竞赛专题4方程竞赛真题强化训练

【初中数学竞赛专题大全】竞赛专题4方程（竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）从1分、2分、5分3种硬币中取出100枚，总计3元，其中2分硬币枚数的可能情况有（

）种．A．13 B．16 C．17 D．19【答案】C【解析】【分析】【详解】设1分、2分和5分的硬币分别取了x枚、y枚和z枚，依题意得，得，可见y是4的倍数，设，则，解得．因为x为非负整数，故，即可取中任何一个，有17种取法，从而y可取中任何一个，也有17种取法，故选C．2．（2021·全国·九年级竞赛）小明把棱长为4的正方体分剖成29个棱长为整数的小正方体，则其中棱长为1的小正方体有（

）个．A．22 B．23 C．24 D．25【答案】C【解析】【分析】【详解】解法一

若分割出棱长为3的正方体，则余下的均是棱长为1的正方体，有个，不满足题目要求．设棱长为2的正方体有x个，棱长为1的正方体有y个，则．故选C．解法二

设棱长为的正方体分别有个，依题意得．因为棱长为3的正方体至多只有1个，所以或．当时，上述方程组化为．当时，上述方程组化为，此方程组无非负整数解．故选C．3．（2021·全国·九年级竞赛）若两个不同的自然数a，b组成的数对满足它们的算术平均数和几何平均数均为两位数，且A和G中的一个可由另一个交换个位和十位数字得到，则称这样的自然数对为“好数对”．那么，满足条件的好数对有（

）对．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】【详解】解

选A．理由：由题意得则a，b是关于x的一元二次方程的两根．解得．从而，是自然数．设，则．．要使为完全平方数，必须或．但，故．所以，．又，故．这就要求是完全平方数，而，则可能有或．当时，p，q均不为整数，故．当时，得，此时，A，G分别为65和56．进而求得为．故满足条件的好数对只有1对．4．（2021·全国·九年级竞赛）方程的实数解的个数是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】【详解】令，则，代入原方程得，即．解出得：．注意到，及，有由①，，即．因，故得，

③或．

④综合③④，，或．注意到m为整数，知．代入可得相应的四个值，．可得原方程有四个实数解：．5．（2021·全国·九年级竞赛）口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（

）．A．14 B．16 C．18 D．20【答案】B【解析】【分析】【详解】设取出的球中白球、红球、黑球的个数分别为x，y，z，则，，，．按，1，2，3依次枚举可得等于，，，；，，，；，，，；，，，共16组解．故选B．二、填空题6．（2021·全国·九年级竞赛）在一个圆形时钟表面，表示秒针，表示分针（O为两针的旋转中心）．若现在的时间恰好是12点整，则经过__________秒后，的面积第一次达到最大．【答案】【解析】【分析】【详解】设中，边上的高为h，则，所以．当时，等号成立，此时的面积最大．设经过t秒后，与第一次垂直，因为秒钟1秒旋转，分钟1秒旋转，故有，解得．故应填．7．（2021·全国·九年级竞赛）方程的所有正整数解组为________．【答案】【解析】【分析】【详解】因为208是4的倍数，偶数的平方被4除余0，奇数的平方被4除余1，所以，x，y都是偶数．设，则．同上可知，a，b都是偶数．设，则．所以，c，d都是偶数．设，则．于是，，其中，s，t都是偶数．所以，．由此，可能为1，3，5，7，9，进而为337，329，313，289，257，故只能是．因此，．于是，．所以，．8．（2021·全国·九年级竞赛）a，b，c都是正整数，且满足，则的最大值是_________．【答案】3982【解析】【分析】【详解】由条件，得，

