导数压轴专题突破-第11讲 证明不等式之分析法（含答案及解析）

第11讲证明不等式之分析法【典型例题】例1．已知，函数，其中为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；（Ⅱ）记为函数在上的零点，证明：（ⅰ）；（ⅱ）．例2．已知，函数，其中为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；（Ⅱ）记为函数在上的零点，证明：．（参考数值：例3．已知函数在上有零点，其中是自然对数的底数．（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）记是函数的导函数，证明：．例4．已知函数．（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）若函数的两个非零零点为，，证明：．为自然对数的底数）．例5．（1）求函数的单调区间；（2）证明：在且时，不等式恒成立．例6．函数为实常数）在处的切线与直线平行．（1）求的值；（2）求的单调区间；（3）证明当时，．【同步练习】1．已知函数存在唯一的极值点．（1）求实数的取值范围；（2）若，，，证明：．2．已知函数，．（1）当时，讨论的单调性；（2）若，证明：．3．已知函数（1）当时，判断的单调性；（2）证明：．4．已知函数，．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，求证：函数有两个不相等的零点，，证明：．5．已知函数，其中．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，证明：（其中为自然对数的底数）．6．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，证明：．7．已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，正数，满足，证明：．8．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，证明：当时，

第11讲证明不等式之分析法【典型例题】例1．已知，函数，其中为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；（Ⅱ）记为函数在上的零点，证明：（ⅰ）；（ⅱ）．【解析】证明：（Ⅰ），恒成立，在上单调递增，，（2），又，函数在上有唯一零点．（Ⅱ），，，，令，，，一方面，，，，在单调递增，，，，另一方面，，，当时，成立，只需证明当时，，，，，当时，，当时，，，（1），，（1），，在单调递减，，，综上，，．要证明，只需证，由得只需证，，只需证，只需证，即证，，，，．例2．已知，函数，其中为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；（Ⅱ）记为函数在上的零点，证明：．（参考数值：【解析】证明：（Ⅰ），在上恒成立，所以在上单调递增，，（a），所以存在，使得，故，，在上单调递减；，，在，上单调递增，又，所以，当时，，故由零点存在定理，在，上有唯一零点，在上没有零点，所以函数在上有唯一零点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：在，上单调递增，且，，故要证：，只要证（a），即证：在时恒成立，设（a），故（a），（a），由（a），所以（a）在递减，在递增，（1），，，所以存在，使得，所以（a）在递减，，递增，所以（a），因为（1），故只需证明，由，所以，，由二次函数的单调性，得．综上，得证．例3．已知函数在上有零点，其中是自然对数的底数．（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）记是函数的导函数，证明：．【解析】（Ⅰ）解：函数，则，①当时，恒成立，则在上单调递增，所以，故函数无零点，不符合题意；②当时，由，得，若，即，此时在上单调递增，不符合题意；若，即，则在上单调递减，在上单调递增，又，故，使得，而当时，时，故，使得，根据零点存在定理，，，使得，符合题意；综上所述，实数的取值范围是；（Ⅱ）证明：，所以，即，由（Ⅰ）知且在上单调递减，在上单调递增，故只要证明：，即，，设，则，故在上单调递增，即（1），所以成立；综上所述，成立．例4．已知函数．（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）若函数的两个非零零点为，，证明：．为自然对数的底数）．【解析】解：（1），．恒成立，．令，在上单调递增，函数在上单调递减，在上单调递增．时，函数取得极小值且为最小值，（1），．实数的取值范围是，．（2）证明：函数，化为：，，，可得时函数取得极大值，（e）．函数有两个零点，，，不妨设，由，，可得：，，，证明，即证明，令，即证明：．