2025年高考数学一轮复习：基本不等式及其应用（十八大题型）（练习）（原卷版）

第04讲基本不等式及其应用

目录

01模拟基础练..................................................................................3

题型一：基本不等式及其应用....................................................................3

题型二：直接法求最值..........................................................................4

题型三：常规凑配法求最值......................................................................4

题型四：化为单变・法..........................................................................4

题型五：双换元求最值..........................................................................4

题型六：“1”的代换求最值.......................................................................5

题型七：齐次化求最值..........................................................................5

题型八：利用基本不等式证明不等式..............................................................5

题型九：利用基本不等式解决实际问题............................................................6

题型十：与a+b、平方和、成有关问题的最值....................................................7

题型十一：三角换元法..........................................................................8

题型十二：多次运用基本不等式..................................................................9

题型十三：待定系数法..........................................................................9

题型十四：多元均值不等式......................................................................9

题型十五：万能K法...........................................................................10

题型十六：与基本不等式有关的恒（能）成立问题...................................................10

题型十七：基本不等式与其他知识交汇的最值问题.................................................10

题型十八：整体配凑法..........................................................................11

02重难创新练.................................................................................11

真题实战练....................................................................................13

题型一：基本不等式及其应用

1.（2024•高三•安徽芜湖•期末）《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成

了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称

之为无字证明.现有如图所示的图形，点/在半圆O上，且。尸，A5,点C在直径A3上运动.作

交半圆。于点。.设AC=a,BC=b,则由产C2CD可以直接证明的不等式为（）

A.(<7>0,Z?>0)B.a2+b2>2ab(<a>0,Z?>0)

C篝“尸…>°)

D.y[ab<J(q>0,〃>0)

2.下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（）

①已知所。，求讶的最小值；解答过程：价》"=2；

元+5

②求函数y=j24的最小值;解答过程:可化得y=&+4

③设X>1,求'=尤+=的最小值；解答过程：y=x+—>2.l^,

X-1x-1Vx-1

当且仅当X=三即X=2时等号成立，把X=2代入2*三得最小值为4.

x-1\x-1

A.0个B.1个C.2个D.3个

3.下列不等式一定成立的是()

A.lg，+；)>lgx(x>0)

B.sinx-\----N2(xWk/c,kGZ)

sinx

C.%2+1>2|x|(xeR)D.——>1(xsR)

x+1

题型二：直接法求最值

（2024•上海普陀•二模）若实数J6满足。-力>0,则2"+彘的最小值为

4.

h2

5.（2024•高三・上海青浦-期中）若。力£R且满足"=8,则的最小值为

16

若贝的最小值为

6.x>0,IJx+3

X

题型三：常规凑配法求最值

若则X+士的最小值是

7.

若X>-1,则函数/（x）=三的值域是.

8.

—2x+2*/、

9.若一lvxvl,贝!Jy=---------有（）

2%—2

A.最大值-1B.最小值-1C.最大值1D.最小值1

题型四：化为单变量法

10.若a+Z?+c=4,3a+2b—c=0,则的最大值为（）

县

ABcD.

-1V-I3

11.（2024•高三•河南漂河•期末）设正实数X、V、z满足三-孙+V-z=0,贝的最大值为（）

Z

A.4B.2C.3D.1

8

12.已知正数X,>满足31=夕，则X+一的最小值为

y

13.已知％,yKR+,若2元+y+9=7,则％+2y的最小值为

题型五：双换元求最值

62

14.（2024.全国.模拟预测）已知x>>>。，+不=1,则2…的最小值为

15.（2024•高三•福建龙岩•期中）已知x>0,y>0且必+3丁+4孙=8,则3x+5y的最小值为

题型六："1"的代换求最值

16.（2024•高三•江苏南京•开学考试）函数y=log.（无+2）-3（°>0且"1）的图象恒过定点A,若点A

Yl1

在直线侬+〃y+l=0上，其中mn>0,则一+一的最小值为.

mn

17.（2024•四川南充•二模）已知羽y是实数，x>0,y>Q,且％+y=4,则'的最小值为________

xy

18.（2024•陕西西安•模拟预测）若直线2g:+〃y-4=00>0,">0）过函数y=loga（x-l）+2（a>。，且awl）

的定点T,则二n+24的最小值为.

mn

19.（2024•上海徐汇•二模）若正数a、〃满足I+g=1,则2a+6的最小值为_____.

ab

题型七：齐次化求最值

20.（2024•高三•浙江•开学考试）已知正实数％，>满足x+2y=l,则』+二的最小值为.

1-Y2

21.已知1>0,y>0,丁+、3=尤_,,则一1的最小值是（）

y

A.2B.2+百C.75+2D.20+2

题型八：利用基本不等式证明不等式

22.已知。，b,c为正数，函数/（%）=,+4+卜+4+,一小

⑴若a=b=c=2,求的最小值；

⑵若"0）=1且。，b,c不全相等，求证：bic+c?a+cc'b>abc-

23.不等式选讲已知〃,瓦。均为正实数，函数/（九）=卜-4力+,+9q+。的最小值为4.

