空间向量及其运算-2025年高考数学复习讲义及练习解析

2025年高考数学复习讲义及练习解析

第五节空间向量及其运算

课标解读考向预测

1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理

从近三年高考来看，本节内容主要与立

及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.

体几何知识结合考查，预计2025年仍然

2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空

会与立体几何知识结合，考查空间向量

间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积

线性运算及数量积运算，试题难度中档.

判断向量的共线和垂直.

必备知识——强基础

知识梳理

1.空间向量的有关概念

名称定义

空间向量在空间中，具有成大小和血方向的量

相等向量方向版］相同且模同相等的向量

相反向量方向同相反且模同相等的向量

共线向量(或平

表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相应平行或国重合的向量

行向量)

共面向量平行于质］同一个平面的向量

2.空间向量的有关定理

(1)共线向量定理：对任意两个空间向量。，仪屏0),的充要条件是存在实数九使血且

=劝.

(2)共面向量定理：如果两个向量mb不共线，那么向量p与向量0,6共面的充要条件是存

在向唯二的有序实数对(x,y),使°=闺+功.

⑶空间向量基本定理

如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p,存在叵］唯二的有序实数组(x,

歹，z),使得p=x〃+m+zc,{a,b,c}叫做空间的一个基底.

3.空间向量的数量积及运算律

(1)数量积

非零向量〃的数量积〃力=1不㈤而cos〈〃，b〉.

1

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(2)空间向量的坐标表示及其应用

设。2,。3)，b=(b\1b],bj).

向量表示坐标表示

数量积aba161+4262+4363

a=Xb

共线।15141=76],42=262，43=763

（〃，0,XGR）

ab=0^^4161+4262+4363=（）

垂直

（〃刈，厚0）

模l«lA/山+原+曷

cos〈访b)=旦，存0,厚0)/,、axbx+aibi+a^

夹角余弦值cos\a,b）—1-------i-------

4.投影向量

⑴向量。在向量b上的投影

先将向量”与向量分平移到同一平面a内，如图1,向量c称为向量。在向量6上的投影向量.

(2)向量”在直线/上的投影

如图2,向量c称为向量。在直线/上的投影向量.

图2

(3)向量a在平面.上的投影

如图3,分别由向量。的起点/和终点8作平

B

图3

面£的垂线，垂足分别为B',得到向量点*,则向量称为向量a在平面•上的投影

向量.

常用

2

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I.在空间中，A,B,。三点共线的充要条件是：@=》彷+夕种(其中x+y=l),。为空间

任意一点.

2.在空间中，P,A,B,C四点共面的充要条件是：办=苫次+»彷+2次?(其中苫+>+2=

1),。为空间任意一点.

3.空间向量的数量积满足交换律、分配律，即〃力=〃"，/(〃+c)=〃力+/c成立，但不满

足结合律，即(〃/>c=aQ・c)不一定成立.

4.在利用加花证明脑V〃平面Z5C时，必须说明点〃或点N不在平面Z5C内.

诊断自测

I.概念辨析(正确的打y”，错误的打“X”)

(1)对于非零向量b,ab—bc,贝!Io=c.()

(2)若{a,b,c}是空间的一个基底，则a,b,c中至多有一个零向量.()

(3)空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0,b,c).()

答案(l)x(2)x(3)d

2.小题热身

(1)(人教A选择性必修第一册习题1.2T2改编)若{a,b,c}为空间向量的一个基底，则下列

各项中，能构成空间向量的一个基底的是()

A.{a,a-\~b,a-b}B.{b,a~\~b,a-b}

C.{c,a+b,a-b}D.{a+b,a~b,a-\~2b}

答案C

解析,・,筋+〃旗九〃£R)与〃，力共面，:.A,B,D不符合题意.故选C.

(2)(人教A选择性必修第一册习题1.1T2改编)如图，在平行六面体45。。一4山1GA中，M

为41cl与501的交点.若刀=〃，Ab=b,AA\=C,则下列向量中与夙湘等的向量是()

A1,LI

A.—a-\b+cB.-a~\~~b-\-c

2222

C.-~a--b+cD.~a——b~\~c

2222

答案A

解析由题意，得瓦法=/3i+；可力-Ah)=c~\~^b—〃)=—%+步+。.故选A.

(3)(2024•山东济南期中)在平面/BCQ中，懿=(—1,1,一1),就=(一1,3,4),历=(Q,

3

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-2,0),则实数。=.

答案10

7

ct=一x一y,

解析由于成，就，花共面，所以存在实数x,y,使得T>=xS+y就，所以一2=x+3外

0=-％+4歹，

辆用8210

斛行％=—，y=—，a=—.

777

(4)(2024•四川成都树德中学模拟)已知平行六面体45cz)—4山iGOi中，底面45CZ)是边长为

1的正方形，44i=2,ZAxAB=ZAiAD=60°,则•就=.

答案3

解析设施=〃，Xt)=b,AA\=C,由题意得，同=1,回=1,罔=2,ab=0,ac=l,be

=1,•就=3+c)(〃+a)=〃2+〃c+Aa+〃c=l+l+0+l=3.

