2024-2025学年高中数学第二章圆锥曲线与方程测评含解析北师大版选修1-1

PAGEPAGE1其次章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知椭圆=1(a>b>0)分别过点A(2,0)和B(0,-1),则该椭圆的焦距为()A. B.2C. D.2答案B解析由题意可得a=2,b=1,所以a2=4,b2=1,所以c=,所以2c=2.故选B.2.平面上有两个定点A,B及动点P,命题甲:“|PA|-|PB|是定值”,命题乙:“点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线”,则甲是乙的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案B解析当|PA|-|PB|=|AB|时,点P的轨迹是一条射线,故甲乙,而乙⇒甲,故选B.3.已知椭圆与双曲线=1有共同的焦点,且离心率为,则椭圆的标准方程为()A.=1 B.=1C.=1 D.=1答案B解析双曲线=1中,=3,=2,则c1=,故焦点坐标为(-,0),(,0),故所求椭圆=1(a>b>0)的c=,又椭圆的离心率e=,则a=5,a2=25,b2=a2-c2=20,故椭圆的标准方程为=1.4.已知双曲线C:=1的焦距为10,点P(2,1)在双曲线C的渐近线上,则双曲线C的方程为()A.=1 B.=1C.=1 D.=1答案A解析依据双曲线标准方程中系数之间的关系求解.∵=1的焦距为10,∴c=5=.①又双曲线渐近线方程为y=±x,且P(2,1)在渐近线上,∴=1,即a=2b.②由①②解得a=2,b=,故选A.5.双曲线C:x2-=1的一条渐近线与抛物线M:y2=4x的一个交点为P(异于坐标原点O),抛物线M的焦点为F,则△OFP的面积为()A. B. C. D.答案A解析双曲线C:x2-=1的一条渐近线方程为y=x,与抛物线M:y2=4x的一个交点为P,将y=x代入抛物线方程,可得3x2=4x,解得x=0(舍)或x=,所以P,又抛物线y2=4x的焦点F(1,0),则△OFP的面积为S=×1×.故选A.6.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为()A.=1 B.=1C.=1 D.=1答案B解析抛物线y2=24x的准线方程为x=-6,故双曲线中c=6.①由双曲线=1的一条渐近线方程为y=x,知,②且c2=a2+b2.③由①②③解得a2=9,b2=27.故双曲线的方程为=1,故选B.7.P是长轴在x轴上的椭圆=1上的点,F1,F2分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为c,则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差肯定是()A.1 B.a2 C.b2 D.c2答案D解析由椭圆的几何性质得|PF1|∈[a-c,a+c],|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|·|PF2|≤=a2,当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号.|PF1|·|PF2|=|PF1|(2a-|PF1|)=-|PF1|2+2a|PF1|=-(|PF1|-a)2+a2≥-c2+a2=b2,所以|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差为a2-b2=c2.8.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,过点P(1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,交抛物线C的准线于点Q,若|QF|2=2|AF|·|BF|,则直线l斜率的肯定值为()A.2 B. C. D.答案C解析由题意得F(2,0),直线l的斜率存在且不为0,设l的方程为y=k(x-1),代入抛物线方程得k2x2-(2k2+8)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=1,x1+x2=2+,由抛物线定义得|AF|·|BF|=(x1+2)·(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=9+,又因为Q(-2,-3k),所以|QF|2=42+(-3k)2=16+9k2,由|QF|2=2|AF||BF|,得16+9k2=29+,解得|k|=,此时Δ>0,符合题意,所以|k|=.故选C.9.设双曲线=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为()A. B.5 C. D.答案D解析双曲线=1的一条渐近线方程为y=x,由方程组消去y,得x2-x+1=0有唯一解,所以Δ=-4=0,所以=2,所以e=,故选D.10.直线y=k(x-1)与椭圆C:=1交于不同的两点M,N,椭圆=1的一个顶点为A(2,0),当△AMN的面积为时,则k的值为()A.± B.± C.±1 D.±答案C解析直线y=k(x-1)与椭圆C联立消元可得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,∴|MN|=.∵A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离为d=,∴△AMN的面积S=|MN|d=.∵△AMN的面积为,∴,∴k=±1,故选C.11.如图,南北方向的马路L,A地在马路正东2km处,B地在A北偏东60°方向2km处,河流沿岸曲线PQ上随意一点到马路L和到A地距离相等.现要在曲线PQ上某处建一座码头,向A,B两地运货物,经测算,从M到A,B修建马路的费用都为a万元/km,那么,修建这两条马路的总费用最低是()A.(2+)a万元 B.(2+1)a万元C.5a万元 D.6a万元答案C解析本题主要考查抛物线的实际应用.依题意知曲线PQ是以A为焦点、L为准线的抛物线,依据抛物线的定义知,欲求从M到A,B修建马路的费用最低,只需求出B到直线L的距离即可.∵B地在A地北偏东60°方向2km处,∴B到点A的水平距离为3km,∴B到直线L的距离为3+2=5(km),那么,修建这两条马路的总费用最低为5a万元,故选C.12.设A,B是椭圆C:=1长轴的两个端点.若C上存在点M满意∠AMB=120°,则m的取值范围是()A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,]∪[4,+∞)答案A解析由题意,可知当点M为短轴的端点时,∠AMB最大.当0<m<3时,椭圆C的焦点在x轴上,要使椭圆C上存在点M满意∠AMB=120°,则≥tan60°=,即,解得0<m≤1;当m>3时,椭圆C的焦点在y轴上,要使椭圆C上存在点M满意∠AMB=120°,则≥tan60°=,即,解得m≥9,综上m的取值范围为(0,1]∪[9,+∞),故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若双曲线x2-=1的离心率为,则实数m=.

