2024-2025学年湖北重点学校高二数学上学期9月联考试卷（附答案解析）

2024-2025学年湖北重点学校高二数学上学期9月联考试卷

时长：120分钟满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.已知复数（1+1）（2+加）在复平面内对应的点位于第二象限，则实数用的取值范围为（）

A.（-2）B.（2,+co）C.（-oo,-2）D.（-2,2）

2.平行六面体ABCD—4与£。1中，。为4G与BQ交点，设AB=方,AZ）=Z?,=},用苕，瓦不

表示前，则（）

A.BO=a-b+—cB.BO=a+—b~cC.BO=——a+b+cD.BO=——a+—b+c

22222

3.被誉为“湖北乌镇，荆门丽江”的莫愁村，位于湖北省钟祥市.高高的塔楼，是整个莫愁村最高的建筑，

登楼远跳，可将全村风景尽收眼底.塔楼的主体为砖石砌成的正四棱台，如图所示，上底面正方形的边长

约为8米，下底面正方形的边长约为12米，高约为15米，则塔楼主体的体积（单位：立方米）约为（）

A2400B.1520C.1530D.2410

4.某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互

32

不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为一，在实验操作中结果为优秀的概率为一，则该同学在

43

这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（）

7151

A.—B.-C.—D.一

122123

5.已知）=（-1,9,1）卮=（——3,2）卮=（0,2,1）,若忖，后，可不能构成空间的一个基底，则根=

（）

A.3B.1C.5D.7

6.设VABC的内角ASC的对边分别为且4+/+必=/,若角。的内角平分线。恢=2,

1

则就•国的最小值为（）

A.8B.4C.16D.12

7.抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记录骰子朝上面的点数，若用x表示红色骰子的点数，用

y表示绿色骰子的点数，用（尤,y）表示一次试验结果，设事件E:x+y=8；事件尸：至少有一颗点数

为5；事件G:尤＞4；事件”：y«4.则下列说法正确的是（）

A.事件E与事件/为互斥事件B.事件厂与事件G为互斥事件

C.事件E与事件G相互独立D.事件G与事件〃相互独立

8.现有一段底面周长为12兀厘米和高为12厘米的圆柱形水管，是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水

管内壁爬行，一只从A点沿上底部圆弧顺时针方向爬行兀厘米后再向下爬行3厘米到达尸点，另一只从

3沿下底部圆弧逆时针方向爬行兀厘米后再向上爬行3厘米爬行到达。点，则此时线段尸。长（单位：

厘米）为（）

3旌J二度……J二:

A.672B.6A/3C.6D.12

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.有一组样本数据石,々,…其平均数、中位数、标准差、极差分别记％,4，。,4.由这组数据得到

新样本数据%，为，…，"，其中X=2^-2024（Z=1,2,...,«）,其平均数、中位数、标准差、极差分别记

为CL]，4,C?,d?，则（）

A,电二？1-2024B.b?=b[C,c2=2qD.d2=2dx

10.设Qx,0y，Oz是空间内正方向两两夹角为60。的三条数轴，向量,，晟，•分别与％轴、V轴.z轴方向

同向的单位向量，若空间向量少满足方=xq+*2+z6（羽V，z£R）,则有序实数组（x,y,z）称为向量五

2

在斜60°坐标系Ox”（。为坐标原点），记作方=（x,y,z）,则下列说法正确的有（）

A.已知商=（1,2,3）,则间=5

B.已知江=（-1,2,1）,5=（2,T,—2）,则向量2〃5

C.已知少=（3,-1,2）石=（1,3,0）,则30=0

D.己知函=（1,0,0）,砺=（0,1,0）,元=（0,0,1）,则三棱锥O—A5c的外接球体积丫=的

11.在圆锥尸。中，PO为高,A3为底面圆的直径，圆锥的底面半径为夜，母线长为2,点C为

的中点，圆锥底面上点M在以AO为直径的圆上（不含A。两点），点〃在尸M上，且？ALQW,

当点Af运动时，则（）

A

A.三棱锥M-B4O的外接球体积为定值

B.直线CH与直线Q4不可能垂直

C.直线与平面上4"所成的角可能为60°

D.AH+HO<2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知3i-l是关于x的实系数方程3/+2px+q=0的一个根，则实数P的值为__________.

