高考数学科学复习提升版第43讲空间向量及其运算

第43讲空间向量及其运算[课程标准]1.了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示.3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义．1．空间向量及其有关定理概念语言描述共线向量(平行向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线eq\x(\s\up1(01))互相平行或重合共面向量平行于eq\x(\s\up1(02))同一个平面的向量共线向量定理对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一实数λ，使eq\x(\s\up1(03))a＝λb共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝eq\x(\s\up1(04))xa＋yb空间向量基本定理及推论定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝eq\x(\s\up1(05))xa＋yb＋zc.推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，且x＋y＋z＝eq\x(\s\up1(06))12.空间向量的数量积已知两个非零向量a，b，则a·b＝eq\x(\s\up1(07))|a||b|·cos〈a，b〉．3．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘向量λa＝(λa1，λa2，λa3)数量积a·b＝eq\x(\s\up1(08))a1b1＋a2b2＋a3b3共线a∥b(b≠0)⇒a1＝eq\x(\s\up1(09))λb1，a2＝eq\x(\s\up1(10))λb2，a3＝eq\x(\s\up1(11))λb3(λ∈R)垂直a⊥b⇔eq\x(\s\up1(12))a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|＝eq\x(\s\up1(13))eq\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))夹角公式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\x(\s\up1(14))eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))\r(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3)))1．证明空间任意三点共线的方法对空间三点P，A，B，可通过证明下列结论成立来证明三点共线：(1)eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))(λ∈R)；(2)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))(t∈R)；(3)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＝1)．2．证明空间四点共面的方法点共面问题可转化为向量共面问题，要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明eq\o(PA,\s\up6(→))＝xeq\o(PB,\s\up6(→))＋yeq\o(PC,\s\up6(→))，或对空间任一点O，有eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋xeq\o(PB,\s\up6(→))＋yeq\o(PC,\s\up6(→))或eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)即可．1．(人教B选择性必修第一册1.1.3练习BT5改编)已知a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是()A．2，eq\f(1,2) B．－eq\f(1,3)，eq\f(1,2)C．－3，2 D．2，2答案A解析∵a∥b，∴b＝ka，即(6，2μ－1，2λ)＝k(λ＋1，0，2)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6＝k（λ＋1），,2μ－1＝0，,2λ＝2k，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,μ＝\f(1,2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－3，,μ＝\f(1,2).))故选A.2．(人教B选择性必修第一册1.1.3练习BT8改编)已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为()A．－2 B．－eq\f(14,3)C.eq\f(14,5) D．2答案D解析由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，又a2＝14，a·b＝7，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.故选D.3．(人教A选择性必修第一册习题1.1T2(2)改编)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝()A.eq\o(D1B1,\s\up6(→)) B.eq\o(D1B,\s\up6(→))C.eq\o(DB1,\s\up6(→)) D.eq\o(BD1,\s\up6(→))答案D解析eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→)).故选D.4．(多选)(2023·宁德期末)已知a＝(1，0，1)，b＝(－1，2，－3)，c＝(2，－4，6)，则下列结论正确的是()A．a⊥bB．b∥cC．〈a，c〉为钝角D．向量c在向量a上的投影向量为(4，0，4)答案BD解析因为1×(－1)＋0×2＋1×(－3)＝－4≠0，所以a，b不垂直，A错误；因为c＝－2b，所以b∥c，B正确；因为a·c＝1×2＋0×(－4)＋1×6＝8，所以cos〈a，c〉>0，所以〈a，c〉不是钝角，C错误；向量c在向量a上的投影向量为|c|cos〈a，c〉eq\f(a,|a|)＝eq\f(a·c,|a|2)a＝eq\f(8,2)(1，0，1)＝(4，0，4)，D正确．故选BD.5．已知O是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝2xeq\o(BO,\s\up6(→))＋3yeq\o(CO,\s\up6(→))＋4zeq\o(DO,\s\up6(→))，则2x＋3y＋4z＝________．答案－1解析∵eq\o(OA,\s\up6(→))＝2xeq\o(BO,\s\up6(→))＋3yeq\o(CO,\s\up6(→))＋4zeq\o(DO,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＝－2xeq\o(OB,\s\up6(→))－3yeq\o(OC,\s\up6(→))－4zeq\o(OD,\s\up6(→))，∵O是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，∴－2x－3y－4z＝1，∴2x＋3y＋4z＝－1.6．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ＝________．答案eq\f(65,7)解析由题意可知，存在实数x，y使得c＝xa＋yb，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7＝2x－y，,5＝－x＋4y，,λ＝3x－2y，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(33,7)，,y＝\f(17,7)，,λ＝\f(65,7).))考向一空间向量的线性运算例1(1)已知向量a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq\f(1,2)c－2a，则c＝()A．(0，3，－6) B．(0，6，－20)C．(0，6，－6) D．(6，6，－6)答案B解析∵向量a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq\f(1,2)c－2a，∴c＝4a＋2b＝(8，12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0，6，－20)．故选B.(2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．①化简eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝________；②用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))表示eq\o(OC1,\s\up6(→))，则eq\o(OC1,\s\up6(→))＝________．