立体几何中的动态问题专题讲义高三数学二轮复习

立体几何中的动态问题专题讲义图形与几何是数学的重要内容之一，立体几何是高中图形与几何中的主要组成部分，在高中数学学习中占据着重要地位。学习立体几何对学生的逻辑思维能力以及空间想象能力的培养起着至关重要的作用，高考中对立体几何的考查分值稳定，基本形成两小题一大题的命题格局，题型一、空间位置关系的判定图1例1.如图1，在矩形中，，和交于点，将沿直线翻折，则下列说法中错误的是（）图1A．存在，在翻折过程中存在某个位置，使得B．存在，在翻折过程中存在某个位置，使得C．存在，在翻折过程中存在某个位置，使得平面D．存在，在翻折过程中存在某个位置，使得平面解析:考虑把矩形特殊化，当时，此时矩形为正方形，则，将沿直线翻折，若使得平面平面时，由，平面，,得，又，所以，故A正确；又，，且，所以，又，所以，故B正确；在矩形中，，，所以将沿直线翻折时，总有，取，当将沿直线翻折到时，有即，且，则此时满足平面，故C正确；若平面，又，则，所以在中，为斜边，这与相矛盾，故D不正确，选D.方法点睛：对于翻折问题中的动态，要注意始终在同一个平面内的点线关系“不变”；异面直线垂直要转化到线面垂直去解决；要有利用特殊化研究探路的思维，例如把矩形特殊化为正方形，等腰三角形特殊化为等边三角形等。图2例2如图2，正方体的棱长为1，线段上有两个动点且，则下列结论中正确的有（）图2A．当点运动时，总成立B．当向运动时，二面角逐渐变小C．二面角的最小值为D．三棱锥的体积为定值解析：对于A：因为,所以，因为平面，所以，同理可证，因为,所以，因为，所以总成立，故选项A正确；对于B：平面即平面，而平面即平面，所以当向运动时，二面角大小不变，选项B不正确；图3对于C：建立如图3图3则，，因为在上，且，故可设，则，设平面的法向量为，又，所以，取，则，平面的法向量为，所以，设二面角的平面角为，则为锐角，故，当时，，所以，当且仅当时取最大值即取最小值，故C正确；对于D：因为,点到平面的距离为，所以体积为，即体积为定值，故选项D正确．故选ACD.方法点睛：对于动态变化的问题，因关注变化中不变的量或位置关系；对于探究存在问题或动态范围（最值）问题，用定性分析比较难或繁时，可以引进参数，把动态问题划归为静态问题，具体地，可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算，以算促证。题型二、轨迹问题图4例3如图4，斜线段与平面所成的角为，为斜足．平面上的动点满足,则点的轨迹为()图4A．圆B．椭圆C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分解析:建立如图5所示的空间直角坐标系，图5设，则图5则，图6，整理得，即所以点的轨迹是椭圆．图6例4如图6，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为正方形，侧面底面，为正方形内（包括边界）的一个动点，且满足,则点在正方形内的轨迹为（）A． B．C． D．图图7解析：如图7，以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为，，则，，，，则，．由,得，所以点在正方形内的轨迹为一条线段，故选A方法点睛：立体几何中点的轨迹问题是立体几何与解析几何的交汇题，主要考查如何将空间问题转化为平面的轨迹问题，例3、例4考查代数方法（坐标法）研究几何轨迹的基本思想。图8例5如图8，在棱长为的正方体中，分别是的中点，长为的线段的一个端点在线段上运动，另一个端点在底面上运动，则线段的中点的轨迹（曲面）与正方体（各个面）所围成的几何体的体积为（）图8A．B．C．D．图9解析：如图9，连接因为，，图9且分别为的中点，故且，所以，四边形为平行四边形，故且，，则，因为,所以，因为为的中点，故,所以点的轨迹是以点为球心，半径长为的球面，如图所示：所以，线段的中点的轨迹（曲面）与正方体（各个面）所围成的几何体为球的，故所求几何体的体积为，故选D.方法点睛：本题考查定义法求轨迹，将问题转化为在一个平面内的距离关系，借助于球的定义解决。题型三、最值、范围问题例6已知点在正方体表面运动，且，则直线与所成角的余弦值范围是（）A． B． C． D．图10解析：如图10，由题意知：的轨迹是过中点且垂直于的平面与正方体表面的交线，由图知：的轨迹为依次连接中点所成的正六边形，图10当是的中点，易知：，所以直线与所成角，即为与所成角，所以当在处时所成角最小，此时余弦值为；当时所成角最大，此时余弦值为；所以与所成角的余弦值范围.图11方法点睛：求解动态范围的选择、填空题时，应把这类动态的变化过程充分地展现出来，通过动态思维，观察它的变化规律，找到两个极端位置，即用特殊法求解范围图11例7已知正方体棱长为，若是平面内的动点，且，则与平面所成角的正切值的最大值为________.解析：如图11，连接，易知，平面，所以，又，，故，平面，所以，即点在平面内的轨迹为以为直径的圆（除去点），又，故与平面所成角即为，图12