13已知向量万万满足同=2,网=1,万+25=（20,1）,则cos1,B

2122

14.NABC内角AB,C的对边分别为a,瓦c,若&sinC—a—b=aI，且VA3C的面积

2b

为¥^（a+b+c），则2a+Z?的最小值为______.

四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分,第18、19小题17分，共77分.解答

应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

3

15.VABC的内角A6C的对边分别为a，0，c，已知（2c—Z?）cosA—acosB=0

（1）求A；

（2）若点〃在3c上，且满足丽=祕,AM=2,求VA3C面积的最大值.

16.某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答,

现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图

所示的频率分布直方图.

（1）根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；

（2）成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为

多少分；

（3）已知落在［60,70）内的平均成绩为67,方差是9,落在［60,80）内的平均成绩是73,方差是29,求

落在［70,80）内的平均成绩和方差.

（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：加,记两组数据总体的样本平

均数为何，则总体样本方差—访）［+——刃）1）

17.如图，在长方体—中，AD=AAI=1,AB=2,点E在棱AB上移动.

DiG

AEB

（1）当点£在棱A3的中点时，求平面。EC与平面OCR所成的夹角的余弦值；

（2）当AE为何值时，直线4。与平面QEC所成角的正弦值最小，并求出最小值.

4

18.甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”游戏(剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀)，规定每局中：①三人

出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得2分，输者负1分；③三人出现三种手

势均得。分.当有人累计得3分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受

影响.

(1)求甲在一局中得2分的概率片；

(2)求游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率己；

(3)求游戏经过两局就结束的概率6.

19.在空间直角坐标系。一孙z中，己知向量力=(a,/?,c),点发(Xo，%,zo).若直线/以日为方向向量且

经过点兄，则直线/的标准式方程可表示为23=匕%==1(口加wo)；若平面々以方为法向量

abc

且经过点《，则平面a的点法式方程表示为a(x-Xo)+〃(y-yo)+c(z-Zo)=O.

,x-1

(1)已知直线I的标准式方程为--~，平面%的点法式方程可表示为A/3X+y-z+5=0,

求直线/与平面四所成角的余弦值；

(2)已知平面的点法式方程可表示为2x+3y+z—2=0,平面外一点,点P到平面见的

距离；

(3)(i)若集合Af={(x,y,z)||x|+|y|W2,|z|Wl},记集合”中所有点构成的几何体为S,求几何

体S的体积；

(ii)若集合N={(羽y,z)|N+Nw2，N+忖42,忖+凶42}.记集合N中所有点构成的几何体为T，

求几何体：T相邻两个面(有公共棱)所成二面角的大小.

5

【答案】

1.B

【分析】化简得。+讥2+疝）=（2—m）+O+2）i,根据题意列出不等式组求解即可.

【详解】解：因为（l+i）（2+疝）=（2—帆）+（加+2）i,

又因为此复数在第二象限,

2-m<0

所以《解得m>2.

m+2>0

故选：B.

2.D

【分析】由平行六面体的性质和空间向量的线性运算即可求解;

【详解】如图:

由平行六面体的性质可得

丽=丽+丽=丽+3丽=丽+：（正—砌=^+/—力_；万+；5+3

故选：D.

3.B

【分析】根据题意，利用棱台的体积公式，准确运算，即可求解.

【详解】由题意，正四棱台上底面边长约为8米，下底面边长约为12米，高约为15米，

可得正四棱台的上底面面积为64平方米，下底面面积为144平方米，

则塔楼主体的体积约为V=；（64+144+&心而）x15=1520立方米.

故选:B.

4.C

【分析】根据独立事件的概率公式与互斥事件的概率加法公式可求概率.

【详解】根据题意可得该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为：12+—31=5

434312

6

故选：c.

5.B

【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果.