答案①eq\o(A1A,\s\up6(→))②eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))解析①eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→)).②因为eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，所以eq\o(OC1,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)).空间向量线性运算中的三个关键点(2023·天津一中期末)如图，空间四边形OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，且OM＝2MA，BN＝NC，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝()A.eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)c B.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)cC．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c D.eq\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)c答案C解析由题意知，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.故选C.考向二共线向量与共面向量定理的应用例2如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足eq\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))(0≤k≤1)．(1)向量eq\o(MN,\s\up6(→))是否与向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面？(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？解(1)因为eq\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋keq\o(BC,\s\up6(→))＝k(eq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝k(eq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝keq\o(B1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－keq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－k(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1－k)eq\o(AB,\s\up6(→))－keq\o(AA1,\s\up6(→))，所以由共面向量定理知向量eq\o(MN,\s\up6(→))与向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面．(2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内．当0<k≤1时，MN不在平面ABB1A1内，又由(1)知eq\o(MN,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面，所以MN∥平面ABB1A1.证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))且同过点Peq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up6(→))1.若A(－1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线，则m＋n＝()A．－2 B．5C．1 D．－3答案D解析因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，－1，1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(m＋1，n－2，－2)，且A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1，1)＝(3λ，－λ，λ)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1＝3λ，,n－2＝－λ，,－2＝λ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－2，,m＝－7，,n＝4，))所以m＋n＝－3.2．在空间直角坐标系中，A(1，1，－2)，B(1，2，－3)，C(－1，3，0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，若A，B，C，D四点共面，则()A．2x＋y＋z＝1 B．x＋y＋z＝0C．x－y＋z＝－4 D．x＋y－z＝0答案A解析∵A(1，1，－2)，B(1，2，－3)，C(－1，3，0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0，1，－1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，2，2)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x－1，y－1，z＋2)．∵A，B，C，D四点共面，∴存在实数λ，μ使得eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，即(x－1，y－1，z＋2)＝λ(0，1，－1)＋μ(－2，2，2)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1＝－2μ，,y－1＝λ＋2μ，,z＋2＝－λ＋2μ，))解得2x＋y＋z＝1.故选A.多角度探究突破考向三空间向量的数量积角度坐标法例3已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)若|c|＝3，且c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，求c；(2)求a与b夹角的余弦值；(3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．解(1)∵c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴c＝meq\o(BC,\s\up6(→))＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m)．∴|c|＝eq\r(（－2m）2＋（－m）2＋（2m）2)＝3|m|＝3，∴m＝±1.∴c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)．(2)∵a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，又|a|＝eq\r(12＋12＋02)＝eq\r(2)，|b|＝eq\r(（－1）2＋02＋22)＝eq\r(5)，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－1,\r(2)×\r(5))＝－eq\f(\r(10),10).∴a与b夹角的余弦值为－eq\f(\r(10),10).(3)∵ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，ka＋b与ka－2b互相垂直，∴(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，∴k＝2或k＝－eq\f(5,2).即当ka＋b与ka－2b互相垂直时，k＝2或k＝－eq\f(5,2).角度基向量法例4已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(1)求|eq\o(AC1,\s\up6(→))|；(2)求向量eq\o(AC1,\s\up6(→))与eq\o(A1D,\s\up6(→))夹角的余弦值；(3)证明：eq\o(AA1,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→)).解(1)如图所示，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|b|＝1，|c|＝2.a·b＝0，a·c＝b·c＝2×1×cos120°＝－1.∵eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，∴|eq\o(AC1,\s\up6(→))|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋22－2－2＝2.∴|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(2).