专题5.2平面直角坐标系（原卷版）

《讲亮点》20222023学年八年级数学上册教材同步配套讲练《苏科版》专题5.2平面直角坐标系【教学目标】认识平面直角坐标系，学会用平面直角坐标系表示位置关系；通过点坐标的移动来确定位置关系；3、根据点坐标求出线段长度，并学会计算围成图形的面积。【教学重难点】1、认识平面直角坐标系，学会用平面直角坐标系表示位置关系；2、通过点坐标的移动来确定位置关系；3、根据点坐标求出线段长度，并学会计算围成图形的面积。【知识亮解】知识点一：平面内点的平移1、在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，所得到对应点的坐标是（x+a，y）（或（xa，y））；2、将点（x，y）向上（或下）平移a个单位长度，所得对应点的坐标是（x，y+a）（或（x，ya））；3、如果把点P（a，b）向左平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，所得对应点Q的坐标是（xm，y+n）。知识点二：平面直角坐标系中图形的面积已知图形点的坐标求面积：面积问题常用“割补法”。割：分割，把图形分割成几部分容易求解的图形，分别求解，完后相加即可；补：补齐，把图形补成一个容易求解的图形，然后再减去补上的图形。已知图形面积求点的坐标：可以用未知数将点的坐标表示出来，然后运用割补法将图形的面积用未知数表示出来，再结合已知条件列等量关系求解。亮题一：点的坐标确定位置【方法点拨】首先由点的坐标确定坐标系，进而可确定所求位置的坐标.【例1】★课间操时，小华、小军、小刚的位置如图，小军对小华说，如果我的位置用（0，﹣2）表示，小刚的位置用（2，0）表示，那么你的位置可以表示为（）A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣4，﹣3）【例2】★图中标明了李明家附近的一些地方，某周日早晨，李明从家里出发后，沿（1，2）.(2，1).(1，0).(0，1).(3，1)表示的地点转了一圈，又回到了家里，写出他路上经过的地方．【例3】★王林同学利用暑假参观了幸福村果树种植基地如图，他出发沿的路线进行了参观，请你按他参观的顺序写出他路上经过的地方，并用线段依次连接他经过的地点．【例4】★小林同学利用暑假参观了幸福村果树种植基地（如图），他出发沿（1，3），（﹣3，3），（﹣4，0），（﹣4，﹣3），（2，﹣2），（5，﹣3），（5，0），（5，4）的路线进行了参观，写出他路上经过的地方，并用线段依次连接他经过的地点．【例5】★★在我国沿海地区，几乎每年夏秋两季都会或多或少地遭受台风的侵袭，加强台风的监测和预报，是减轻台风灾害的重要措施．下表是中央气象台2010年发布的第13号台风“鲇鱼”的有关信息：时

间台风中心位置东

经北

纬2010年10月16日23时129.5°18.5°2010年10月17日23时124.5°18°请在下面的经纬度地图上找到台风中心在16日23时和17日23时所在的位置．亮题二：坐标与图形的性质【方法点拨】与坐标轴平行的直线上点的坐标特点：与x轴平行，纵坐标y相等；与y轴平行，横坐标x相等．【例1】★★（2020七下·椒江期末）如图，用大小形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图图案，已知A（﹣2，6），则点B的坐标为（

）A.

（﹣6，4）

B.

（，）

C.

（﹣6，5）

D.

（，4）【例2】★★（2020·连云港）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点M、N的坐标分别为、，则顶点的坐标为________.【例3】★★★（2020七下·上饶期中）点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴、y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”，例如：如图中的点P（1，3）是“垂距点”．（1）在点A（﹣2，2），，C（﹣1，5）是“垂距点”是________；（2）若是“垂距点”，求m的值．【例4】★★★对于平面直角坐标系xOy中的点A，给出如下定义：若存在点B（不与点A重合，且直线AB不与坐标轴平行或重合），过点A作直线m∥x轴，过点B作直线n∥y轴，直线m，n相交于点C．当线段AC，BC的长度相等时，称点B为点A