（1）求证：ab+bc+ca>9abc；

（2）求证：6yfab+3y/bc+2y[ca<4.

24.（2024•四川资阳•模拟预测）已知a>0,b>0,且a+b=2.

⑴求Y+/的最小值；

（2）证明：而T+历Tv2虚.

题型九：利用基本不等式解决实际问题

25.（2024•黑龙江•二模）"不以规矩，不能成方圆”出自《孟子・离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相

互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图

中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角a满

足cosa=；,则这块四边形木板周长的最大值为（）

26.（2024•广东韶关•二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式

是卬=（长+4）x（宽+4）,在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平

方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（）

A.10000B.10480C.10816D.10818

27.（2024•高三•山东济宁•开学考试）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里

购买10g黄金，售货员现将5g的祛码放在天平的左盘中，取出阴黄金放在天平右盘中使天平平衡；将天平

左右盘清空后，再将5g的祛码放在天平右盘中，再取出“黄金放在天平的左盘中，使天平平衡；最后将两

次称得的黄金交给顾客.则（）

A.x+y>10B.x+y=10

C.x+j<10D.以上都有可能

28.（2024•高三•北京朝阳•期末）根据经济学理论，企业生产的产量受劳动投入、资本投入和技术水

平的影响，用。表示产量，入表示劳动投入，K表示资本投入，A表示技术水平，则它们的关系可以表示

%Q=AK"U,其中4>0,K>0,L>0,0<a<l,0<P<l.当A不变，K与乙均变为原来的2倍时，下面结论中正确

的是（）

A.存在。<g和P<白,使得。不变

B.存在a>《和夕>!，使得。变为原来的2倍

C.若击%则Q最多可变为原来的2倍

D.若公+"=9，则。最多可变为原来的2倍

29.某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要12天完成，只由一名女社员分

装时，需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有的男、女社员人数都不

足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜时会不可避免地造

成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克，参与任务

的所有女社员会损耗蔬菜共30千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损

耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（）

A.10B.15C.30D.45

题型十：与〃+瓦平方和、ab有关问题的最值

30.（多选题）（2024•全国•模拟预测）若实数处b满足3片+3廿+4"=5,则下列结论正确的是（）

2

A.ab<1B.ab2—

5

c.a2+b2>2D.-y/2<a+b<^2

31.（多选题）己知位于第一象限的点（a,b）在曲线:+；=1上，则（）

A.（a—1）（&-1）=—1B.ab>4

122

C.a+4b<9D.^+-2—

a2b13

32.（多选题）设正实数x＞。，y＞0,且满足x+y+3=孙，贝！J（）

A.4x+j>13B.xy<9

11、2

C.x2+/<18D.一+一2—

xy3

13

33.（多选题）已知。＞0,b>0,—+7=1，则下列说法正确的是（)

ab

A.々b的最小值为12

B.a+b的最小值为4抬

C./+/的最小值为24

13

D.+—的最小值为2

a—1b—3

题型十一：三角换元法

34.（多选题）由知实数。，b满足/+4/=2,贝【J（）

A.ab的最大值为g

B.a+b的最大值为26

VioA/TO

C.a—bG

当"0，°〈"乎时,消;的最大值为冷

D.

35.（多选题）（2024•全国•模拟预测）实数。，匕满足/+4/=2,贝U（）

71

A.ab<—

2

B.。+人的最大值为20

VioTip

C.a—bG

（〃+粗片+防）的最大值为£

D.23

36.（多选题）若x,y满足£+必-冲=1,则下列结论正确的是（)

22、2

A.x+y<lB.x+y>-2C.x2+y2<2D.x+y>—

3

题型十二：多次运用基本不等式

37.已知〃〉0,b〉0,则a+Z?4的最小值为_____.

ab

38.（2。24•黑龙江•二模）已知实数〃，。且"＞。，则办:"+9取得最大值时,a+b的值为（）

A.73B.273C.-2A/3D.2代'或-2退

若实数满足协＞则〃+《的最小值为（

39.a,60,"+4)

ab

A.8B.6C.4D.2

40.已知。〉0力＞0则4〃+A+—〒的最小值为（）

7ab

A.2B.20C.4D.5

题型十三：待定系数法

41.（云南师范大学附属中学2023-2024学年高三4月月考数学试题）已知实数1,V,Z不全为0,则

1+的最大值为()

x+y+z

A.逅B.更C.叵D,6

2222

ab+bc,,«.小、r/

42.（2024•山西运城•二模）若a,b,c均为正实数，则a2+2b2+c2的取大值为)

A.1B.-C.正D.县

2422

题型十四：多元均值不等式

43.已知母=1(尤〉0),则16x+y2的最小值为.

-yMz；z./\81"+4,9"+4*3*+1%曰［/古曰/、

4A4A.函数=----------------的最小值是()

V79尤+2『

Q1Q

A.2A/2B.3C.—D.-

题型十五：万能K法

45.已知实数满足1+4廿+必=1，贝必的最大值为.