【详解】若何，石，区｝不能构成空间的一个基底，

,%％共面，

，存在使“二丸%

-1=2m+0

即<9=—34+2〃，

1=22+//

2=-1

解得4=3,

m=l

故选：B.

6.A

【分析】先根据结合余弦定理求。，再根据S.”C=SMCM+S-CM，结合面积公式

得至IJ

ab=2(b+a)>4j^b,进而求出ab的最小值，再根据数量积定义求大•丽.

222

【详解】ma+b+ab=c^

|9jr1jr1jr

由SAM=S△/A1VC-2KMI+SBCM，所以一absin-3=—bCMsm—3+—aCMsin—3,

化简得到他=2万+2〃，

所以=2(Z?+Q)N,则次?216,当且仅当a=Z?=4时，等号成立,

7

所以北.砺=|前八丽

所以前•画的最小值为8.

故选：A.

7.D

【分析】分别写出事件E、F、G、//所包含的基本事件，根据互斥事件的定义判断A,B；根据独立

事件的定义判断C,D.

【详解】解:由题意可知E={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}；

R={(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(6,5)}；

G={(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}；

H={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4)}；

对于A,因为EcF=｛（3,5）,（5,3）｝,所以事件E与事件厂不是互斥事件，故错误;

对于B,因为Gc/={(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5)},所以事件G与事件E不是互斥事

件，故错误；

512121

对于C,因为£cG={(5,3),(6,2)},P(E)=——，P(G)=——=—,P(EcG)=——=—wP(E)P(G),

363633618

所以事件石与事件G不相互独立，故错误；

对于D,因为GcH={(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4)},

242121Q2

寸P(HnG)=—=-=P(H)P(G),

所以事件E与事件G相互独立，故正确.

故选：D.

8.A

【分析】根据已知条件建系结合弧长得出角及点的坐标，最后应用空间向量两点间距离计算.

【详解】应用圆柱的特征取上下底面的圆心50,为z,y轴，再过。作08的垂线为x轴，如图建

系，

过。向圆。作垂线垂足为储，BQ^71,设圆。半径为r,2口=12兀，所以r=6,

8

所以血=/BOQ】x6=乐/BOQ】屋,则Q(3,-360),Q@,-363

同理，过尸向圆O作垂线垂足为B，则网—3,—3百,0),网—3,—36,9),

所以|尸@=^(3+3)2+02+(9-3)2=6^/2.

9.ACD

【分析】根据新旧数据间样本的数字特征的关系对选项进行分析，从而确定正确答案.

[详解】依题意，平均数%=24-2024,中位数4=2々—2024,标准差c2=2q,极差4=2”,

所以ACD选项正确，B选项错误.

故选：ACD

10.AB

【分析】先明确同=同=同=i,.根据同2=(万『求同，判断A的真假;

根据石=-22判断B的真假；计算判断C的真假；判断三棱锥O-A5c的形状，求其外接球半径

及体积，判断D的真假.

【详解】由题意：k=同=同=1，ei-e2=ei'e3=e2'e3=~-

对A：因为a=,+2%+303=1©=(ei+2e2+3%J-ex+4e2+9%+46・4+6,・6+124♦%

=1+4+9+2+3+6=25,所以同=5.故A正确；

对B：因为£=—[+2晟4=2]—4区—2豆，所以吞=—22,所以£//九故B正确；

对C：4=3,-62+263，B=G+3C2，

因为g=(3q一6+203)(6+36)=3e：+9,/%-3e：+2q-e3+6e2-e3

9

91

=3+-------3+l+3=8wO,故C错误;

22

对D：由题意，三棱锥O-ABC是边长为1的正四面体.如图:

过。作平面ABC,垂足为E，则E在VA3C的中线AD上，且M:£D=2:1,

因为HABC=手，AD=^,所以AE=g，=

设正四面体O—ABC外接球球心为G,则点G在OE上，且G亦为正四面体O—ABC内切球球心,

设GO=R,GE=r.

