人教版七年级上册数学培优讲义

数轴、相反数、绝对值（讲义）一、知识点睛1．比较大小的三种方法____________________________________________________________________________________________________________2．去绝对值______________________________________________________3．分类讨论______________________________________________________4．绝对值的几何意义______________________________________________________二、精讲精练【板块一】比较大小和最值作差法比较大小：（1）2aa（a＞0）（2）a+ba-b（b＞0）（3）5b-b（b＜0）（4）a2a（a＜0）如果a＞0，b＜0，|a|＜|b|，则a，b，-a，-b这4个数从小到大的顺序是______________________________________．如果a＜0，b＞0，b＞|-a|，则a，b，-a，-b这4个数从小到大的顺序是______________________________________．若0＜a＜1，则a，-a，a2，按照从大到小的顺序排列______________________________________．若-1＜a＜0，则a，-a，a2，按照从大到小的顺序排列______________________________________．因为|a|____0，所以|a|有最___值是___，进而|a|+2有最___值是_____；因为-|a|___0，所以-|a|有最___值是____，进而-|a|+10有最___值是____．类似的，因为a2____0，所以a2有最___值是___，a2-2有最___值是___．【板块二】去绝对值若|a|=a，|b|=-b，且ab≠0，则|b-a|=________．已知|m|=-m，化简|m-1|-|m-2|．已知a+b＜0，化简|a+b-1|-|3-a-b|．设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简|b-a|+|c|-|a+c|-2|a|．设有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简|a+b|-|a|-|1-b|+|-b|．设有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简|a|-|1-b|-|a+1|-|-b|．已知a＜0＜c，ab＞0，|b|＞|c|＞|a|，化简：|b|-|a+b|+|c-a|+|b+c|．已知a＜0＜c，ab＜0，|a|＞|c|＞|b|，化简：|a|-|a+c|-|b-c|-|-b|．【板块三】分类讨论若|x-1|=5，|y|=1，则|x-y|的值为．若|x+2|=4，|y|=3，则|x+y|的值为．若|a|=4，|b|=2，且|a+b|=a+b，则a-b的值是多少？若|x|=3，|y|=2，且|x-y|=y-x，则x+y的值是多少？若ab≠0，则的值是多少？若abc≠0，则的值是多少？【板块四】绝对值的几何意义x为有理数，则|x-1|+|x-2|的最小值为______．x为有理数，则|x+1|+|x-2|的最小值为______．x为有理数，则|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值为______．三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

【参考答案】一、知识点睛1．比较大小的三种方法：①作差法；②数轴法；③特殊值法．2．去绝对值：①看整体，依法则；②去符号，留括号；③化简验证．3．分类讨论：①画树状图，分类；②筛选，排除．4．绝对值的几何意义：|a-b|表示数a，b两点之间的距离二、精讲精练1．（1）＞，（2）＞，（3）＜，（4）＞； 2．b＜-a＜a＜-b；3．-b＜a＜-a＜b；4．＞a＞a²＞-a； 5．-a＞a²＞a＞； 6．≥，小，0，小，2；≤，大，0，大，10；≥，小，0，小，-2；7．a-b； 8．-1； 9．-2； 10．–b； 11．b-1；12．-2a-2b；13．-b； 14．0； 15．3，5，7；16．1，3，5，9； 17．6或2；18．-1或-5；19．0或2或-2； 20．3或1或-1或-3； 21．（1）1；（2）3；（3）2；

数轴、相反数、绝对值（随堂测试）已知且，借助于数轴如下图，试把a，-a，b，-b四个数用“＜”连接起来．已知，化简的值．若|m|=4，|n|=5，且|m-n|=n-m，那么m+n的值是．若ab≠0，求的值是多少？【参考答案】a＜-b＜b＜-a-31或91或-3

数轴、相反数、绝对值（作业）比较大小：（1） （2）（3）3b-2b（b＜0） （4）a+3b2a+3b（a＜0）若a＞1，则a，-a，a2，这4个数从大到小的顺序是．如果a＞0，b＜0，|a|＜|b|，则a，b，-a，-b这4个数从小到大的顺序是______________________________________．因为|m|____0，所以|m|有最_____值是___，进而|m|-1有最____值是_____；因为-|m|____0，所以-|m|有最_____值是，进而-|m|+5有最值是．若|a|=-a，|-b|=b，则|b-2a|=________．若，则必有（）A．a＜0，b>0 B．a＜0，b＜0C． D．若x的绝对值小于1，则化简得（）A．0B．2C．2xD．-2x设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简．

有理数a、b在数轴上的位置如图所示，化简若，，那么的值为．若|a|=2，|b+1|=3，且|a-b|=b-a，那么a+b的值是．若ab＜0，求的值是多少？若ab≠0，求的值是多少？x为有理数，则|x+3|+|x-2|的最小值为______．【参考答案】1．（1）＞（2）＜，（3）＜，（4）＞； 2．；3．b＜-a＜a＜-b； 4．≥，小，0；小，-1；≤，大，0；大，5；5．b-2a； 6．D； 7．B； 8．a+b； 9．1–a；10．2，4；11．0，4； 12．0； 13．3，-1； 14．5

有理数混合运算（讲义）一、知识点睛1.有理数混合运算要点：____________________________________________________________________________________________________________2.有理数运算技巧：______________________________________________________二、精讲精练板块一：有理数混合运算基础训练

练习：（1）（2）（3）（4）板块二：运用运算律解题1+2-3-4+5+6-7-8+…+97+98-99-100板块三：运用技巧解题计算：计算：三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛1．有理数混合运算要点：①看结构，划部分；②平均分配工作量；③注意检验．2．有理数运算技巧：①裂项相消；②倒序相加；③错位相减．二、精讲精练1．-1； 2．； 3．27； 4．109；5．（1）-3，（2）7，（3）7，（4）-43； 6．-100；7．8； 8．96； 9．-82； 10．-43.6；11．； 12．885； 13．