考点探究——提素养

考点一空间向量的线性运算

例1如图所示，在平行六面体48CD—421GA中，设笳i=a,址=b,At)=c,M,N,P

分别是44I,BC,GA的中点，试用mb,c表示以下各向量：

(19;

4

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(2)赢

⑶磁+宿.

解⑴TP是CQ的中点，

,•AP—AA\-}-A\P=A2.\-\~D\P=A2.\-VAt)-\--DC=a~Vc~\~~Ah=a~\~c~\~~b.

222

(2)・「N是5C的中点，

••A^Sl=AiA-\~Ah~\~B^[=—a~\~b~\~~BtJ=—a~\~b~\~~At)=~a~\~b~\~~c.

222

(3)，・・M是44i的中点,

•.Miy—MA>-\-Ap=-Ati~\~Ap=—与+卜+。+2M=，〃+lb+c.

2222

又?=7VC+C?i——BC~\~AA\=­At)-\-AA\=­c~}~aj

222

.•.济+格=&+?+4+&+")=30+%+3c.

222

【通性通法】

用基向量表示指定向量的方法

(1)结合已知向量和所求向量观察图形.

(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.

(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.

【巩固迁移】

1.(2023•广东深圳外国语学校期中)在正四面体N—BCD中，其外接球的球心为。，则就=

()

A.

244

B.

444

c.

444

D.-At)~-A^+-At

444

答案C

解析在正四面体N—BCD中，设△BCD的中心为£,的中点为尸.因为O是外接球的球

心，所以前=3彳瓦又因为港1=4方+2/=加+2、紧+飙)=:方+:为+1彳^,所以

43333333

5

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彳5=：S+1彳&+,彳5.故选C.

444

考点二共线、共面向量定理的应用

例2（1）（2023•福建三明模拟）已知｛〃，b,c｝是空间的一个基底，m=2a+3b-cfn=x（a-b）

+y(b—c)+4(a+c),若股〃〃，则x+y=()

A.0B.16

C.6D.5

答案C

解析〃=（x+4）a+（y—x）〃+（—>+4）c,因为股〃小所以存在实数九使得〃=7%，所以（工

1+4=2九7=2,

+4)〃+(y—x)〃+(—y+4)c=2(2〃+3〃-c),所以.『_工=3九解得位=0,所以x+y=6.故

—y+4=T,y=6,

选C.

⑵已知N,8,C三点不共线，对平面/8C外的任一点O,若点M满足血=；（员1+份+色.

①判断扇，林，流三个向量是否共面；

②判断点M是否在平面ABC内.

解①由题知律+彷+虎=3成，

所以律一血=（血一彷）+（血—虎），

即就=血+诙仁一林一流，

所以疯，林，庆共面.

②解法一：由①知，疝，磁，流共面且所在直线过同一点M,所以M,A,B,。四点共面,

从而点M在平面ABC内.

解法二：因为（5X/=1（o/+3&+oc）=1i+13&+loc,且1+I+L=i,

3333333

所以M,A,B,C四点共面，从而点M在平面/BC内.

【通性通法】

1.对空间任一点。，Op=xOk+yO^,若x+y=l,则点尸，A,5共线.

2.证明空间四点尸，M,A,3共面的方法

6

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⑴珍=x^+y林.

(2)对空间任一点O,Op=ok+xK^A+〃诵.

(3)对空间任一点。，Op^xOk+yO^+zOi(x+y+z^1).

(4)词/7/静(或可〃通或协〃励).

【巩固迁移】

2.(2023•辽宁沈阳模拟)空间中，若向量0=(5,9,m),6=(1,-1,2),c=(2,5,1)共面，

则m=()

A.2B.3

C.4D.5

答案C

解析因为b=(l,—1,2),c=(2,5,1),所以b,c不共线，可以取为基底.若向量。，b,

'5=x+2y,

c共面，则存在实数xfy,使得a=xb+yc,即(5,9,加)=x(l,—1,2)+歹(2,5,1),即，9=一％+5乃

m=2x-\-y,

x=L

解得^=2,故选C.

加=4.

3.(多选X2024•山东济南模拟)对于空间一点。，下列命题中正确的是()

A.^Op=-Ok-O^+-Ot,则尸，A,B,C四点共面

22

B.若分=一』用+2仍一2带，则尸，A,B,。四点共面

33

C.若演=一！用+4仍，则尸，A,2三点共线

33

D.若舁=温+2差，则2是线段AP的中点

答案BCD

解析对于A,因为1—1+1=0力，所以P,A,B,C四点不共面，故A错误；对于B,因

22

为-1+2—2=1,所以P,A,B,C四点共面，故B正确；对于C,因为-1+4=1,所以P,

3333

A,3三点共线，故C正确；对于D,办=冉+2港，即办一81=2差，即#=2差，则|力|

=2以囱,赤，还共线,且点尸，2在点/的一侧，又因为孙,彳&有公共点/,所以/,P,B

三点共线，且2是线段4P的中点，故D正确.故选BCD.