R+r=r-

则3=R=旦,

R2=r2+-4

3

所以正四面体O—ABC外接球的体积为：丫=3兀/=±兀^3=，|兀故口错误.

338

故选：AB

11.AD

【解析】

【分析】由条件结合线面垂直判定定理证明平面POM，由此证明再证明点。为

三棱锥M-PAO的外接球球心，判断A,证明PA，平面Q7/C,由此证明Q4，CH,判断B；证明（9〃，

平面Q4",由此可得NQ4H为直线与平面HU/所成的角，解三角形求其正弦，判断C,证明

OH±AH,解三角形求AH+HO,结合基本不等式求其范围，判断D.

详解】连接

对于A,易知POL平面AMB,AMu平面AMB,所以

因为点〃在以AO为直径的圆上（不含A、。），

所以OM[}PO=O,OMu平面POM,POu平面POM,

io

所以AM_L平面POM,又？Mu平面。。”，

所以又POJLAO,C为E4的中点，PA=2,

所以CO=C4=CP=CM=1,

所以点C为三棱锥M-PAO的外接球的球心，

所以三棱锥M-Q4O的外接球的半径为r=1,

所以三棱锥M-Q4O的外接球体积为定值，A正确；

由已知，PO±AO,PA=2,AO=0，

所以P0=百―（旬2=yf2=AO

所以APQ4为等腰三角形，连接OC,又C为Q4的中点，故上4LOC,

又FALOH,OHcOC=O,OHu平面OHC,OCu平面。77C,

则上4_L平面OHC,又CHu平面OHC,所以K4LCH,故B错误.

因为平面PQW,又OT/u平面PQW,所以AM_LOH,

又PA_LOH,PA^\AM=A,40u平面Q4M，B4u平面Q4V,则OH，平面上4",

所以。4在平面上4"上的射影为AH,

所以NQ4H为直线。4与平面Q4"所成的角，

设OM=x,则PM72+X1,又=

所以0"

•/八〃x

所以sinNOA4H=万0H1

V2+x2

令NOAH=60°，则/:—~~>解得x=R，

41^2

即0M=C，与0M<Q4矛盾，C错误；

对于D中，因为平面,AHu平面B4",

后

所以OHJ_AH,又OH—,-,OA=^2，

V2+x2

2%22

所以A〃=j2-

11

所以AH+H°=②+占。…'

由基本不等式可得<一~，即0+x<夜，2+%2，

所以AH+HO<2,D正确.

故选：AD

【点睛】关键点点睛：解决多面体的外接球问题的关键在于由条件确定其外接球

的球心的位置，由此确定外接球的半径.

12.3

【分析】将3i—1代入方程3/+2px+q=0求解即可.

【详解】3i—1代入方程3必+2川+乡=0,

得3（3i_iy+2p（3i_l）+q=0,

化简得（―24—2p+q）+（6p—18）i=0,

f-24-2p+q=0

故《

[6p-18=0

P=3

解得＜

a=30

故填：3

13.-##0.125

8

【分析】先利用坐标运算求解卜+2同=3,根据数量积的运算律结合模的公式列式求得小5=；,从而

利用数量积的定义求解即可.

【详解】因为商+26=（2衣1）,所以%|=J（2点了+仔=3,

又同=2利=1，所以卜+2^卜加+2q=y/a2+4b2+4a-b=^8+4a-b=3.

12

一1一亍a-b1

所以展6=1,所以80出》=1雨=W.

故答案为：—

8

14.6+2行

【分析】根据三角恒等变换以及余弦定理可得C=g,即可利用面积可得2〃—“+2）a+2f—3=0有

根，即可利用判别式求解.