有理数混合运算（随堂测试）有理数运算：（1）（2）（3）【参考答案】1．（1） （2）-39 （3）-52

有理数混合运算（作业）8÷+3211×(-455)+365×455-211×545+545×365【参考答案】1．； 2．； 3．-9； 4．； 5．0；6．5； 7．； 8．； 9．-1； 10．；11．4； 12．154000； 13．．代数式求值（讲义）一、知识点睛1．整式加减：___________________________________________2．整体代入：___________________________________________3．数位表示：__________________________________________二、精讲精练【板块一】整式加减化简：.化简：.若关于x、y的多项式2mx2-x2+5x+8-(7x2-3y+5x)的值与x无关，求m2-[2m2-(5m-4)+m]的值．化简：3(a+b)2-2(a+b)2-(a+b)-(a+b)2+3(a+b)+1.【板块二】整体代入若a2+2a=1，则代数式2(a2+2a)3-5(a2+2a)-7的值是.若，则代数式的值是.若代数式2a2+3b的值是6，则代数式4a2+6b+8的值是_____.若x3-4x+4=0，则代数式3x3-12x+10的值是_______.当x=1时，代数式px3+qx+1的值是2012；则当x=-1时，代数式px3+qx+1的值是________.当x=7时，代数式ax3+bx-5的值是7；则当x=-7时，代数式ax3+bx-5的值是_______.当x=2时，代数式ax3-bx+1的值是-17；则当x=-1时，代数式12ax-3bx3-5的值是_______.【板块三】数位表示一个三位数，中间数字为9，百位上数字为a，个位上数字是b，用代数式表示这个三位数是______________________.一个三位数，个位数字为a，十位数字比个位数字大b，百位数字比个位数字的平方小2，用代数式表示这个三位数是______________________.若a表示一个两位数，b表示一个一位数，把b放在a的左边组成一个三位数，则______________________若则______________________一个两位数，十位上的数字为x，个位上的数字为y，交换这个两位数十位上的数字和个位上的数字，得到一个新的两位数，这两个两位数的差能被9整除吗？说明理由.三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛1．①去括号；②合并同类项．2．①做判断（无法求出单个字母值时考虑整体代入）；②找整体；③巧表示（含有字母的项放到等号左边，不含字母的项放到等号右边）.3．①画数位表；②找计数单位．二、精讲精练1．-9m-2； 2．2ab2； 3．-4； 4．2a+2b+1；5．-10； 6．（）； 7．20； 8．-2；9．-2010； 10．–17； 11．22；12．100a+b+90； 13．100a2+11a+10b-200；14．100b+a； 15．1000x+y；16．能被9整除，因为这两个两位数的差为9(x-y)或9(y-x)代数式求值（随堂测试）化简：．则【参考答案】1．-x-5； 2．-4； 3．32； 4．10n+m.代数式求值（作业）化简：．化简：．化简：-3(m-n)2-(m-n)2-3(m-n)+4(m-n)2+2(m-n)-12012．若a2+a=2，则代数式2a2+2a+2007的值是．若，则代数式的值是．若代数式a2+2b+1的值是5，则代数式3a2+6b-8的值是．若代数式3x2-4x+6的值是9，则代数式x2-的值是．当x=-3时，代数式的值是7；则x=3时，代数式的值是．若x表示一个两位数，把数字3放到x的左边组成一个三位数，则这个三位数用代数式可表示为__________________．【参考答案】1．； 2．-m-5； 3．m=-； 4．-m+n-1；5．2011； 6．7； 7．4； 8．7；9．-17； 10．311x-903； 11．x+300；12．100a+b； 13．10y+x；

规律探索专练（讲义）一、知识点睛数与式的规律：______________________________________________________________________________________________________图形规律：______________________________________________________________________________________________________循环规律：______________________________________________________________________________________________________二、精讲精练【板块一】数与式的规律直接写出下列数的第n项：（1）4，6，8，10，12，…，则它的第n个数是________；（2）6，18，54，162，…，则它的第n个数是_________；（3）9，27，81，243，…，则它的第n个数是_________；（4）2，6，12，20，30，…，则它的第n个数是________；（5）0，3，8，15，24，…，则它的第n个数是________；（6）-2，3，-4，5，-6，…，则它的第n个数是_________；（7），，，，…，则它的第n个数是_______.直接写出下列数的第n项：（1）5，8，11，14，17，…，则它的第n个数是________；（2）4，8，16，32，64，…，则它的第n个数是_________；（3），，，，…，则它的第n个数是_________；（4）2，5，10，17，26，…，则它的第n个数是________；（5），，，，…，则它的第n个数是______.

观察表1，寻找规律．（1）表2、表3分别是从表1中选取的一部分，则a+b的值为________；（2）表4、表5分别是从表1中选取的一部分，则c+d的值为________．表1表2表3表4表5如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.（1）表中第8行的最后一个数是，它是自然数的平方，第8行共有个数；（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是，最后一个数是，第n行共有个数.观察下列等式：①1＝12；②2＋3＋4＝32；③3＋4＋5＋6＋7＝52；④4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72；…；请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是（）A．1005＋1006＋1007＋…＋3016＝20112B．1005＋1006＋1007＋…＋3017＝20112C．1006＋1007＋1008＋…＋3016＝20112D．1007＋1008＋1009＋…＋3017＝20112

【板块二】图形规律如图，是由若干盆花组成的形如正多边形的图案，每条边（包括两个顶点）有n（n＞2）盆花，每个图案中花盆总数为S，按此规律推断S与n（n≥3）的关系式是_______________.

下列图案由边长相等的黑白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第n个图案中白色正方形个数为．图1图1图2图3下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第1个图形一共有2个五角星，第2个图形一共有8个五角星，第3个图形一共有18个五角星，…，则第6个图形中五角星的个数为____，第n个图形中五角星的个数为______.图1图2图3如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是．图1图2图3图4如图，下面是按照一定规律画出的一行“树形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出了2个“树枝”，图A3比图A2多出了4个“树枝”，图A4比图A3多出了8个“树枝”，…，照此规律，则图A6比图A2多出_______个“树枝”.

