热点07锐角三角函数及其应用（原卷版）

热点07锐角三角函数及其应用安徽中考数学解直角三角形题的主要考向分为四类：一是河流宽度模型，二是塔高模型，三是仰俯角模型，四是航海问题。需要注意的是，虽然在题目呈现上是以上四类题型，但从数学模型来看，所有解直角三角形题型均可分为两大类：一是钝角作垂线形，二是锐角作垂线形。考点一：锐角三角函数【例1】．（2022秋·安徽宿州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠DBC=∠A，若AC=4，sinAA．94 B．154 C．125【例2】．（2022秋·安徽芜湖）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于（）A．31010 B．1010 C．4【例3】．（2021秋·安徽亳州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，D为AB边上一动点．（1）若tan∠ACD=13，则（2）若CD=25，则tan∠ACD的值为__________【例4】．（2022·安徽淮南·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，那么：（1）AE=_________；（2）CD+55BD的最小值是__________【例5】．（2022·安徽合肥）如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，将ΔABC绕点C顺时针旋转得到ΔDEC，BC和DE相交于点O，点D落在线段AB上，连接BE．（1）若∠ABC=20°，则∠BCE=______；（2）若BE=BD，则tan∠ABC=______．【例6】．（2023秋·安徽合肥）如图，正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A，D重合），点A关于直线的对称点为点F，连接CF，设∠ABE=α．(1)求∠AFC的大小；(2)过点C作CG⊥AF，垂足为G，连接DG．①求证：DG∥CF；②连接OD，若OD⊥DG，求sinα【例7】．（2022·安徽·）如图，等边△ABC中，点D在BC上，点E，F在AC上，∠ADE=60°，AD=AF．(1)如图1，求证：EFCF(2)如图2，若∠DAE=∠CDE，①求证：△ABD≌△ACD；②若EF=4，求CF的长．【例8】．（2022秋·安徽蚌埠）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，cosB=45，tanC=3，AB=5考点二：解直角三角形的应用【例9】．（2022秋·安徽安庆）如图，河的两岸l1与l2相互平行，A、B是l1上的两点，C、D是l2上的两点．某人在点A处测得∠CAB=90°，∠DAB=30°，再沿AB方向前进10米到达点E（点E在线段AB上），测得∠DEB=60°，求【例10】．（2022秋·安徽滁州）如图，张明站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，他测得小船C的俯角是∠FDC=30°，若张明的眼睛与地面的距离是1.5米，BG=1米，BG平行于AC所在的直线，tan∠BAE=4:3，坡长AB=10米，求小船C到岸边的距离CA的长？（参考数据：根号【例11】．（2022秋·安徽安庆）如图，某超市的仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i=1:2，顶部处的高，B、C在同一水平地面上．(1)求斜坡AB长度；(2)矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中，将该货柜沿斜坡向上运送，此时GB=6m，身高为1.5m的小明站在B处看到点D正上方1.5m处有一盏吊灯．求点D离地面的高度并求出小明的仰角α的正切值．【例12】．（2022·安徽六安）如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座网络信号塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1:2.4的斜坡AP攀行了26米到达坡顶，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：(1)坡顶A到地面PO的距离；(2)网络信号塔BC的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos7【例13】．（2022·安徽蚌埠·统考二模）某校初中数学综合实践开展了多彩的活动．在一次活动中，某兴趣小组学习了以下史料：魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高：如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB=表高(1)该兴趣小组学过解直角三角形后，对该问题的测量方法进行了改良：测得两次测量点之间的距离CH=140m，且∠BHA=30°，∠BCA=20°，请求出海岛的高AB（其中AB⊥AC）．（结果保留两位小数，参考数据：3≈1.732，）(2)证明：海岛的高AB=表高【例14】．（2022·安徽芜湖·统考一模）小明在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，并由A点向南偏西45°方向行走到达B点测得C点在B点的北偏西45°方向，继续向正西方向行走2km后到达D点，测得C点在D点的北偏东22.5°方向，求A，C两点之间的距离．（结果保留0.1km．参数数据≈1.732）【例15】．（2023秋·安徽亳州）北京时间2022年6月5日10时44分，神舟十四号载人飞船在酒泉发射升空，为弘扬航天精神，某校在教学楼上从楼顶位置悬挂了一幅励志条幅GF．如图，已知楼顶到地面的距离为18.5米，当小亮站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼方向前行15米到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为42°，若AB，CD均为1.7米（即四边形ABCD为矩形），请你帮助小亮计算：(1)当小亮站在B处时离教学楼的距离；(2)求条幅GF的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin42°≈0.67，一、单选题1．（2022·中考真题）如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测P、Q两点距离为m米，∠PQT=α，则河宽PT的长度是（

）A．msinα B．mcosα C．2．下列计算错误的有（

）①sin60°-sin30°=sin30°；②A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为（A．817 B．715 C．15174．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿折叠为△BFE，点F落在AD上．若sin∠DFE=1A．12 B．22 C． D．二、填空题5．（2022春·全国）如果α是锐角，sina=cos30°6．如图，小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明与篮板底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为α，已知tanα的值为0.3，则点D到地面的距离CD的长为______7．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝3，AC＝2，则＝_____．三、解答题8．计算：2sin45°﹣|﹣3|+（2022﹣π）0+（12）﹣19．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别为（1）已知a=3,b=3，求∠A；（2）已知b=4,c=8，求a及∠A；（3）已知∠A=45°,c=8，求a及b．10．小明家住深圳某小区一楼，家里开了一间小卖部，小明的爸爸想把囤积的商品打折促销7天，因为考虑到疫情期间的安全问题，小明爸爸把一楼朝南的窗户改造成了营业窗口，如下图1，因为天气渐渐回暖，小明的爸爸想让小明帮忙设计一个可以伸缩的遮阳棚，如图2，AB表示窗户，高度为2米，宽度为3米，BCD表示直角遮阳篷，他打算选择的支架BC的高度为0．5米．小明为了最大限度地阻挡正午最强的阳光，为了测量太阳与地面的最大夹角，小明选择一个晴朗的天气，正午12点时在地面上竖立了一个长4米的木杆，测得落在地面的影子长为2．31米．参考数据（tan60°=≈1．73）(1)正午12点时，太阳光线与地面的夹角约为________度，请你帮忙估算出没有遮阳棚时，正午12点时太阳照射到室内区域面积为___________．（结果保留根号）(2)正午12点时，太阳刚好没有射入室内此时的CD，并求此时CD的长．（结果保留根号）11．为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门AB高6.5米，学生DF身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为30°，当学生刚好离开体温检测有效识别区域CD段时，在点C处测得摄像头A的仰角为60°，求体温检测有效识别区域CD段的长（结果保留根号）12．（2022·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O