46.（2024•湖南衡阳•模拟预测）已知实数天,兀满足/+盯+3/=3,贝i]x+y的最大值为（）

AR6A/1T—6+1门g+3

A.-------D.----------C.-----------D.--------

H1133

47.（2024•高三•重庆•期中）已知x,yeR,且犬+4/=3,则;x+y的最大值为.

题型十六：与基本不等式有关的恒（能）成立问题

O11

48.（2024•辽宁大连•一模）对于任意的正数相，n,不等式-+——成立，则九的最大值为一

mn2m+n

49.（2024•高三•山东滨州•期末）若不等式f-砒+420对任意x@[l,司恒成立，则实数。的取值范围

是（）

A.[0,4]B.（-8,4]C.（一00，：D.（-oo,5]

12

50.若两个正实数x，y满足一+—=1且不等式2x+y>〃/+2机恒成立，则实数机的取值范围是（）

xy

A.«2）B.（-2,4）

C.(-00,-4)U(2,+00)D.(-co,-2)1(4,+co)

题型十七：基本不等式与其他知识交汇的最值问题

51.已知x>0,y>0,向量&=（x,y）,6=（2,l）,a力=1,则"的最大值为.

52.（2024•河南新乡•二模）在直三棱柱44c「ABC中，BC,AG=244,=4,则该三棱柱的体积

的最大值为.

53.（2024•四川南充•二模）在ABC中，a,b,C分别为内角A,B,C的对边.已知a=2,

2sinB+2sinC=3sinA.则cosA的最小值为.

54.（2024•湖南•模拟预测）已知巩尸为锐角，且tana-tan£+2tanctan2/?=0,则tana的最大值为（）

A.立B.受C.克D.万

432

题型十八：整体配凑法

55.（2024•四川成都•三模）若正实数。/满足/+廿=加，贝的最大值为（用加表示）.

56.对于正数〃力，有（2而+l）（a+b）=6ab,则a+6的取值范围是（）

A.（0,1]B.[1,A/3]C.[1,2]D.[2,+<»]

57.已知“，〃>0且"=a+%+3,则a+b的取值范围为.

58.若。>0,〃>0,相=2（1+⑹+4,则机的最小值为.

a+b

1.（2024•陕西西安•模拟预测）下列说法错误的是（）

A.若正实数匕满足。+〃=1,则工+，有最小值4

ab

B.若正实数a/满足。+如=1,则2“+4〃22近

c.y=+3+/。,的最小值为4®

VX2+33

D.若贝|aZ?+lva+b

2.（2024•河南焦作•模拟预测）已知正数尤，V满足2A+2y-斗=0,则当孙取得最小值时，x+2y=

（）

A.4+8/B.2+4石C.3+6石D.8+60

3.（2024•辽宁葫芦岛•一模）已知a>0,b>0,a+b=2,贝U（）

A.O<«<1B.O<«Z?<1C.a2+我>2D.l<b<2

4.（2024•辽宁大连•一模）若〃x）=lnj吐匚（〃z>0,”0）奇函数，则[二+工的最小值为（）.

\-n-x4m+ln

69

A.—B.—C.4D.5

55

5.（2024•贵州黔东南•二模）己知正实数a,b满足e2"-2+eb=e2-2"+eM,则”占的最大值为（）

2b

A.0B.』C.1D.-

22

6.（2024•重庆•模拟预测）若实数a,b满足必=2,则/+2户的最小值为（）

A.2B.272C.4D.472

7.（2024•江苏南通•二模）设x>0,y〉0,-+2y=2f则1+一的最小值为（

Xy

AB.2V2C.-+V2D.3

-12

（2。24・全国•模拟预测）已知x>。，…且x+i则三+$的最小值为（）

8.

A-1B-1c-iD-7

9.（多选题）（2024•河北保定•二模）已知〃2+4/+2出7=1,贝IJ（

A.次?的最大值为1B.〃2+4k的最小值为1_

6

D.ab的最小值为-g

C.C+4廿的最大值为2

10.（多选题）（2024•浙江绍兴•二模）已知a>0,Z?>0,a+b=ab,贝|()

A.々>1且人>1B.abN4

cb1]

C.a4b<9D.-+->1

ab

11.（多选题）（2024•全国•模拟预测）已知。>0,b>0,且a+Z?=2,贝[J()

A.B.”<42

c.log2a+log2Z?>0D.a-b>0

12.（多选题）（2024•高三•浙江湖州•期末）已知正数。,6满足。（。+沙）=1,下列结论中正确的是（）

A./+卜2的最小值为2忘一2B.2a+6的最小值为2

3的最小值为孚

D.y[a-4b的最大值为1

（2024•湖北黄石•三模）设。，beR+，若。+46=4,则必兽逝的最小值为____,此时。的值为.

13.

yJab

14.（2024•上海静安•二模）在下列关于实数〃、〃的四个不等式中，恒成立的是.（请填入全部

正确的序号）