图1是一瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，图2铺成了一个2×2的近似正方形，其中完整的菱形共有5个；若铺成3×3的近似正方形图3，其中完整的菱形有13个；铺成4×4的近似正方形图4，其中完整的菱形有25个；如此下去，可铺成一个n×n的近似正方形图案．当得到完整的菱形共181个时，n的值为（）A．7B．8C．9D．10图1图2图3图4如图，广场地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成．图中，第1个黑色形由3个正方形组成，第2个黑色形由7个正方形组成，…，那么组成第6个黑色形的正方形个数是（）A．22B．23C．24D．25【板块三】循环规律如图，圆圈内分别标有0，1，2，3，4，…，11这12个数字．电子跳蚤每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳蚤从标有数字“2”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2012次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是.如图，四个电子宠物排座位：一开始，小鼠、小猴、小兔、小猫分别坐在1、2、3、4号的座位上，以后它们不停地交换位置，第一次上下两排交换位置，第二次是在第一次交换位置后，再左右两列交换位置，第三次是在第二次交换位置后，再上下两排交换位置，第四次是在第三次交换位置后，再左右两列交换位置，…，这样一直继续交换位置，第2012次交换位置后，小鼠所在的座号是_____.

右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A、B、C、D．请你按图中箭头所指方式(即ABCDCBABC…的方式)从A开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到14时，对应的字母是；当字母C第2012次出现时，恰好数到的数是；当字母C第2n1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是_________(用含n的代数式表示)．如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…（1）“17”在射线上；（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律；（3）“2012”在哪条射线上？三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

【参考答案】一、知识点睛1.数与式的规律：①标序号；②找结构；③处理符号。2.图形规律：①图形的运动：对称、平移、旋转；②图形构成：分类、去重、补形；③转化为数的规律.3.循环规律：①找起始位置；②寻找循环节.二、精讲精练1.（1）2n+2（2）2×3n（3）3n+1（4）n(n+1)（5）n2-1（6）(-1)n（n+1）（7）（-1）n+12.（1）3n+2（2）2n+1（3）（4）n2+1（5）（-1）n+13.（1）121（2）1024.（1）64815（2）n2-2n+2或2n-15.C6.S=n2-n或S=n（n-1）7.5n+38.72，2n29.4n-210.6011.D12.B13.614.115.B60356n+316.（1）OE（2）略（3）OB规律探索专练（随堂测试）观察下列各式，你会发现什么规律？3×5＝15，而15＝42-1；5×7＝35，而35＝62-1；……11×13＝143，而143＝122-1；将你猜想到的规律用含n的式子表示出来_______________．下面是用棋子摆成的“小屋子”．摆第10个这样的“小屋子”需要多少枚棋子？摆第n个这样的“小屋子”呢？你是如何得到的？图1图2图3图4将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有个小圆．（用含n的代数式表示）图1图1图2图3图4观察下列图形的排列规律（其中△□☆分别表示三角形、正方形、五角星）.若第一个图形是三角形，则第2012个图形是____________．（填图形名称）△□☆□△☆△□☆□△☆△…【参考答案】1．2．第10个“小屋子”需要59枚棋子；第n个“小屋子”需要6n-1枚棋子3．4．正方形规律探索专练（作业）直接写出下列数的第n项：（1）6，9，12，15，18，…，则它的第n个数是________；（2）4，16，64，256，…，则它的第n个数是_________；（3）4，9，16，25，…，则它的第n个数是___________；（4）3，8，15，24，35，…，则它的第n个数是_______；（5）1，2，5，10，17，…，则它的第n个数是________；（6）-2，4，-6，8，-10，…，则它的第n个数是________．

根据下列数表1，探索规律，并参照数表2写出a的值：a=______．表1表2将1，-2，3，-4，5，-6，…，按一定规律排成下表：第一行1第二行-2，3第三行-4，5，-6第四行7，-8，9，-10……（1）写出第8行的数；（2）探索规律写出第50行的第一个数，简要说明道理．观察下列式子：1+8=32，1+8+16=52，1+8+16+24=72，1+8+16+24+32=92，……根据你发现的规律，下列各式正确的是（）A．1+8+16+24+…+8n=(2n+1)2B．1+8+16+24+…+8n=(2n-1)2C．1+8+16+24+…+8n=(n+2)2D．1+8+16+24+…+8n=n2观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有个．图1图2图3将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到条折痕．如果对折n次，可以得到条折痕．第一次对折第二次对折第三次对折如图1，图2，图3，图4，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是_____，第个“广”字中的棋子个数是_______．图1图2图3图4如图，图1中一共有1个平行四边形，图2中一共有5个平行四边形，图3中一共有11个平行四边形，…，则第10个图形中平行四边形的个数是（）图1图2图3图4A．54B．110C．19D．109

如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从5这点开始跳，则经2012次跳后它停在的点所对应的数为（）A．1B．2C．3D．5第9题图第10题图小时候我们就用手指练习过数数，一个小朋友按图中的规则练习数数，数到2012时对应的指头是（）A．大拇指B．食指C．中指D．无名指如图所示，4盏霓虹灯安装在大正方形的4个小正方形框里，3秒后，上下的灯互换图案，又过了3秒，左右的灯互换图案，…，重复这样的变化规律．请画出经过1分钟后霓虹灯的排列图案．

如图，平面内有公共端点的八条射线OA、OB、OC、OD、OE、OF、OG、OH，从射线OA开始按逆时针方向依次在（1）“20”在射线上；（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律；（3）“2012”在哪条射线上？【参考答案】1．（1）3n+3（2）4n（3）(n+1)2（4）n(n+2)（5）n2-2n+2或（n-1）2+1（6）(-1)n2n2．313．（1）29，-30，31，-32，33，-34，35，-36（2）-12264．A5．1216．152n-17．152n+58．D9．D10D11．略12．（1）OD；（2）略；（3）OD