的等距点，称三角形ABC的面积为点A的等距面积．例如：如图，点A（2，1），点B（5，4），因为AC=BC=3，所以B为点A

的等距点，此时点A的等距面积为．

（1）点A的坐标是（0，1），在点B1（2，3），B2(1，1)，B3(3，2)中，点A的等距点为________．（2）点A的坐标是(3，1)，点A的等距点B在第三象限，①若点B的坐标是(5，1)，求此时点A的等距面积；②若点A的等距面积不小于2，请直接写出点B的横坐标t的取值范围．亮题三：图形在坐标系中的平移向右平移a个单位【方法点拨】平面直角坐标内点的平移规律，设a>0，向右平移a个单位（1）一次平移：P（x，y）P'（x＋a，y）向下平移b个单位P（x，y）P'（x，y－b向下平移b个单位P（x，P（x，y）P（x－a，y＋b）向左平移a个单位再向上平移b个单位二次平移：再向上平移b个单位【例1】★在直角坐标系中，将点P（3，6）向左平移4个单位长度，再向下平移8个单位长度后，得到的点位于（

）A.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限【例2】★★如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，0)，B(0,3)，O为原点．（1）求三角线AOB的面积；（2）将线段AB沿x轴向右平移4个单位，得线段A′B′，x轴上有一点C满足三角形A′B′C的面积为9，求点C的坐标．【例3】★★★在平面直角坐标系中，A（0，1），B（5，0）将线段AB向上平移到DC，如图1，CD交y轴于点E，D点坐标为（﹣2，a）（1）直接写出点C坐标（C的纵坐标用a表示）；（2）若四边形ABCD的面积为18，求a的值；（3）如图2，F为AE延长线上一点，H为OB延长线上一点，EP平分∠CEF，BP平分∠ABH，求∠EPB的度数.【例4】★★★如图所示，A(2,0)、点B在y轴上，将三角形OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为三角形DEC，且点C的坐标为(a，b)，且a=+6（1）求点C的坐标；（2）求点E的坐标；（3）点P是CE上一动点，设∠CBP=x°，∠PAD=y°，∠BPA=z°，确定x，y，z之间的数量c关系，并证明你的结论亮题四：点在坐标系内的移动规律【例1】★★★（2020·娄底模拟）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路程如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2，第n次移动到点An，则点A2020的坐标是（

）A.

(1010，0)

B.

(1010，1)

C.

(1009，0)

D.

(1009，1)【例32】★★★（2020七下·大兴月考）在平面直角坐标系中，一只电子狗从原点O出发，按向上→向右→向下→向下→向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示，则A3020的坐标为（

）A.

(1007，1)

B.

(1007，﹣1)

C.

(504，1)

D.

(504，﹣1)【例3】★★★（2020七下·北京月考）如图，在平面直角坐标系中，点．点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位至点，第4次向右跳动3个单位至点，第5次又向上跳动1个单位至点，第6次向左跳动4个单位至点，……，照此规律，点第2020次跳动至点的坐标是（

）A.

B.

C.

D.

【例4】★★★（2017七下·荔湾期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A2017的坐标为________．

【例5】★★★如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为________．【例6】★★★在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如图所示．（1）填写下列各点的坐标：A4（

，​

），A8（​

，​

），A12（​

，​

）；（2）写出点A4n的坐标（n是正整数）（​

，​

）；（3）指出蚂蚁从点A2014到点A2015的移动方向为​

​．亮题五：坐标系中图形的面积【例1】★★某地公园内有四棵古树，它们在平面直角坐标系中的位置如图所示.请写出两点的坐标;为了更好地保护古树，公园决定将四棵古树围成的四边形用围栏圈起来，划为保护区，请你计算保护区的面积.【例2】★★★已知在平面直角坐标系中有三点，，，请回答下列问题:在如图所示的平面直角坐标系中描出点，，的位置;求出以，，三点为顶点的三角形的面积;在轴上是否存在点，使以，，三点为顶点的三角形的面积为10?若存在，请直接写出点的坐标;若不存在，请说明理由.【例3】★已知：的三个顶点坐标，，，在平面直角坐标系中画出，并求的面积．