①．

②因为1993是质数，所以由②，得．将代入①，得，即，解得．从而得到．所以两组解是：．因此，的最大值是．9．（2021·全国·九年级竞赛）若a，b，c，d为非负整数，且，则_________．【答案】56【解析】【分析】【详解】因为1993是质数，与都是正整数，所以与分别取值1与1993．若．（1）．可知或．因此．（2）．若，则．所以c，d中至少有一个大于31．又由于．因此，若设c为c，d中较大的一个，则．依次取，可得只有是完全平方数．所以或，则．因此，．当，同样可得所求和为56．10．（2021·全国·九年级竞赛）若x为整数，，且是一个完全平方数，则整数x的值等于______________．【答案】20或119【解析】【分析】【详解】设，则．令，则．其为佩尔方程，其基本解为．其全部正整数解可由得到．其中，．故或119．11．（2021·全国·九年级竞赛）m，n为自然数，且满足，则________．【答案】84【解析】【分析】【详解】原方程可化为，即．因为与奇偶性相同，且，所以解得．12．（2021·全国·九年级竞赛）设方程的整数解为，则________．【答案】993012【解析】【分析】【详解】由方程可知，可得或或或解得或或或所以．13．（2021·全国·九年级竞赛）整数x，y满足，则________．【答案】960【解析】【分析】【详解】理由：原方程可化为，即．因为不能被5整除，不能被3整除，所以即从而．14．（2021·全国·九年级竞赛）整数a，b满足，则________．【答案】15【解析】【分析】【详解】原方程可化为，即．因为a，b均为整数，所以亦为整数．又因为不能被3整除，不能被2整除．所以，只有解得．故．15．（2021·全国·九年级竞赛）已知a，b为整数，且满足，则_______．【答案】3【解析】【分析】【详解】化简方程，得，则．因为a，b为整数且不相等，所以只可能取值1，4或．不妨设，则或所以．故．16．（2021·全国·九年级竞赛）方程的整数解_________．【答案】或【解析】【分析】【详解】因为，所以等于两个连续整数的积．当时，x与互质，且不存在两个完全立方数使它们的差为1，所以原方程无解．同理，时，原方程也无解．于是x只能取，0，1．经试验可知，原方程有两组解：或．17．（2021·全国·九年级竞赛）方程中的x，y均取正整数时，得出的解叫做方程的一个正整数解，则这个方程的正整数解有_______个．【答案】3【解析】【分析】【详解】理由：原方程可化为，得，即或或所以共有3个整数解．18．（2021·全国·九年级竞赛）方程有________组正整数解．【答案】2【解析】【分析】【详解】理由：由原方程，得，则，所以是6的约数．因为或，则可得所以共有2组正整数解．19．（2021·全国·九年级竞赛）不同的3个质数a，b，c满足，则________．【答案】222【解析】【分析】【详解】由，得，所以2000能被a整除．又因为a是质数，所以a只能取2或5．当时，，即．所以．当时，．因为，所以b，c无整数解．所以．20．（2021·全国·九年级竞赛）已知正整数m和n有大于1的最大公约数，并且满足，则________．【答案】196【解析】【分析】【详解】理由：设k是m，n的最大公约数，则m和n可以表示为（，a，b均为正整数）．于是，．因为且7与53都是质数，，所以且，即．由a，b是正整数，得．所以．故．21．（2021·全国·九年级竞赛）方程的正整数解共有__________对．【答案】4【解析】【分析】【详解】理由：，即．显然不满足方程，故．因此．从而．由于，故取，分别可得相应的正整数y，故共有4对正整数解．22．（2021·全国·九年级竞赛）若正整数x，y满足方程，则_________．【答案】63【解析】【分析】【详解】理由：不妨设x为奇数，y为偶数．因为的个位数字是7，所以的个位数字必是1，6．则x，y的个位数字必是1，4或1，6或9，4或9，6．又1997被4除余1，则x，y除以4的余数必为1，0．由知，因此x的可能值是1，9，21，29，41．经检验，仅当时，有．此时．23．（2021·全国·九年级竞赛）若是整数，则整数a的最小值是________．【答案】－500【解析】【分析】【详解】理由：先考虑a是自然数的情况．设，则，即．由于与的奇偶性相同，而它们的乘积为偶数，因此与同为偶数．而是唯一能分解成两个偶数乘积的情况，则解得因为满足是整数的最大自然数是500，所以满足是整数的最小整数是．24．（2021·全国·九年级竞赛）设a，b，c，d为正整数，且，则等于________．【答案】601【解析】【分析】【详解】理由：因为，所以．因为a，b，c，d为正整数，所以可设，其中m，n为正整数，则，即有．又，则解得因此，从而．25．（2021·全国·九年级竞赛）方程的所有不同的整数解共有________组．【答案】4【解析】【分析】【详解】理由：不妨先设，原方程变形为．因，所以，解得，无整数解．同理，均无整数解．而有整数解有整数解若，还有两组整数解所以，共有4组整数解．26．（2021·全国·九年级竞赛）已知三个质数m，n，p的乘积等于这三个质数的和的5倍，则________．【答案】78【解析】【分析】【详解】根据题意，得．因为m，n，p都是质数，所以必有一个是5，不妨设，则，即．从而有或解得或因此，．27．（2021·全国·九年级竞赛）表示不大于x的最大整数，方程的所有实数解为_______．【答案】，．【解析】【分析】【详解】由及已知方程得．因为为整数，所以，．解得．经检验，只有是已知方程的解．三、解答题28．（2021·全国·九年级竞赛）已知长方形的长和宽都是整数，并且其面积数与周长数恰好相等，求它的长和宽．【答案】长方形的长为6，宽为3【解析】【分析】【详解】设长方形的长为a，宽为b，根据题意，得，即．因为a，b都是正整数，且，所以解得．因此，长方形的长为6，宽为3．29．（2021·全国·九年级竞赛）有若干个战士，恰好组成一个八列长方形队列．若在队列中再增加120人或从队列中减去120人，都能组成一个正方形队列，问原方形队列共有多少战士？【答案】原有战士904人或136人【解析】【分析】【详解】设原有战士人，则由已知与均为完全平方数，可得其中m，n为正整数．两式相减，得，即．由原方程组可知，m，n能被4整除，所以与能被4整除，则可得或解得或从而可求得分别为904和136．故原有战士904人或136人．30．（2021·全国·九年级竞赛）用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为x厘米规格的地砖，恰需n块；若选用边长为y厘米规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知x，y，n都是整数，且x，y互质，试问这块地有多少平方米？【答案】【解析】【分析】【详解】设这块地的面积为S，则，即．因为x，y，n都是自然数，所以，且被整除．又x，y互质，则互质，从而互质．故124被整除．由于，注意到与具有相同的奇偶性，且．因此或因为x，y互质，所以．于是．所以．这块地有．31．（2021·全国·九年级竞赛）甲、乙两个粮库原各存有整数袋的粮食，如果从甲库调90袋到乙库，则乙库存粮是甲库的2倍；如果从乙库调若干袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍．问甲库原来最少存粮多少袋？【答案】153【解析】【分析】【详解】假设甲库原来存粮a袋，乙库原来存粮b袋，依题意得．