【详解】由布asinC-a-b=-------------可得2也absinC-2ba-2b2=a2-b2-c2，

2b

即l^absmC-2ba=a2+b2-c2=2〃。cosC，

由于w0,故^/3sinC-cosC=l=>sin[c，-—j=—,

,十一/八\,,一兀/兀5兀।_.兀7C,,_7C

由于。£（0,兀），故。一:£一，因此。一一二:，故。=一,

666J663

(J2+b2—C2127227

cosC=--------------=——a+b-c=ab

2ab2

VABC的面积为+Z;+c),故+Z?+c)=；〃bsinCna+b+c=ab,

由于c=ab-a-b>a-b=b>2,c=ab-a-b>b-a^a>2,

故2〃+b>6,

将。=〃/?-〃一/?代入+廿-c1=曲可得a?+b2-^ab-a-b^-ab,

化简得+3=2(〃+/?),

将其代入ab+3=2(〃+Z?),且可得24—。+2)a+2/-3—0,

则△=(产+4r+4)-8⑵-3)20,解得噂6+20，或0</«6-2忘，(舍去)

故最小值为6+20.

故答案为：6+2A/2

【点睛】关键点点睛：由ab+3=2(a+b)可得2〃—”+2)a+2f—3=0有实数根，利用判别式求解.

13

15.(1)-(2)生旦

33

【分析】(1)利用正弦定理、三角恒等变换，结合三角形内角的取值范围、特殊角的三角函数值求解即

可；

(2)利用向量的线性运算、余弦定理、基本不等式、三角形面积公式即可求解.

【小问1详解】

・.・(2c-b)cosA-QCOs5=0,

由正弦定理得(2sinC-sinB)cosA-sinAcosB=0,

/.2sinCcosA-(sinBcosA+cosBsinA)=0,

2sinCcosA-sin(A+i?)=0,

.*.2sinCcosA=sinC,

E.ECG(0,TI),

..sinCwO,

A1

cosA=一,

2

,.eAG(0,TI),

4兀

A——.

3

【小问2详解】

:BM=MC^

:.AM=^(AB+AC),

----21--->2---►----►----2

:.AM=-(AB+2ABAC+AC),

又AM=2,

/.4=(c2+Z?2+2bc-cosy),

16=c2+b2+bc>2bc+bc=3bc，

14

：.bc<—,当且仅当6=c=述时，等号成立，

33

:.^ABC的面积S--Z?csinA<—X—X—,

22323

16.(1)平均数为71,众数为75.(2)88.(3)平均数为76,方差为12.

【解析】

【分析】(1)在频率分布直方图中，平均数等于每组的组中值乘以每组的频率之和；众数是最高矩形横

坐标的中点，据此求解.

(2)依题意可知题目所求是第90%分位数，先判断第90%分位数落在哪个区间再求解即可；

(3)先求出每组的比例，再根据分层随机抽样的平均数及方差求解即可.

【小问1详解】

一至六组的频率分别为0.10,0.15,0.15,0.30,0.25,0.05,

平均数=45x0.10+55x0.15+65x0.15+75x0.30+85x0.25+95x0.05=71.

由图可知，众数为75.

以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩平均数为71分，众数为75分.

【小问2详解】

前4组频率之和为Q10+0.15+0.15+0.30=0.70<0.90,

前5组的频率之和为0.70+0.25=0.95>0.90,

第90%分位数落在第5组，设为x,则0.70+(x—80)x0.025=0.90,解得光=88.

“防溺水达人”的成绩至少为88分.

【小问3详解】

[60,70)的频率为0.15,[70,80)的频率为0.30,

所以[60,70)的频率与[60,80)的频率之比为|

Vz■.LI\J.J\JJ

15

n9

[70,80）的频率与[60,80）的频率之比为一炉一=-

0.1I0•0

设[70,80）内的平均成绩和方差分别为,

12——

依题意有73=—><67+—*%2，解得修二76,

332

29=-X[9+（67-73）2]+-XP^+（76-73）21,解得s；=12,

33--

所以[70,80）内的平均成绩为76,方差为12.

