC于"，GN工DE于N,并连接GC',

.•.由对称性质知，ACDG的面积与△DGC'的面积相等，CD=dD,

'：S.cnr=-CDGM,S.cnr.=-C'DGN,

GM=GN,

,△EDGLDEGNDE

2

过O点作。石于点H,

s-CGDH

则VCDG=2=上rr±

SgDG%EDHge

2

.CGCD

，9~GE~~DE"

AD

【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，轴对称的性质，掌握平移的性质及轴对称的性质是解题

的关键.

6.(2023下•北京海淀•七年级期末)如图，已知线段AB,点C是线段A3外一点，连接AC,

ZC4B=«(90°<a<180°).将线段AC沿AB平移得到线段2D.点尸是线段A3上一动点，连接PC,PD.

图1备用图

(1)依题意在图1中补全图形，并证明：ZCPD=ZPCA+ZPDB；

(2)过点C作直线/〃尸£).在直线/上取点使=

①当々=120。时，画出图形，并直接用等式表示N3DM与/应>尸之间的数量关系