①假设乙库调c袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍，即．

②由①得．

③将③代入②，并整理得，于是．又a，c是正整数，从而，即；并且7整除，又因4与7互质，所以7整除．经检验知a的最小值是153，所以甲库原来最少存粮153袋．32．（2021·全国·九年级竞赛）某歌舞团在银星剧院演出的票价为5元到10元多种．某团体需购票价为8元和10元的票共160张，其中票价为10元的票数不少于票价为8元的票数的2倍．问：这两种票各买多少张所需的钱最少？最少需要多少钱？【答案】购买8元票53张，10元票107张时所花的钱最少，最少需要1974元．【解析】【分析】【详解】设购买8元的票为x张，则购买10元的票为张，依题意，得，．要使买票的钱最少，必须8元的票买得最多，但8元的票最多只能买53张，从而10元的票买107张，所需的钱为（元）．故购买8元票53张，10元票107张时所花的钱最少，最少需要1974元．33．（2021·全国·九年级竞赛）数码不同的两位数将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方数．求所有这样的两位数．【答案】65或56【解析】【分析】【详解】设原两位数为，由题意得，其中k是自然数．则，故有解得或因此所求的两位数是65或56．34．（2021·全国·九年级竞赛）设一菱形的边长是一个两位数对调这个两位数的个位数码与十位数码的位置得到的新数恰为该菱形的一条对角线长的一半．若该菱形的另一条对角线长也是整数则该菱形的边长为_________．【答案】65【解析】【分析】【详解】理由：菱形的对角线互相垂直，若设菱形的边长为a，对角线长分别为m，n，则，即．设菱形的边长为，则菱形的一条对角线长的一半为．而，x，y是自然数，且菱形的另一条对角线长也是整数，因此一定是完全平方数．因为，所以可以是11或44．当时，解得当时，没有满足条件的解．所以该菱形的边长为65．35．（2021·全国·九年级竞赛）已知p，q均为质数，并且存在两个正整数m，n，使得，则的值为________．【答案】【解析】【分析】【详解】因为q为质数，且，所以m，n中必有一个为1．不妨设，则．所以q，p是连续自然数，又都是质数，因此．于是，从而．36．（2021·全国·九年级竞赛）一块地能被n块相同的正方形地砖所覆盖，如果所用较小的相同正方形地砖，那么需块这样的地砖才覆盖该块地．已知n及地砖的边长都是整数，求n．【答案】324【解析】【分析】【详解】设大的地砖的边长为x，小的地砖的边长为y，则x，y均为正整数，，且满足：．