17.1）亚

6

（2）当AE=2时，直线4。与平面REC所成角的正弦值最小，最小值为半

【解析】

【分析】（1）以。为坐标原点，”,DC所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面QEC

的一个法向量，平面DC，的一个法向量，利用向量法可求平面，EC与平面所成的夹角的余弦

值；

（2）设4£=和，可求得平面。EC的一个法向量，直线的方向向量区，利用向量法可得

"扫2蓝+『可求正弦值的最小直

【小问1详解】

以。为坐标原点，DA,DC,DDX所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

当点E在棱A3的中点时，则。(0,0,1),E(l,l,0),C(0,2,0),D(0,0,0),A(l,0,0),

贝U函=EC=(-1,1,0),DA=(1,0,0),

设平面REC的一个法向量为n=(x,y,z)，

16

n-ED=_%_y+z=0

则〈一.}，令x=l,则y=l,z=2,

n-EC=-x+y=O

所以平面AEC的一个法向量为3=(1,1,2),

又平面DCDj的一个法向量为DA=(1,0,0)，

/W176

所以cosDA,n=__=I-=—，

|DAI-!n|A/1+1+4x16

所以平面DXEC与平面DCD,所成的夹角的余弦值为逅；

【小问2详解】

设AE=m,

则2(0,0,1),E(l,m,0),C(0,2,0),D(0,0,0),4(1,0,1),

则函=1),EC=(-1,2-m,0),(0<m<2),两=(1,0,1),

设平面£>]EC的一个法向量为“=(%,%z)，

n-ED,=-x-my+z=0

则，_,',令y=l,则x=2—m,z=2,

n-EC=-x+(2-m)y=0

所以平面'EC的一个法向量为7=(2—九1,2),

设直线4。与平面D}EC所成的角为8,

|n*DAi|_\2-m+2\4-m

则sin0=

向・l西IJ(2-加)2+1+4x7171,2(2f+10

令4一根=才£[2,4],

]

sin3=/-----=/

则2y+10—8/+18

17

当f=2时，sin。取得最小值，最小值为典.

5

124

18.（1）-（2）—（3）-

3819

【分析】（1）根据题意可画出树状图，得到甲得2分情况有9种，从而可求解；

（2）游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种：①第一局甲得2分，第二局甲得1分,

则第一局乙丙得负一分，第二局得1分，②第一局甲得1分，第二局甲得2分，则第一局乙丙得1分，

第二局乙丙得负1分，然后求出每种情况的概率从而可求解；

（3）游戏经过两局就结束总共有4种情况：①仅1人得3分，②有2人得分为3分，③仅1人得4分,

④有2人分别得4分，然后求出每种情况的概率从而可求解.

【小问1详解】

根据题意，画出树状图，如图：

布

M7J石头布

mjj石头布石头布翦刀石头布

所以每局中共有27种情况，其中甲在一局中得2分的情况有（出手势顺序按甲乙丙）：

（剪刀、剪刀、布）、（剪刀、布、剪刀）、（剪刀、布、布）、

（石头、石头、剪刀）、（石头、剪刀、石头）、（石头、剪刀、剪刀）、

（布、布、石头）、（布、石头、布）、（布、石头、石头）、

91

一共有9种情况，所以甲在一局中得2分的概率《=方=§.

【小问2详解】

游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种：

①第一局甲得2分，第二局甲得1分：

则乙第一局得负1分，第二局得1分；则丙第一局得负1分，第二局得1分；

由（1）中树状图可知满足情况有：

18

第一局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、

第二局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头）

331

此时概率为—X—=—种情况,

272781

②第一局甲得1分，第二局甲得2分，则第一局乙丙得1分，第二局乙丙得负1分,

则乙第一局得1分，第二局得负1分；则丙第一局得1分，第二局得负1分;

由（1）中树状图可知满足情况有：

第一局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头）

第二局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、

................331

此时概率为-x—=一

272781

综上所述：游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率£=&+&=二.

818181

【小问3详解】

游戏经过两局就结束总共有4种情况：

29

①仅1人得3分，记事件为4则「（4）=而乂3=力；

2

②有2人得分为3分，记事件为P（B）=3xAXAX

2727227

③仅1人得4分，记事件C：

331

一人得4分,另两人各负2分：3x——x——

272727

3/3、4

一人得4分，一人得负2分，一人得1分：3x—x—x2x2=—

27I27J27

3