含字母的方程（讲义）一、知识点睛1．使方程左右两边的值相等的_______________叫做方程的解．解题时一般要先找到解所________方程，然后________对应方程求解字母的值．2．同解方程：当两个方程有一个含字母一个不含字母时，我们一般先________________，然后将这个解_______另一个方程求解字母的值．当两个方程均含字母时，一般先____________________，然后_____________________．3．对于含字母系数的方程我们一般先化成最简形式：________，然后对____________进行讨论．二、精讲精练解方程：（1）；（2）．小虎在解关于x的方程5a-2x=13时，误将“-2x”看成“+x”，得方程的解为x=-2，则a的值是_____，原方程的解为_____．小王在解关于y的方程3a-2y=6时，误将“-2y”看成了“+2y”，得方程的解为y=-3，则原方程的解为_____________．

小明在解方程时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是：，怎么办呢？（1）小明猜想“”部分是2，请你算一算x的值．（2）小明翻看了书后的答案，此方程的解是x=1．请你算一算这个常数应是多少？若a，b互为相反数（a≠0），则关于x的一元一次方程ax+2b=0的解是．方程3(2x-1)=2+3x的解与关于x的方程的解互为相反数，求k的值．方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求m的值．已知关于x的方程2x+a=3和是同解方程，求a的值．已知方程与关于x的方程是同解方程，求k的值．求关于x的方程ax=b的解．当a，b满足什么条件时，关于x的方程5-a=1-bx：（1）有唯一解；（2）有无穷多解；（3）无解．当a，b满足什么条件时，关于x的方程3-b=1-ax：（1）有唯一解；（2）有无穷多解；（3）无解．三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛1．未知数的值，对应的，代入；2．求解不含字母的方程，代入，求解这两个方程，令这两个解相等;3．ax=b，a、b．二、精讲精练1．（1）x=-6；（2）y=8 2．3，x=1； 3．y=3；4．（1）x=2；（2）5．x=2； -； 7m=1； 811．12．

含字母的方程（随堂测试）小王在解关于y的方程3a-2y=9时，误将“-2y”看成了“-y”，得方程的解为y=-3，则原方程的解为____________．已知关于x的方程和3x+2a=1是同解方程，则a的值为多少？当a，b满足什么条件时，关于x的方程3-2b=5-ax：（1）有唯一解；（2）有无穷多解；（3）无解．【参考答案】1． 2．3．

含字母的方程（作业）解方程：（1）；（2）．小明在做家庭作业时发现练习册上一道解方程的题目被墨水污染了：，“⊕”是被污染的数．他很着急，翻开书后面的答案，这道题的解是x=2，你能帮他补上“⊕”所代表的数吗？小石在解关于x的方程2a-2x=13x时，误将等号前的“-2x”看作“-x”，得出解为x=1，则a的值是______，原方程的解为_____________．若a，b互为相反数（a≠0），则关于x的一元一次方程ax+b=0的解是_____________．方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求m的值．若关于y的方程2y+3k=15与5y+3=18是同解方程，则k的值是（）A．-3 B．3 C．1 D．-1如果关于x的方程3x-2a=0和2x+3a-13=0是同解方程，那么a的值是多少？当a，b满足什么条件时，关于x的方程6-2a=1-bx：（1）有唯一解；（2）有无穷多解；（3）无解．【参考答案】1．（1）x=5；（2）； 2．4； 3．7，；4．；5．； 6．B； 7．a=3；8．

经济问题（讲义）一、知识点睛找关键词．①“进价、投资、成本费”是指________；②“获利、盈利、收益”是指________；列表分析．利润计算公式：①利润=售价-成本； ②销售利润=销售量×单件利润；③利润=成本×利润率； ④累积利润=各段利润之和．二、精讲精练某商店将一种书包按成本价提高40%进行标价，由于促销，决定打八五折处理，为吸引更多顾客又降价9元，这时每个书包仍可获利10%，则每个书包的成本为多少元？某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律优惠20%出售，已知某种运动鞋进价为每双120元，优惠后商家想使所获取的利润率为40%，问这种运动鞋标价是每双多少元？网络购物方便快捷，逐渐成为人们日常购物的一种重要方式．国庆期间某网店推出一系列并行优惠活动：（1）在国庆期间，网店全部商品8折销售；（2）凡在本网店购物均可享受5%的返利（在成交价的基础上返还5%）．小李是该网店的店主，他想将商铺中进价为每件296元的羽绒服卖出，且保证在自己承担10元运费的情况下每件获得150元的利润，请问他该如何给这件羽绒服标价？某商场购进一批小型家用电器，每个进价40元．经市场预测，当销售单价为52元时，每天可售出x个（x>20）；调查显示：销售单价每增加1元，日销售量将减少10件．（1）请用含x的代数式表示出当销售单价为54元时，商场每天获得的销售利润是多少？（2）求当x取何值时，才能使销售单价为52元与销售单价为54元的销售利润相等．商场出售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价比A型冰箱高出10%，但每日耗电量为0.55度．现将A型冰箱打折出售，问商场将A型冰箱打几折，消费者买A型冰箱10年花费的总费用与买B型冰箱10年的总费用相当（每年365天，每度电按0.56元计算）？（总费用=买冰箱费用+使用总电费）牙刷由牙刷头和牙刷柄组成．某时期，甲、乙两厂家分别生产老式牙刷（牙刷头不可更换）和新式牙刷（牙刷头可更换），有关销售策略与售价等信息如下表所示．某段时间内，甲厂家销售了3200个牙刷，乙厂家销售的牙刷头数量是牙刷柄数量的20倍，乙厂家获得的利润是甲厂家的两倍，问这段时间内，乙厂家销售了多少个牙刷柄，多少个牙刷头？老式牙刷新式牙刷牙刷柄牙刷头售价5(元/个)8(元/个)2(元/个)成本2(元/个)4(元/个)1(元/个)某企业生产电脑配件，今年1月至5月，每件配件的原材料价格是750元，人力成本为50元．当每件配件的售价为1000元时，每月销售量达到1.8万件．到了6月，该企业要完成半年累积利润2280万元的任务，在人力成本和原材料价格不变的情况下，售价在前1个月的基础上提高了a%，而销售量比前1个月低了0.2万件．（1）六月份的销售利润是多少元？（2）求a的值．三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