令，，，函数在上单调递增，（1），成立，因此成立．例5．（1）求函数的单调区间；（2）证明：在且时，不等式恒成立．【解析】解：（1）的定义域为且，求导得：，令，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以（1），即，所以在，上单调递增．（2）证明：在时，有，则，①在时，有，因此成立．②在时，设，则，令，在时，，（1），，，因此成立，由上述①②讨论可知在且时，恒成立．例6．函数为实常数）在处的切线与直线平行．（1）求的值；（2）求的单调区间；（3）证明当时，．【解析】解：（1），，，若函数在处的切线与直线平行，即切线的斜率是0，则（1），则；（2）由（1）知，的定义域为，，令，解得．当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以，函数的单调递增区间为，递减区间为；（3）证明：当时，，即为．由（2）可得在递减，可得（1），即有；设，，，当时，，可得递增，即有（1），即有，则原不等式成立．【同步练习】1．已知函数存在唯一的极值点．（1）求实数的取值范围；（2）若，，，证明：．【解析】（1）解：函数的定义域为，，令，①若，则，在上递增，不合题意；②若，，令，得，在上递减，在上递增，，若，即时，，在上递增，不合题意；若，即时，，又，则，在上有两个变号零点，有两个极值点，不合题意；③当时，，则在上递减，且，存在唯一的，使得，当时，，，当，时，，，是唯一极值点，符合题意．综上，实数的取值范围为；（2）证明：由（1）可知，，，，，，，由（1）可知，函数在，上递减，，，即，，即，．2．已知函数，．（1）当时，讨论的单调性；（2）若，证明：．【解析】解：（1）当时，，定义域为，，记，，当时，，当时，，的极小值也就是最小值为（2）．，即，所以在上单调递增；（2），，，．要证明，只要证明，即证．因而只要证明即可．当时，，而，成立．当时，设，，记，，因为，所以，在上单调递增．（1），即，所以在上单调递增．（1），即所以当时，成立．综上可知若，．3．已知函数（1）当时，判断的单调性；（2）证明：．【解析】解：（1）当时，的定义域为，当得，设，则，令，则当时；当时，，在上单调递减，在上单调递增，（2），，在单调递增；（2）证明：的定义域为，，，，，要证明，只需证明，（ⅰ）当时，，，所以成立，（ⅱ）当时，设，则，设，则，，，即在上单调递增，（1），即，在上单调递增，（1），即，综上可知，时，．4．已知函数，．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，求证：函数有两个不相等的零点，，证明：．【解析】解：（1）当时，，，令，解得，，，当或时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，在，上单调递减，在上单调递增，证明：（2），在上单调递增，在上单调递减，（1），，（2），，，使得，要证，即证，，，又且在上单调递增，需证，即证，，即证，，令，，，，，，在恒成立，在上单调递增，（1），当时，，得证，．5．已知函数，其中．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，证明：（其中为自然对数的底数）．【解析】解：（1）由题意，函数的定义域为，．当时，或；；当时，；当时，或；．综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增；在上单调递减．（2）证明：当时，由，只需证明，令，．设，则．当时，，单调递减；当，时，，单调递增，当时，取得唯一的极小值，也是最小值，的最小值是成立．故成立．6．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，证明：．【解析】解：（1）当时，，且（1），又与均在上单调递增，所以在上单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，综上所述，在上单调递减，在上单调递增．（2）证明：因为，所以，要证，只需证当时，即可，，易知在上单调递增，又，所以，，且，即，当时，，单调递减，当，时，，单调递增，，所以，即得证．7．已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，正数，满足，证明：．【解析】解：（1）函数的定义域，，令，△，①当时，△，，在上恒成立，则单调递增，②当或时，△，令可得，，当时，，在上恒成立，则单调递增，当时，，若，，，，函数单调递增，，时，，函数单调递减，综上，时，在单调递增，当时，函数在，，上单调递增，在，上单调递减，（2）当时，由（1）知在上单调递增，又（1），且，要证，只要证，只要证，即证，即，令，，，则，当时，，单调递增，则（1），所以，从而．8．已知函数．（1