2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（配湘教版）3.1.1 椭圆的标准方程

3.1椭圆3.1.1椭圆的标准方程A级必备知识基础练1.若方程x2m+y22-m=1A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.(0,1)∪(1,2)2.椭圆x225+y216=1与y轴的一个交点为P,两个焦点为F1,F2,则△PF1A.6 B.8 C.10 D.123.椭圆的焦距为8,且2a=10,则该椭圆的标准方程是()A.x225+B.x225+y29C.x2100+D.x2100+y2364.[2024甘肃武威高二开学考试]“-1<m<7”是“方程x2m+1+y27-m=A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.椭圆x212+y23=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴上,A.±34 B.±22 C.±32 D6.椭圆x24+y2=1的左、右焦点为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则|PF2|=(A.32 B.3 C.72 D7.(多选题)若椭圆x24+y2m=1(m>0)的焦距为2,A.3 B.15 C.5 D.18.若椭圆的焦点坐标为(±3,0),且椭圆经过点(4,0),则椭圆的标准方程为.

9.已知椭圆的两焦点F1,F2在x轴上,且过点A(-4,3).若F1A⊥F2A,求椭圆的标准方程.B级关键能力提升练10.若动点M(x,y)满足方程(x-2)2+y2+A.x225+y216=C.x225+y24=11.已知F1,F2是椭圆C:x24+y2=1的两个焦点,P为椭圆C上一点,且△PF1F2的面积为S△PF1F2=3,A.π6 B.πC.π2 D.12.已知椭圆x29+y22=1的焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则三角形F1PFA.32 B.3 C.23 D.413.如图,已知F(-5,0)为椭圆C的左焦点,P为椭圆C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程为()A.x236+y216=C.x249+y224=14.已知点F为椭圆C1:x28+y24=1的右焦点,点P为椭圆C1与圆C2:(x+2)2+y2=18的一个交点A.1 B.2 C.2 D.2215.已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,点M在C上,|MF1||MF216.[2024甘肃武威高二期中]椭圆x225+y29=1的两焦点为F1,F2,一直线过F1交椭圆于A,B两点,则△17.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点,∠F1PF2=120°,|PF1|=2+3(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点P的坐标.C级学科素养创新练18.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点为A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆x225+y29=1上,

3.1.1椭圆的标准方程1.D方程x2m+y22解得m的取值范围为(0,1)∪(1,2),故选D.2.D由椭圆方程可得c2=25-16=9,则|F1F2|=2c=6.设点P的纵坐标为yP,在椭圆x225+y216=1中,令x=0,则|yP|=4,从而三角形的面积为S=123.B由椭圆的焦距为8,且2a=10,可得a=5,c=4,则b=a2-所以椭圆方程为x225+y29=1或y4.B由7-m>m+1>0,解得-1<m<3,所以“方程x2m+1+y27-m=1表示焦点在因为(-1,3)⊆(-1,7),所以“-1<m<7”是“方程x2m+1+y27-m=15.D∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点),∴PF2⊥x轴,∴点P的横坐标是±3.∵点P在椭圆上,∴3212+y23=1,即y2=34,∴y=±326.C由椭圆x24+y2=1,可知c=4-1=3.设点P的纵坐标为yP,所以当x=-3时,|PF又因为|PF1|+|PF2|=4,所以|PF2|=4-|PF1|=72,故选C7.AC椭圆x24+y2m=1(m>0)的焦距为2,当焦点在x轴时,4-m=1,解得m=3,当焦点在y轴时,m8.x216+y27=1由题可知椭圆焦点在x轴上,故设椭圆方程为x2a故椭圆的标准方程为x216+9.解设所求椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),焦点为F1(-c,0),∵F1A⊥F2A,∴F1A·又F1A=(-4+c,3),F2A=(∴(-4+c)(-4-c)+32=0,∴c2=25,即c=5.∴F1(-5,0),F2(5,0).∴2a=|AF1|+|AF2|=(-4+5)2+∴a=210,∴b2=a2-c2=(210)2-52=15.故所求椭圆的标准方程为x240+10.B方程(x-2)2+y2+(x+2)2+y2=10表示动点M(x,y)到两个定点(±2,0)的距离之和为定值10,且10>2+2,由椭圆的定义可得动点M的轨迹是椭圆,且a=5,c=因此椭圆的标准方程为x225+y22111.D(方法1)由已知a=2,b=1,c=3,设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=4,∴m2+2mn+n2=16.在△PF1F2中,m2+n2-2mncos∠F1PF2=(2c)2,∴16-2mn-2mncos∠F1PF2=12,即mn+mncos∠F1PF2=2.又S△PF1F2=12mn∴23sin∠∵∠F1PF2∈(0,π),∴∠F1PF2=2π3.故选(方法2)由椭圆C:x24+y2=1可知b2因此S△PF1F2=3=b2tan∠F1PF22=tan∠F1PF22,且有12.C由已知得2a=6,2c=27.因为|PF1|=4,所以|PF2|=2.由余弦定理得cos∠F1PF2=22+4因为∠F1PF2∈(0,π),所以∠F1PF2=2π则△F1PF2的面积S△F1PF2=12×故选C.13.C由题意可得c=5,设右焦点为F',连接PF',由|OP|=|OF|=|OF'|知,∠PFF'=∠FPO,∠OF'P=∠OPF',∴∠PFF'+∠OF'P=∠FPO+∠OPF',∴∠FPO+∠OPF'=90°,即PF⊥PF'.在Rt△PFF'中,由勾股定理,得|PF'|=|FF'|2-|PF|2=102-62=8,由椭圆的定义,得|PF|+|PF'|=2a=6+8=14,从而a=7,a2=49,于是b2=a2-c2=14.B由题意得F(2,0),左焦点为F1(-2,0),圆(x+2)2+y2=18的圆心坐标为(-2,0),半径为32,因此圆的圆心恰好为椭圆的左焦点.P为椭圆与圆的一个交点,根据椭圆和圆的定义可得|PF|+|PF1|=2a=42,|PF1|=32,所以|PF|=2.15.5因为F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,点M在C上,所以所以|MF1||MF2|≤|MF1|+|MF2|22=a2,当且仅当又因为|MF1||MF2|的最大值为25,所以a=5.16.20由x225+y29=1,得a2因为A,B两点都在椭圆上,所以由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10.因为|AB|=|AF1|+|BF1|,所以△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=20.17.解(1)设椭圆C的焦距为2c,由椭圆的定义有a=|PF1在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos120°=(2+3)2+(2-3)2+(2+3)(2-3)=15,即4c2=15,得c2=154,c=152,b2=a2-c2=4-154=14,故椭圆(2)设点P的坐标为(m,n)(m>0),△PF1F2的面积S△PF1F2=12|PF1|·|PF2|sin120°