【参考答案】一、知识点睛成本；利润；售价．二、精讲精练100元；210元；600元；（1）14x-280；（2）140元；六八折；经济问题（随堂测试）某商店购进一批商品，每件成本是500元，商店决定按成本提高60%来标价．由于天气的缘故，需要尽早处理这批商品，于是决定打折销售并送一把成本为20元的雨伞，此时得到的利润是打折前的40%．请问商家打了多少折？【参考答案】八折．

经济问题（作业）某商品的进货价是100元，原定售价为180元，由于该商品积压，商店准备打折销售，若要保持利润率为8%，则商店应打几折？剃须刀由刀片和刀架组成．某时期，甲、乙两厂家分别生产老式剃须刀（刀片不可更换）和新式剃须刀（刀片可更换），有关销售策略与售价等信息如下表所示：某段时间内，甲厂家销售了8400把剃须刀，乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的50倍，乙厂家获得的利润是甲厂家的两倍，问这段时间内，乙厂家销售了多少把刀架，多少片刀片？老式剃须刀新式剃须刀刀架刀片售价7.5(元/把)5(元/把)0.55(元/片)成本2.5(元/把)2(元/把)0.05(元/片)我市高新技术开发区的某公司，生产某种产品每件需成本费40元．当销售单价定为100元时，年销售量为x（x>200）件；调查显示：每件新产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少100件．（1）请用含x的代数式表示出当销售单价为120元时，年销售利润为多少？（2）当销售单价为120元时，要想使年销售利润为24000元，则必须保证x的取值为多少？华联商厦为了迎接“元旦”节假日，提出元旦当天可以打八折优惠，持贵宾卡可在八折基础上继续打折．元旦当天小丽看中了一件标价1000元的大衣，借用了朋友的贵宾卡，并请朋友吃饭花了40元，结果还节省120元．请问持贵宾卡可以打几折？某电子科技公司生产手机配件，今年1月到3月，每件配件的原材料价格是150元，人力成本为20元．当每件配件的售价为270元时，每月销售量达到了2.2万件．到了4月，该公司要完成前4个月累积利润968万元的任务，在原材料价格和人力成本不变的情况下，4月份售价在第3个月的基础上提高了a%，而销售量比第3个月低了0.2万件．（1）4月的销售利润是多少元？（2）求a的值．【参考答案】六折；乙销售了3000把刀架，150000片刀片；（1）80x-16000；（2）500；八折；（1）220万元；（2）20．

行程问题（讲义）一、知识点睛从审题出发找到相应的关键词，即_____、______、_______，将生活语言转化为数学语言．分析运动状态，理解运动过程，通常采用________或者_____的方式来进行．梳理条件，列出等式，通常使用______来进行，列表时要按照运动状态或者运动过程进行分类．二、精讲精练张华和李明登一座山，张华每分钟登高10米，并且先出发30分钟，李明每分钟登高15米，两人同时登上山顶．请问李明登山用了多少分钟，山高多少米？一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20s的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s，根据以上数据，你能否求出火车的长度？王力骑自行车从A地到B地，陈平骑自行车从B地到A地，两人都沿同一公路匀速前进，已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36km，到中午12时，两人又相距36km．求A，B两地间的路程．小明骑自行车到郊外游玩，有一辆农用车在小明身后100米处与小明同向行进，小明骑自行车的速度为4米/秒，农用车行驶的速度为6米/秒，经测算，当人距离农用车20米时可受到噪声的影响．（2）若小明和农用车继续保持原来的速度和方向行进，小明受到农用车噪声的影响会持续多长时间？（3）如果农用车刚好经过小明身旁时，小明立刻停下来，那么小明受农用车噪声影响持续的时间与（2）相比哪个较短？说明理由．一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35千米/时的速度前进，突然，1号队员以45千米/时的速度独自行进，行进10千米后掉转车头，仍以45千米/时的速度往回骑，直到与其他队员会合，1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了多长时间？

郑州地铁1号线预计将于2013年年底前建成通车试运营，其中一期工程西起西流湖站东至市体育中心站，预计地铁从西流湖站到市体育中心站行驶时间约为25分钟，某次试车时，试验列车由西流湖站到市体育中心站的行驶时间比预计时间多用了3分钟，而返回时的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，返回时平均每小时多行驶6.6千米，那么这次试车时由西流湖站到市体育中心站的平均速度是每小时多少千米？某人在上午8时从甲地出发到乙地，按计划在中午12时到达．在上午10时汽车发生故障而停车修理15分钟，修好后司机为了能及时赶到，把每小时的车速又提高了8千米前进，结果在11时55分提前到达乙地，求汽车原来的速度．三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

【参考答案】知识点睛路程，速度，时间画线段图，示意图列表法二、精讲精练1．李明登山用了60分钟，山高900米； 2．300m；3．108km；4．（1）40秒，（2）20秒，（3）（3）持续影响的时间比较短；5．255米；7．平均速度是每小时55千米； 8．40千米/小时行程问题（随堂测试）近十年来，我国高速铁路建设迅猛发展，为人们出行带来了很大的便利．11月11日，京广高铁北京至郑州段开始运行试验，11月25日该段转入模拟运行试验阶段，为正式开通运营做最后准备．预计高铁从郑州至北京行驶时间约为2.5小时．某次模拟运行时，从郑州到北京用时恰为2.5小时，而返回时列车平均每小时多行驶24千米，由于突发事件，列车在中途停留了6分钟，结果到达郑州的时间比预计时间还缩短了6分钟．请问，此次模拟实验时从郑州到北京的平均时速是多少？【参考答案】1．276千米/小时

