数学互动课堂：向量加法运算及其几何意义

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精互动课堂疏导引导1。向量求和的三角形法则已知向量a、b,在平面内任取一点A，作=a，=b，则向量叫做a与b的和向量，记作a+b，即a+b=+=.这种求两个向量和的方法，叫做向量加法的三角形法则.（如图2-2—1所示）图2-2-1疑难疏引①由向量求和的三角形法则可知，两个向量的和仍为向量.②向量求和的三角形法则的本质是两个加数向量的首尾相接，和向量是从一个向量的起点指向另一个向量的终点.③当两个向量共线（平行）时，向量加法的三角形法则同样适用.2.向量加法的运算性质（1）对于零向量与任一向量a的和有a+0=0+a=a。(2）向量加法的交换律:a+b=b+a.简证如下：①若a、b不共线，作=a,=b,则A、B、C三点不共线，=a+b。作=b，连结DC,(如图2—2—2），由于=，∴四边形ABCD为平行四边形.∴DCAB.∴｜|=｜|=|a|，又与同向，∴=，此时有b+a=+=，即有a+b=b+a.②当a与b共线且同向时,a+b及b+a都与a同向,且|a+b|=|a|+|b|；|b+a|=｜b｜+｜a｜.a+b与b+a同向,故有a+b=b+a。③当a与b共线且反向时,不妨设|a｜＞｜b|,a+b与a同向，且｜a+b｜=｜a|—｜b|,b+a与a同向，且｜b+a｜=|a|-｜b|。故a+b与b+a同向,因此a+b=b+a.综合①②③知a+b=b+a.图2—2-2图2—2-3（3）向量加法的结合律:（a+b）+c=a+（b+c)。验证如下：如图2—2—3.（a+b)+c=+=,a+(b+c)=。∴(a+b）+c=a+(b+c）。疑难疏引向量加法的运算律同实数加法的运算律一致,都满足交换律与结合律。由于向量的加法具有这两个运算律，因此,对于多个向量加法的运算就可以按照任意的次序与组合来进行了.3。向量求和的平行四边形法则已知两个不共线的向量a，b，作=a，=b,则A、B、D三点不共线，以、为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量=a+b.这个法则叫做向量求和的平行四边形法则.疑难疏引两个向量不共线时，向量加法的三角形法则与平行四边形法则是一致的，当两向量为共线向量时，三角形法则同样适用，而平行四边形法则就不适用了。因此在选用两个法则进行向量求和时应熟练、灵活.4。向量加法的实际应用向量的加法在日常生产、生活中应用广泛,主要体现在求两个或多个向量的和向量，可选用灵活的法则解决。案例1一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，该船实际航行方向与水流方向成30°角,求水流速度和船实际速度.【探究】本题是用向量解决物理问题，可先用向量表示速度，再用向量的加法合成速度即可.图2—2—4【解】如图2—2—4.表示水流速度，表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，表示船实际航行的速度，∠AOC=30°,｜｜=5km/h.∵四边形OACB为矩形，∴|｜==10。∴水流速度大小为km/h,船实际速度为10km/h，与水流速度的夹角为30°.【规律总结】用向量解决实际问题的步骤为：①用向量表示实际量；②进行向量运算；③回扣实际问题,作出回答.活学巧用1。已知a∥b，试用向量加法的三角形法则作出向量a+b.图2—2—5解析：a∥b时,也可用向量加法的三角形法则求出其和向量.（1）作=a,=b.则a+b=+=。如图2—2-6所示。图2—2-6图2-2—7(2)作=a，=b，则a+b=+=，如图2—2-7所示.2.已知非零向量a,b，试说明|a+b｜与|a|+｜b|的大小。解析：解答本题可用向量加法的三角形法则作出图形辅助解决,并且要注意分类讨论。(1)当a，b不共线时，根据向量求和的三角形法则显然有｜a+b｜＜|a|+｜b｜。（2）当a,b方向相同时，有｜a+b|=｜a｜+｜b|.(3)当a，b方向相反时,有｜a+b｜＜|a|+|b｜。综上有｜a+b|≤|a|+|b|。3。在矩形ABCD中，等于(）A。+B。+C。+D.+解析：画出图形,帮助分析。若对向量求和的本质理解深刻了，也可直接按照向量加法的交换律运算.显然D选项中，+=+=。而其他的选项运算的结果不是.答案：D4。化简下列各式.（1)++；（2）++；（3）++++。分析：根据向量加法的运算律,对于多个向量求加法时，可以按照需要将向量组合，使之构成首尾相接，进行运算。第（1)个可以使用结合律转化为求++的和；第（2）个则可以直接运算；第(3）个各向量首尾相接，恰好构成一个向量链，因此可直接计算。解:（1）++=++=.（2)++=0。(3）++++=。5.如图2—2-8，在ABCD中，已知有以下4个等式：①+=;②++=；③++=；④++=0，其中正确的式子有___________个。（）A。1B。2C。3解析：本题要结合图形及向量加法的运算律对选项中的等式一一验证.图2-2—8①+=+=，故①正确；②++=++=≠，故②不正确;③++=+=≠，故③不正确;④++=++=+=+=0，故④正确。答案：B6。在正六边形中,若=a,=b，试用向量a、b将、、表示出来。分析：如图2—2-9所示,在正六边形中，有很多菱形、三角形，这就为使用向量求和的三角形法则或平行四边形法则创造了条件。图2—2—9解:设正六边形的中心为P，则=+=（+)+=2a+b,=+=+=2a+2b,=+=2b+a。7.轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40km到达B处，再由B处沿正北方向行驶40km到达C处，求此时轮船与A港