①若x，y有公因数d，设，则都是正整数，且互质．所以①式变成，即，所以．又与互质，则是的约数．而与的奇偶性相同，且，所以或因为互质，所以，则．解得．37．（2021·全国·九年级竞赛）一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长度是1997，问另一条直角边的长是多少？【答案】1994004【解析】【分析】【详解】设另一条直角边长是x，斜边长是y，则，即．由于y，x均为自然数，又1997为质数，，且同奇偶，因此解得．所以另一条直角边长是1994004．38．（2021·全国·九年级竞赛）求方程的正整数解．【答案】共有15组解，具体见解析【解析】【分析】【详解】因为x，y，z是正整数，并且，所以x，y，z都大于1．不妨设，则，

于是，即，得．从而有或3．当时．，即，得．所以或5或6．当时，由，得，所以．所以或4．于是，有因此，当时，共有四组解．从而得到下表中所列的15组解：x22441212266336344y41221242662363434z1241222462663344339．（2021·全国·九年级竞赛）求方程的正整数解．【答案】，，【解析】【分析】【详解】将原方程看作x的二次方程，则．因为方程有实数解，所以，，即．又，则．取正整数得．当时，原方程化为，即，解得（舍去）或，得当时，原方程化为，即，解得或．得40．（2021·全国·九年级竞赛）试求满足方程的非负整数x，y，z．【答案】【解析】【分析】【详解】若，则．当时，．求得一组解．若，设（，且a为整数），，则，．因此，或，此时原方程无整数解．以上考查了x是非负奇数．设（，且a为整数）．．则有．所以．因此当时，．当时，，设（，b为整数），则，所以，得．因此．41．（2021·全国·九年级竞赛）当时，求方程的正整数解．【答案】方程的正整数解为：和【解析】【分析】【详解】首先，有，且．故．从而，或3．若，则．故．从而，．由，相应得（舍去）．若，则．故．从而，（舍去）．由，相应得（舍去）．故方程的正整数解为：和．42．（2021·全国·九年级竞赛）已知关于x，y的方程组有整数解．求满足条件的质数p．【答案】．【解析】【分析】【详解】由及p为质数知或或或（1）当时，将其代入中，得，即．解得或（舍）．（2）当或或时，经计算可知没有符合条件的质数p．所以，符合条件的质数．43．（2021·全国·九年级竞赛）求所有的正整数m，n，使得是一个质数，且．【答案】当或4时，或17均为质数，此时，对应的n为7或13．【解析】【分析】【详解】由已知条件知．注意到是一个质数，且或，故不是3的倍数．因此，（1）若将两式相减得，不可能．（2）若将两式相减得，故．（3）若将两式相减得，故．（4）若将两式相减得，故．当或4时，或17均为质数，此时，对应的n为7或13．故满足条件的．将两式相减得，不可能．44．（2021·全国·九年级竞赛）解方程．【答案】．【解析】【分析】【详解】设，则有，即．

①，即．

②而原方程化为．

③由观察法知③有特解，故③的一般解为