行程问题（作业）:为测算一列匀速行进的特快车的速度，小明和小丽用秒表做了这样一个记录：小明站在铁轨一旁不动，发现火车经过他身旁所用的时间为4.1秒；而小丽则记录了火车经过一座长为196米的桥时所用的时间为9秒．请问你能否根据上述数据求出火车的运行速度．第七届中国郑开国际马拉松赛将于2013年3月31日在郑开大道举行，为参加此次比赛，家住郑州的李明和家住开封的好友张华分别沿郑开大道匀速赶往对方家中．已知两人在上午8:00同时出发，到上午8:40时，两人还相距12km，到上午9:00时，两人正好相遇．求两家之间的距离．启明中学举行了一次路程为60千米的远足活动，八年级学生步行，七年级学生乘一辆汽车，两个年级的学生同地出发，这辆汽车开到目的地后，再回头接八年级的学生，若八年级学生的速度为5千米/时，比汽车提前一小时出发，汽车的速度为60千米/时，问八年级学生出发后经过多少时间与回头接他们的汽车相遇？王强参加了一场3000米的赛跑，他以6米/秒的速度跑了一段路程，又以4米/秒的速度跑完了其余的路程，一共花了10分钟，王强以6米/秒的速度跑了多少米？【参考答案】1．1260米； 2．40米/秒； 3．36km； 4．286米 5．小时； 6．1800米

方案类应用题（讲义）一、知识点睛通过关键词，确定方案类型或者分段标准．通过列表，梳理题意，确定目标量．表达或计算目标量，比较、选择适合方案．二、精讲精练在“节能减排，做环保小卫士”的活动中，小王对两种照明灯的使用情况进行了调查，得出如下表所示的数据：耗电量使用寿命价格一盏普通灯0.1度/时2000小时3元/盏一盏节能灯0.02度/时4000小时31元/盏已知这两种灯的照明效果一样，电价为每度0.56元．（注：费用=灯的售价+电费）请你解决以下问题：（1）在普通灯的使用寿命内，设照明时间为x小时，请用含x的式子分别表示用一盏普通灯的费用和用一盏节能灯的费用；（2）在普通灯的使用寿命内，照明多少小时时，使用这两种灯的费用相等？（3）如果计划照明4000小时，购买哪一种灯更省钱？请你通过计算说明理由.某地的一种绿色蔬菜，在市场上若直接销售，每吨利润为1000元，若经粗加工后销售，每吨利润为4000元，若经精加工后销售，每吨利润为7000元．当地一家公司现有这种蔬菜140吨，该公司的生产加工能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨，但每天两种方式不能同时进行．受季节等条件的限制，必须用15天时间将这批蔬菜全部销售或者加工完毕．为此，公司研制了三种方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜，在市场上直接出售；方案三：将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并刚好15天完成.如果你是公司经理，你会选择哪一种方案，并说明理由．在“十一”黄金周期间，某超市推出如下表所示的优惠方案：购物金额折扣一次性购物不足100元时不打折一次性购物不少于100元且不足300元时九折一次性购物不少于300元时八折小丽在该超市两次购物分别付款80元、252元．如果小丽改成在该超市一次性购买与上次完全相同的商品，则应付款多少元？我国个人所得税法规定，公民全月的工资、薪金收入不超过3500元的部分不必纳税；超过3500元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算．全月应纳税所得额税率不超过1500元的部分3%超过1500元至4500元的部分10%超过4500元至9000元的部分20%已知小丽爸爸2012年5月份缴纳的个人所得税为185元，他当月的税前工资、薪金总额是多少？某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别是：甲种电视机每台1500元，乙种电视机每台2100元，丙种电视机每台2500元．（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在（1）的方案中，为使销售获利最多，你会选择哪种进货方案？下表中有两种移动电话计费方式：月使用费/元主叫限定时间/min主叫超时费/（元/min）被叫方式一581500.25免费方式二883500.19免费（1）设一个月内用移动电话主叫为tmin（t是正整数）．根据上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费．（2）请问我们应该如何根据自己的主叫时间选择省钱的计费方式．三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】1．解：（1）一盏普通灯的费用：3+0.56·0.1x=（3+0.056x）元.一盏节能灯的费用：31+0.56·0.02·x=（31+0.0112x）元.（2）根据题意得3+0.056x=31+0.0112x解得x=625∴照明625小时时，这两种灯的费用相等.（3）照明4000小时时，普通灯的费用：2×3+0.56×0.1×4000=230元节能灯的费用：31+0.56×0.02×4000=75.8元∵75.8＜230∴节能灯更省钱.2．解：方案一获利：4000×140=560000（元）方案二获利：15×6×7000+（140-15×6）×1000=680000（元）方案三：设精加工用x天，则粗加工有（15-x）天，根据题意得6x+16（15-x）=140解得x=10则方案三获利：7000×6×10+4000×16×5=740000（元）∵740000元＞680000元＞560000元∴选择方案三．3．解：∵80<100×90%∴付款80元时没有打折；设付款252元时的购物金额为x元.当100≤x＜300时，根据题意得：0.9x=252解得：x=280当x≥300时，根据题意得：0.8x=252解得：x=315∵80+280=360>30080+315=395>300∴360×0.8=288（元）395×0.8=316（元）答：小丽应付款288元或316元.4．解：1500×3%=45（元）1500×3%+（4500-1500）×10%=345（元）∵45＜185＜345∴小丽爸爸2012年5月全月应纳税所得额应该超过1500元至4500元，设小丽爸爸当月应纳税所得额是x元，根据题意得1500×3%+（x-1500）×10%=185解得x=29002900+3500=6400（元）答：小丽爸爸当月的税前工资、薪金总额是6400元．5．解：（1）若设购买甲种电视机x台，购买乙种电视机（50-x）台，根据题意得1500x+2100（50-x）=90000解得x=25∴50-x=50-25=25若设购买甲种电视机y台，购买丙种电视机（50-y）台，根据题意得1500y+2500（50-y）=90000解得y=35∴50-y=50-35=15若设购买乙种电视机z台，购买丙种电视机（50-z）台，根据题意得2100z+2500（50-z）=90000解得z=87.5不符合题意，舍去．通过计算可知，有两种进货方案符合题意，方案一：购买甲种电视机25台，购买乙种电视机25台；方案二：购买甲种电视机35台，购买丙种电视机15台.（2）方案一获利：25×150+25×200=8750（元）方案二获利：35×150+15×250=9000（元）∵9000＞8750∴选择方案二．6．解：（1）主叫时间t/min方式一计费/元方式二计费/元t<1505888t=1505888150<t<35058+0.25（t-150）88t=35058+0.25（350-150）=10888t>35058+0.25（t-150）88+0.19（t-350）（2）①当t≤150时，58<88，按方式一省钱；②当150<t<350时，令58+0.25（t-150）=88解得t=270，则当150<t<270时，按方式一省钱；当t=270时，按方式一和方式二花费一样多；当270<t<350时，按方式二省钱；③当t=350时，108>88，按方式二省钱；④当t>350时，按方式二省钱．综上可知：当t<270时，选择方式一省钱；当t>270时，选择方式二省钱；当t=270时，两种方式一样省钱．