【例4】★★在图中描出A（4，4），B（0，4），C（2，1），D（2，1）四个点，线段AB、CD有什么位置关系？顺次连接A,B,C,D四点，求四边形ABCD的面积.【亮点训练】1．如图，点M是平面直角坐标系中的一点，轴于点A，轴于点B，，则点A的坐标为（）A． B． C． D．2．如图，象棋盘上，若“将”位于点，“象”位于点．则“炮”位于点（

）A． B． C． D．3．若点和点关于y轴对称，则点P在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象 D．第四象限4．如图，已知正方形，顶点，，，规定“把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，如此这样，连续经过2019次变换后，正方形的对角线交点M的坐标变为（）A． B． C． D．5．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做格点．如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C为第一象限内的格点，若不共线的A，B，C三点构成轴对称图形，则满足条件的点C的个数为（

）A．2 B．4 C．6 D．86．平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则的值是__________．7．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边长为2，则点C关于x轴的对称点的坐标是______．8．如图，己知，平面直角坐标系中有四个点：．从A、B、C、D、O五个点中任取两个点，和x轴上的一点P构成的三角形与全等，满足条件的点P的个数是___________．9．北京中轴线申遗已确定天安门等14处遗产点．北京的南北中轴线南起永定门，北至钟鼓楼，北京城另一条重要的东西线是长安街．我们以天安门为原点，分别以长安街的正东方向和中轴线的正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，单位长度为．表示前门的点A的坐标为，表示朝阳门的点B的坐标为，表示广安门的点C的坐标为．这几个点中，距离天安门以内的点是___________．10．如图，三角形COB是由三角形AOB经过某种变换后得到的图形，观察点A与点C的坐标关系，三角形AOB内任意一点M的坐标为（x，y），点M经过这种变换后得到点N，点N的坐标是___________．11．如图，在下列带有坐标系的网格中，的顶点都在边长为的小正方形的顶点上，．(1)直接写出的面积为；(2)画出关于y轴的对称的（点与点对应，点与点对应），点的坐标为．12．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别．(1)画出关于轴对称的；(2)写出的坐标．14．（1）若点在第一、三象限的角平分线上，求的值；（2）已知点的坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，求点的坐标．15．已知三个顶点坐标分别为．(1)画出，使与关于轴对称；(2)再将向下平移5个单位长度，向左平移4个长度单位，得到．画出图形；(3)请直接写出的坐标．【培优检测】1．如图，OA平分，于点C，且，已知A点y到轴的距离是3，那A点关于y轴对称的点的坐标为（

）A． B． C． D．2．若点在第一象限，则点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．若点P是第二象限内的点，且点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，则点P的坐标是

（

）A．（－4，3） B．（4，－3） C．（－3，4） D．（3，－4）4．如图，在△ABC中，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，4），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是（）A．（﹣4，3）B．（﹣4，2）C．（4，2）或（﹣4，3）D．（4，2）或（﹣4，2）或（﹣4，3）5．在平面直角坐标系中，一只蜗牛从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图，则点的坐标为（

）A．（1009，0） B．（1008，0） C．（1008，1） D．（1009，1）6．如图，动点P从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第2022次碰到长方形边上的点的坐标为_____．7．如图所示，一个机器人从O点出发，向正东方向走到达点，再向正北方向走到达点，再向正西方向走到达点，再向正南方向走到达点，再向正东方向走到达点，按照此规律走下去，相对于点O，机器人走到时，点的坐标是______，点的坐标是______．8．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2022次得到正方形OA2022B2022C2022，那么点B2022的坐标是_____．9．如图，矩形的两边、分别在轴、轴上，点与原点重合，点，将矩形沿轴向右翻滚，经过一次翻滚点对应点记为，经过第二次翻滚点对应点记为依此类推，的坐标______，经过次翻滚后点对应点的坐标为______．10．如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形……照此规律作下