答案2解析由题意知a=1,b=,m>0,c=,则离心率e=,解得m=2.14.设椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,线段F1F2被点分成3∶1的两段,则此椭圆的离心率为.

答案解析由题意,得=3,即+c=3c-b,得b=c,因此e=.15.已知双曲线E:=1(a>0,b>0)与抛物线C:y2=2px(p>0)有共同的一个焦点,过双曲线E的左焦点且与抛物线C相切的直线恰与双曲线E的一条渐近线平行,则E的离心率为.

答案解析因为抛物线与双曲线共焦点,所以c=,p=2c,抛物线方程为y2=4cx,设双曲线的左焦点为F1,F1(-c,0),过F1与一条渐近线y=x平行的直线方程为y=(x+c),由得by2-4acy+4bc2=0,所以Δ=16a2c2-16b2c2=0,所以a=b,从而c=a,离心率为e=.16.以下四个关于圆锥曲线的命题:①设A,B为两个定点,k为非零常数,||-||=k,则动点P的轨迹为双曲线;②过定圆C上肯定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若),则动点P的轨迹为椭圆;③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;④双曲线=1与椭圆+y2=1有相同的焦点.其中正确命题的序号是.

答案③④解析双曲线的定义是:平面上与两个定点A,B的距离的差的肯定值为常数2a,且0<2a<|AB|,那么点P的轨迹为双曲线,故①错;由)得点P为弦AB的中点,其轨迹为圆,故②错;设2x2-5x+2=0的两根为x1,x2,则由根与系数的关系,得x1+x2=,x1x2=1,由此可知两根互为倒数,且均为正,故③正确;=1的焦点坐标为(±,0),+y2=1的焦点坐标为(±,0),故④正确.三、解答题(本大题共6小题,需写出演算过程与文字说明,共70分)17.(本小题满分10分)求与椭圆=1有共同焦点,且过点(0,2)的双曲线方程,并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程.解椭圆=1的焦点是(0,-5),(0,5),焦点在y轴上,于是设双曲线方程是=1(a>0,b>0),又双曲线过点(0,2),∴c=5,a=2,∴b2=c2-a2=25-4=21,∴双曲线的标准方程是=1,实轴长为4,焦距为10,离心率e=,渐近线方程是y=±x.18.(本小题满分12分)若已知椭圆=1与双曲线x2-=1有相同的焦点,又椭圆与双曲线交于点P,求椭圆及双曲线的方程.解由椭圆与双曲线有相同的焦点,得10-m=1+b,即m=9-b,①由点P在椭圆、双曲线上,得y2=m,②y2=,③解由①②③组成的方程组得m=1,b=8,∴椭圆方程为+y2=1,双曲线方程为x2-=1.19.(本小题满分12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满意.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.(1)解设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由得x0=x,y0=y.因为M(x0,y0)在C上,所以=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)证明由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由=1得-3m-m2+tn-n2=1.又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以=0,即.又过点P存在唯始终线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.20.(本小题满分12分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.(1)解设椭圆C的方程为=1(a>b>0).由题意得解得c=.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m≠±2,且n≠0.直线AM的斜率kAM=,故直线DE的斜率kDE=-.所以直线DE的方程为y=-(x-m),直线BN的方程为y=(x-2).联立解得点E的纵坐标yE=-.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以yE=-n.又S△BDE=|BD|·|yE|=|BD|·|n|,S△BDN=|BD|·|n|,所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.21.(本小题满分12分)已知椭圆C1:+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.(1)求椭圆C2的方程;(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,=2,求直线AB的方程.解(1)由已知可设椭圆C2的方程为=1(a>2),其离心率为,故,解得a=4.故椭圆C2的方程为=1.(2)设A,B两点的坐标分别为(xA,yA),(xB,yB),由=2及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因此可设直线AB的方程为y=kx.将y=kx代入+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,所以.将y=kx代入=1中,得(4+k2)x2=16,所以.又由=2,得=4,即,解得k=±1.故直线AB的方程为y=x或y=-x.22.(本小题满分12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的短轴长为2,离心率为,直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点,且线段AB的垂直平分线通过点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求△AOB(O为坐标原点)面积的最大值.解(1)由已知可得解得a2=2,b2=1,故椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.当Δ=8(2k2-m2+1)>0,即2k2>m2