方案类应用题（随堂测试）我国个人所得税法规定，公民全月的工资、薪金收入不超过3500元的部分不必纳税；超过3500元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算．全月应纳税所得额税率不超过1500元的部分3%超过1500元至4500元的部分10%超过4500元至9000元的部分20%已知小红爸爸2012年11月份缴纳的个人所得税为255元，他当月的税前工资、薪金总额是多少？【参考答案】解：1500×3%=45（元）1500×3%+（4500-1500）×10%=345（元）∵45＜255＜345∴小丽爸爸2012年5月全月应纳税所得额应该超过1500元至4500元，设小丽爸爸当月应纳税所得额是x元，根据题意得1500×3%+（x-1500）×10%=255解得x=36003600+3500=7100（元）答：小丽爸爸当月的税前工资、薪金总额是6400元．方案类应用题（作业）某班要买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价48元，乒乓球每盒12元．经洽谈后，甲店每买一副球拍赠送一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠．该班急需乒乓球拍5副，乒乓球x盒（不少于5盒）．（1）用代数式表示甲、乙两店购买所需的费用；（2）当需多少盒乒乓球时，在两家购买所用的费用相同？（3）当需40盒乒乓球时，到哪家购买合算？为什么？某保险公司推出如下的重大疾病险，根据病人的情况报销一定比例的医疗费．医疗费的报销比例标准如下表：费用范围报销标准500元以下（含500元）的部分不予报销超过500元且不超过10000元的部分70%超过10000元的部分80%（1）设某人在一次住院中实际的医疗费用为x元（500＜x≤10000），请用含x的式子表示出他按标准报销的金额为多少元；（2）若此人某次住院的自付医疗费为2600元（自付医疗费＝实际医疗费-按标准报销的金额），则此人此次住院的实际医疗费为多少元？在“十一”黄金周期间，某超市推出如下表所示的优惠方案：购物金额折扣一次性购物不足300元时不打折一次性购物不少于300元且不足400元时九折一次性购物不少于400元时八折王宏在该超市两次购物分别付款200元、324元．如果王宏改成在该超市一次性购买与上次完全相同的商品，则应付款多少元？某商场，计划用60000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求．已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲种型号手机每部1800元，乙种型号手机每部600元，丙种型号手机每部1200元．（1）若商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完．请你帮助商场计算一下如何购买？（2）在（1）的条件下，假如甲种型号手机可赚200元/部，乙种型号手机可赚100元/部，丙种型号手机可赚120元/部，求盈利最多的进货方案．某博物馆的门票每张10元，一次购买30张到99张门票按8折优惠，一次购买100张以上（含100张）门票按7折优惠．甲班有56名学生，乙班有54名学生．（1）若两班全体学生一起前往该博物馆参观，请问购买门票最少共需花费多少元？（2）设两班实际前往该博物馆参观的总人数为x人，其中x大于30且小于100，请根据实际人数的多少讨论，按方式一和方式二购买门票，哪种方式更加便宜．方式一：根据实际人数按8折优惠购买门票；方式二：按7折优惠购买100张门票．【参考答案】1．解：（1）甲店购买费用：5×48+12(x-5)=12x+180（元），乙店购买费用：90%(5×48+12x)=10.8x+216（元）；（2）12x+180=10.8x+216解得：x=30即当购买30盒乒乓球时，在两家购买所用的费用相同．（3）购买40盒乒乓球时，若在甲店购买，则费用是：12×40+180=660元，

若在乙店购买，则费用是：10.8×40+216=648元．660>648则应该在乙店购买．2．解：（1）他按标准报销金额为：70%(x-500)=0.7x-350（500＜x≤10000）（2）10000-70%×（10000-500）=3350（元）∵3350>2600∴此人实际医疗费必超过500元且不超过10000元．设此人实际医疗费为x元，根据题意，得2600=x-70%（x-500）解得x=7500即此人实际医疗费为7500元．3．解：（1）若第二次购物超过300元，但不超过400元，设此时所购物品标价为x元，则90%x=324，解得x=360两次所购物价值为200+360=560＞400所以享受8折优惠，因此王宏应付560×80%=448（元）．（2）若第二次购物超过400元，设此时所购物品标价为y元，则80%y=324，解得y=405两次所购物价值为200+405=605，因此王宏应付605×80%=484（元）则王宏应付款448元或484元．4．解：（1）①设购进甲种手机x部，乙种手机40-x部根据题意，得1800x+600(40-x)=60000解得x=3040-x=10②设购进甲种手机y部，丙种手机40-y部根据题意，得1800y+1200(40-y)=60000解得y=2040-y=20②设购进乙种手机z部，丙种手机40-z部根据题意，得600z+1200(40-z)=60000解得z=-20（不符合实际情况，舍去）由计算可知，有两种方案：方案一：购买甲种手机30部，乙种手机10部；方案二：购买甲种手机20部，丙种手机20部．（2）方案一盈利：200×30+100×10=7000（元）