(2)∵eq\o(AC1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，eq\o(A1D,\s\up6(→))＝b－c，∴eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(A1D,\s\up6(→))＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－b·c＋b·c－c2＝1＋12－22＝－2.又|eq\o(A1D,\s\up6(→))|2＝(b－c)2＝b2＋c2－2b·c＝1＋4＋2＝7，∴|eq\o(A1D,\s\up6(→))|＝eq\r(7).∴cos〈eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(A1D,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AC1,\s\up6(→))·\o(A1D,\s\up6(→)),|\o(AC1,\s\up6(→))||\o(A1D,\s\up6(→))|)＝eq\f(－2,\r(2)×\r(7))＝－eq\f(\r(14),7).(3)证明：∵eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b－a，∴eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝－1－(－1)＝0.∴eq\o(AA1,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→)).空间向量数量积的三个应用求夹角设向量a与b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，进而可求两异面直线所成的角求长度(距离)利用公式|a|2＝a·a，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题解决垂直问题利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题1.(2023·芜湖期末)在棱长为3的正四面体A－BCD中，E为BC的中点，F为棱CD上靠近D的三等分点，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝()A.eq\f(9,4) B．－eq\f(9,4)C.eq\f(27,4) D．－eq\f(27,4)答案B解析如图所示，设eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝3，a·b＝a·c＝b·c＝3×3×cos60°＝eq\f(9,2)，由题意，知eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(BA,\s\up6(→))＝－a，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))－eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))－eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)c－eq\f(1,6)b，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝－a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)c－\f(1,6)b))＝－eq\f(2,3)a·c＋eq\f(1,6)a·b＝－eq\f(2,3)×eq\f(9,2)＋eq\f(1,6)×eq\f(9,2)＝－eq\f(9,4).故选B.2．(多选)空间直角坐标系中，已知O(0，0，0)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1，2，1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－1，2，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(2，3，－1)，则()A．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2B．△ABC是等腰直角三角形C．与eq\o(OA,\s\up6(→))平行的单位向量的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6)，－\f(\r(6),3)，－\f(\r(6),6)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),6)，\f(\r(6),3)，\f(\r(6),6)))D．eq\o(OA,\s\up6(→))在eq\o(OB,\s\up6(→))方向上的投影向量的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(4,3)，\f(2,3)))答案AC解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1，2，－1)－(－1，2，1)＝(0，0，－2)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(02＋02＋（－2）2)＝2，A正确；eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，3，－1)－(－1，2，1)＝(3，1，－2)，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(32＋12＋（－2）2)＝eq\r(14)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，3，－1)－(－1，2，－1)＝(3，1，0)，∴|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(32＋12＋02)＝eq\r(10)，∴△ABC三条边互不相等，B不正确；与eq\o(OA,\s\up6(→))平行的单位向量为e＝±eq\f(\o(OA,\s\up6(→)),|\o(OA,\s\up6(→))|)＝±eq\f(（－1，2，1）,\r(（－1）2＋22＋12))＝±eq\f(（－1，2，1）,\r(6))＝±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),6)，\f(\r(6),3)，\f(\r(6),6)))，C正确；eq\o(OA,\s\up6(→))在eq\o(OB,\s\up6(→))方向上的投影向量为eq\f(\o(OA,\s\up6(→))·\o(OB,\s\up6(→)),|\o(OB,\s\up6(→))|)·eq\f(\o(OB,\s\up6(→)),|\o(OB,\s\up6(→))|)＝eq\f(4,6)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(4,3)，－\f(2,3)))，D不正确．故选AC.课时作业一、单项选择题1．已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，0，1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝()A．－1 B．1C．0 D．2答案A解析因为a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，0，1)，所以p＝a－b＝(1，1，0)－(0，1，1)＝(1，0，－1)，q＝a＋2b－c＝(1，1，0)＋2(0，1，1)－(1，0，1)＝(0，3，1)，则p·q＝1×0＋0×3－1×1＝－1.故选A.2．以下四组向量在同一平面的是()A．(1，1，0)，(0，1，1)，(1，0，1)B．(3，0，0)，(1，1，2)，(2，2，4)C．(1，2，3)，(1，3，2)，(2，3，1)D．(1，0，0)，(0，0，2)，(0，3，0)答案B解析对于A，设(1，1，0)＝m(0，1，1)＋n(1，0，1)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝1，,m＝1，,m＋n＝0，))无解；对于B，因为(2，2，4)＝0(3，0，0)＋2(1，1，2)，故B中的三个向量共面；对于C，设(1，2，3)＝x(1，3，2)＋y(2，3，1)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝1，,3x＋3y＝2，,2x＋y＝3，))无解；对于D，设(1，0，0)＝a(0，0，2)＋b(0，3，0)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝1，,3b＝0，,2a＝0，))无解．故选B.3．在空间四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，则eq\o(CD,\s\up6(→))＝()A．a＋b－c B．c－a－bC．a－b－c D．b－a＋c答案B解析如图所示，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－b＋c－a＝c－a－b.故选B.4．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，O为坐标原点，eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，则λ的值为()A．±eq\f(\r(6),6) B.eq\f(\r(6),6)C．－eq\f(\r(6),6) D．±eq\r(6)答案C解析由于eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))＝(1，－λ，λ)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0，－1，1)，则cos120°＝eq\f(λ＋λ,\r(1＋2λ2)·\r(2))＝－eq\f(1,2)，解得λ＝±eq\f(\r(6),6).经检验λ＝eq\f(\r(6),6)不符合题意，舍去，所以λ＝－eq\f(\r(6),6).故选C.5．(2024·潍坊模拟)已知向量a＝(1，3，0)，b＝(2，1，1)，则向量a在向量b上的投影向量c＝()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(5,4)，\f(5,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(5,6)，\f(5,6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(5,8)，\f(5,8))) D．(2，4，4)答案B解析向量a＝(1，3，0)，b＝(2，1，1)，则a·b＝2＋3＋0＝5，|b|＝eq\r(4＋1＋1)＝eq\r(6)，故向量a在向量b上的投影向量c＝eq\f(a·b,|b|)·eq\f(b,|b|)＝eq\f(5,6)b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(5,6)，\f(5,6))).故选B.6.(2023·安徽宣城期末)四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为棱PC的中点，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AP,\s\up6(→))，则x＋y＋z＝()A.eq\f(3,2) B．1C.eq\f(5,2) D．2答案A解析因为eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(EP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋(eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→)))，所以2eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AP,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(1,2)，所以x＋y＋z＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).故选A.7．(2023·广东六校联考)已知正四面体ABCD的棱长为1，且eq\o(BE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,6) B．－eq\f(1,6)C．－eq\f(1,3) D．eq\f(1,3)答案C解析因为eq\o(BE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，所以eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→)).根据向量的减法法则，得eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(CB,\s\up6(→))－\o(CA,\s\up6(→))))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)|eq\o(CB,\s\up6(→))||eq\o(CD,\s\up6(→))|coseq\f(π,3)－|eq\o(CA,\s\up6(→))||eq\o(CD,\s\up6(→))|coseq\f(π,3)＝eq\f(1,3)×1×1×eq\f(1,2)－1×1×eq\f(1,2)＝－eq\f(1,3).故选C.8．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，M为BC的中点，则△AMD是()A．钝角三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．不确定答案C解析∵M为BC的中点，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．∴eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，∴AM⊥AD，∴△AMD为直角三角形．故选C.二、多项选择题9.(2023·十堰二模)《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，eq\o(B1D,\s\up6(→))＝2eq\o(DC1,\s\up6(→))，则()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C．向量eq\o(AD,\s\up6(→))在向量eq\o(AB,\s\up6(→))上的投影向量为eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))D．向量eq\o(AD,\s\up6(→))在向量eq\o(AC,\s\up6(→))上的投影向量为eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))答案BD解析因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(B1D,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(A1C1,\s\up6(→))－eq\o(A1B1,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以A错误，B正确；如图所示，过D作DE⊥BC于E，过E作EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，故向量eq\o(AD,\s\up6(→))在向量eq\o(AB,\s\up6(→))上的投影向量为eq\o(AF,\s\up6(→))，向量eq\o(AD,\s\up6(→))在向量eq\o(AC,\s\up6(→))上的投影向量为eq\o(AG,\s\up6(→))，由题意易得eq\f(AF,AB)＝eq\f(1,3)，eq\f(AG,AC)＝eq\f(2,3)，故eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以C错误，D正确．故选BD.10．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是()A．(eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→)))2＝3eq\o(A1B1,\s\up6(→))2B.eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝0C．向量eq\o(AD1,\s\up6(→))与向量eq\o(A1B,\s\up6(→))的夹角是60°D．正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))|答案AB解析由向量的加法运算得到eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝eq\o(A1C,\s\up6(→))，∵A1C2＝3A1Beq\o\al(2,1)，∴eq\o(A1C,\s\up6(→))2＝3A1B12，故A正确；∵eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB1,\s\up6(→))，AB1⊥A1C，∴eq\o(A1C,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝0，故B正确；∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的角为60°，但是向量eq\o(AD1,\s\up6(→))与向量eq\o(A1B,\s\up6(→))的夹角是120°，故C错误；∵AB⊥AA1，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＝0，故|eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))|＝0，因此D错误．故选AB.11.如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD－A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，则下列说法中正确的是()A．AC1＝6eq\r(6)B．AC1⊥DBC．向量eq\o(B1C,\s\up6(→))与eq\o(AA1,\s\up6(→))的夹角是60°D．