方案二盈利：200×20+120×20=6400（元）

所以购买甲种型号手机30部，乙种手机10部所获盈利较大．5．解：（1）当两个班一起购买门票时，花费最少(56+54)×10×0.7=770（元）即两班一起购买门票最少花费770元．（2）当两种方式花费相等时有80%×10x=70%×10×100解得：x=87.5当x大于30且小于88时，按方式一花费少于700元，所以按方式一购买门票便宜．当x大于或等于88且小于100时，按方式二花费多于700元，所以按方式二购买门票便宜．角的相关计算和证明（讲义）一、知识点睛在证明的过程中，由平行想到____________、____________、____________；由垂直想到__________________、_____________________；由外角想到________________________________________．二、精讲精练如图，AB∥EF∥CD，∠ABC=45°，∠CEF=155°，则∠BCE=_______．第1题图第2题图如图，ED⊥AB于D，EF∥AC，∠A=35°，则∠DEF=_______．如图，在正方形ABCD中，∠ADC=∠DCB=90°，G为BC边上一点，连接DG，AE⊥DG于E，CF⊥DG于F．若∠DAE=25°，则∠GCF=_______．第3题图第4题图已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=∠C=45°，在Rt△AFG中，∠G=90°，∠F=∠FAG=45°，∠CAG=20°，则∠AEB=_______，∠ADC=_______．

如图，在△ABC中，∠B=60°，P为BC上一点，且∠1=∠2，第6题图则∠APD=______第6题图已知：如图，直线BD交CF于点D，交AE于点B，连接AD，BC，∠1+∠2=180°，∠A=∠C．求证：DA∥CB．证明：如图，∵∠1+∠2=180°（）∠2+∠CDB=180°（）第7题图∴______=_______（）∴_____∥_______（）∴∠A+∠CDA=180°（）∵∠A=∠C（）∴______+_______=180°（）∴DA∥CB（第7题图已知：如图，E，F分别在AB，CD上，∠1+∠C=90°，∠2=∠D，且EC⊥AF，垂足为O．求证：AB∥CD．证明：如图，∵EC⊥AF（）∴∠C+∠2=90°（）∵∠1+∠C=90°（）∴∠1=∠2（）∵∠2=∠D（）∴_____=_____（）∴_____∥_____（）

如图，在△ABC中，∠B=35°，∠C=75°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，求∠EAD的度数．第第8题图第9题图已知：如图，在△ABC中，∠B=∠ACB，CD⊥AB，垂足为D．求证：∠A=2∠第9题图已知：如图，BP平分∠ABC，CP平分∠ACE．求证：∠A=2∠P．第第10题图三、回顾与思考_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

【参考答案】知识点睛1．同位角、内错角、同旁内角；2．直角三角形两锐角互余，同角或等角的余角相等．3．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．二、精讲精练1．20° 2．125°； 3．25°； 4．65°，70°； 5．60°；7．已知；直角三角形两锐角互余；已知；同角的余角相等；已知；∠1，∠D，等量代换；AB，CD，内错角相等，两直线平行．8．证明：如图，∵∠B=35°，∠C=75°（已知）∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-35°-75°=70°（三角形的内角和是180°）∵AE平分∠BAC（已知）∴∠CAE=∠BAC=×70°=35°（角平分线的定义）∵AD⊥BC（已知）∴∠DAC=90°-∠C=90°-75°=15°（直角三角形两锐角互余）∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=35°-15°=20°（等式性质）9．证明：如图，设∠BCD=α∵CD⊥AB（已知）∴∠B=90°-α（直角三角形两锐角互余）∵∠B=∠ACB（已知）∴∠ACB=90°-α（等量代换）∴∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-（90°-α）-（90°-α）=2α（三角形内角和为180°）即∠A=2∠BCD10．证明：如图，设∠PBC=α，∠PCE=β∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE（已知）∴∠ABC=2α，∠ACE=2β（角平分线的定义）∵∠ACE是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠A=2β-2α=2（β-α）（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠PCE是△BCP的一个外角（外角的定义）∴∠P=β-α（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠A=2∠P（等量代换）角的相关计算和证明（每日一题）已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，且BD，CE交于点O．（1）求证：∠1=∠2（2）若∠A=50°，∠ABC=70°，求∠3和∠4度数．

已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，且EF⊥BC于F，若∠B=30°，∠C=70°，求∠DEF的度数．已知：如图，∠1＋∠2=180°，DE∥BC．求证：∠3=∠B．求∠CDF的度数．已知：如图，AB∥CD，∠1=∠E，∠2=∠F，AE交CF于点O，证明：AE⊥CF.【参考答案】1.（1）证明：如图，∵BD⊥AC，CE⊥AB（已知）∴∠1+∠A=90°（直角三角形两锐角互余）∠2+∠A=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠1=∠2（同角的余角相等）（2）解：如图，∵CE⊥AB（已知）∴∠ABC+∠3=90°（直角三角形两锐角互余）∵∠ABC=70°（已知）∴∠3=20°（等式性质）∵BD⊥AC（已知）∴∠A+∠1=90°（直角三角形两锐角互余）∵∠A=50°（已知）∴∠1=40°（等式性质）∵∠4是△BOE的一个外角（外角的定义）∴∠4=∠1+∠CEB=40°+90°=130°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）2.解：如图，∵∠B=30°，∠C=70°（已知）∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-70°=80°（三角形的内角和是180°）∵AD是∠BAC的平分线（已知）∴∠BAD=∠BAC=×80°=40°（角平分线的定义）∵∠ADF是△ABD的一个外角（外角的定义）∴∠ADF=∠BAD+∠B