BD1与AC所成角的余弦值为eq\f(\r(6),3)答案AB解析因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，所以eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝6×6×cos60°＝18，(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))2＝eq\o(AA1,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋2eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝36＋36＋36＋3×2×18＝216，则|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(（\o(AA1,\s\up6(→))＋\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))）2)＝6eq\r(6)，所以A正确；eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))2＝0，所以B正确；显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D＝60°.因为eq\o(B1C,\s\up6(→))＝eq\o(A1D,\s\up6(→))，且eq\o(A1D,\s\up6(→))与eq\o(AA1,\s\up6(→))的夹角是120°，所以eq\o(B1C,\s\up6(→))与eq\o(AA1,\s\up6(→))的夹角也是120°，所以C错误；因为eq\o(BD1,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，所以|eq\o(BD1,\s\up6(→))|＝eq\r(（\o(AD,\s\up6(→))＋\o(AA1,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))）2)＝6eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(（\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))）2))＝6eq\r(3)，eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝36，所以cos〈eq\o(BD1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BD1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(BD1,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(36,6\r(2)×6\r(3))＝eq\f(\r(6),6)，所以D错误．三、填空题12．已知O(0，0，0)，A(1，2，3)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，当eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))取最小值时，点Q的坐标是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3)))解析由题意，设eq\o(OQ,\s\up6(→))＝λeq\o(OP,\s\up6(→))，即eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(λ，λ，2λ)，则eq\o(QA,\s\up6(→))＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，eq\o(QB,\s\up6(→))＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))＝(1－λ)·(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(4,3)))eq\s\up12(2)－eq\f(2,3)，当λ＝eq\f(4,3)时，eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))有最小值，此时点Q的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3))).13.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M，N，G分别是棱AA1，BC，A1D1的中点，设Q是该正方体表面上的一点，若eq\o(MQ,\s\up6(→))＝xeq\o(MG,\s\up6(→))＋yeq\o(MN,\s\up6(→))(x，y∈R)，则点Q的轨迹围成的图形的面积是________．答案3eq\r(3)解析∵eq\o(MQ,\s\up6(→))＝xeq\o(MG,\s\up6(→))＋yeq\o(MN,\s\up6(→))(x，y∈R)，∴Q在平面MGN上，分别取AB，CC1，C1D1的中点E，F，O，则点Q的轨迹是正六边形OFNEMG，∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，∴正六边形OFNEMG的边长为eq\r(2)，∴点Q的轨迹围成的图形的面积是S＝6×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×sin60°＝3eq\r(3).14．已知空间向量eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))的模分别为1，2，3，且两两夹角均为60°.点G为△ABC的重心，若eq\o(PG,\s\up6(→))＝xeq\o(PA,\s\up6(→))＋yeq\o(PB,\s\up6(→))＋zeq\o(PC,\s\up6(→))，x，y，z∈R，则x＋y＋z＝________，|eq\o(PG,\s\up6(→))|＝________．答案1eq\f(5,3)解析根据题意得，点G为△ABC的重心，设BC的中点为D，则eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以eq\o(PG,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→)))，所以eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PC,\s\up6(→))，所以x＝y＝z＝eq\f(1,3)，所以x＋y＋z＝1.|eq\o(PG,\s\up6(→))|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12＋22＋32＋2×1×2×\f(1,2)＋2×1×3×\f(1,2)＋2×2×3×\f(1,2)))＝eq\f(25,9)，所以|eq\o(PG,\s\up6(→))|＝eq\f(5,3).四、解答题15．(2023·杭州期末)如图，在四面体A－BCD中，eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AH,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CG,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(CD,\s\up6(→))，λ∈(0，1)．(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)若λ＝eq\f(1,3)，设M是EG与FH的交点，O是空间任意一点，用eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))表示eq\o(OM,\s\up6(→)).解(1)证明：因为eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))－λeq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\o(CG,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(CD,\s\up6(→))－(1－λ)eq\o(CB,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(BD,\s\up6(→))，所以eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\f(λ,1－λ)eq\o(FG,\s\up6(→))，则eq\o(EH,\s\up6(→))∥eq\o(FG,\s\up6(→))，因此E，F，G，H四点共面．(2)由(1)知，eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BD,\s\up6(→))，因此eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(FG,\s\up6(→))，EH，FG不在同一条直线上，所以EH∥FG，则eq\f(EM,MG)＝eq\f(EH,FG)＝eq\f(1,