考点三空间向量的数量积及其应用(多考向探究)

考向1求空间向量的数量积

7

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例3⑴已知向量a=(2,1,3),\a+b\=\ia~b\,则a-=()

AA.——49B.14

2

C.V14D.莫

4

答案B

解析因为|a+》|=|3a—b\,所以|a+A/=|3a—砰,RPa2-1-2a-b-\-b2-9a2—6a-b-\-b2,则°力

—a2,因为a=(2,1,3),所以。2=22+12+32=]4,故”为=14.故选B.

(2)正四面体。一48C的棱长为1,E为3c的中点，则仍弟=()

A.--B.-

24

c.--D.-

42

答案B

解析以｛历I,彷，/｝为基底，则|勿|=|彷|=|比|=1,且次，仍，求两两夹角为60。,则

Ai=o^-ok,ok=^ph+ob),旅弟=；(仍+比).(海-两=g仍2+彷.求一访员

一次•困=Lx[l+2—2—.故选B.

24

【通性通法】

空间向量数量积的计算方法

(1)定义法：设向量a,b的夹角为仇则。力=同回cos。.

(2)坐标法：设。=(xi，yi,zi),6=(x2,加Z2),贝!](rb=xiX2+”y2+ziZ2.

【巩固迁移】

4.(多选)已知四面体/一BCD中，AB,AC,两两互相垂直，则下列结论中正确的是()

A.凝+就+硝=|成+就一油

B.|成+就+花|2=|成F+|就历|2

C.述+就+历)•虎=0

D.A^cb=At-Bt)=At)Bt=0

答案ABD

解析如图，作以48,NC为邻边的平行四边形/CE3,连接对于A,因为N8,AC,AD

两两互相垂直，所以平面/8C,又NEu平面/8C,所以/O_L4E,所以彳方•港'=0,若

|成+就+在|=|成+就一0|,则|就+在|=|就一在所以|懑+0/=1前一历产，所以

8

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Ab-A^=o,所以A正确；对于B,因为|；1力+就+在|2=养2+就2+豆）2+2助.就+2差.历

+2=|Z&|2++1JS|2,所以B正确；对于C,因为ND_L平面/8C,8Cu平面N5C,

所以4D_LBC,所以在•此=0,所以证+就+在）・爱=（就+在）•就=就•爱+0•发=

就•月造，因为就与此不一定垂直，所以就•求不一定等于零，所以C错误；对于D,因为

AB,AC,4D两两互相垂直，且/£AC,AD相交于同一点/,所以/B_L平面/CD,AC±

平面4ftD,CDu平面/CD,BDu平面48。，所以48_LCD,/C_LBD,又ADLBC,所以彳&•也

=就•劭=助•炭'=0,所以D正确.故选ABD.

5.（2024•山西大同一中月考）若°,b,c为空间中两两夹角为四的单位向量，施=2a—2b,Cb

3

=b-c,则静一3）=

答案T

“2=622=1,l2XOSj=

解析由题意，得=。a.J)=f).c=a.c—Cp则焉・笈)=(2。-26>(b—c)

=2ab~2ac~2b2+2bc=-1.

考向2利用数量积求长度与夹角

例4（1）在长方体/BCD-NLBCLDI中，AB=BC=\,AAr=^3,则向量彳Si与房1夹角的余

弦值为（）

A.逃B.近

56

「加n也

C.-------D.—

52

答案A

解析解法一（基底法）：如图，|历i|=2,|况1尸贴，历1•沃产（在+笳1＞（一成+就+笳D

2卡

=2,记向量与/1的夹角为仇则cos6=.故选A.

屈山房1|2卡5

9

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解法二(空间向量法)：建立如图所示的空间直角坐标系，则有。(0,0,0),A(l,0,0),D1(O,

0,43),51(1,1,3)，所以屈1=(1,1,3)，历1=(-1,0,3),设11与方济的夹角为0,

则cos3==一.故选A.

国ill•115

(2)(2024•安徽合肥九中检测)在三棱柱48C—421C1中，NB4c=90。,//MC=60。,

N2=/C=44i=2,。为3cl上一点，且劭=与我，则区力=()

A.2B.3

C.3也D.4也

答案A

解析由题意，得T)=Z§+应)=方+；比1=前+：(丽1+用=静+/展1+就一1§)=

x4+^x4+

33399999999

；x4+；x2+0+jx2=4,则|成)尸2.故选A.

【通性通法】

(1)运用公式同2=Q“，可使线段长度(即两点间距离)的计算问题转化为向量数量积的计算问

题.

10

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(2)设非零向量”，b所成的角为0,则cos0=g»,进而可求两向量的夹角.

同团

【巩固迁移】

6.已知空间三点/(一2,0,8),P(m,m,m),2(4,~4,6),若向量耳与屈的夹角为60。，

则实数加=()

A.1B.2

C.-1D.-2

答案B

解析,:或=(一2—m,~m,8—加)，协=(4一冽，一4一冽，6—加)，・••居•协=(一2一冽)(4

—m)+(—m)(—4—m)+(8—m)(6—m)=3m2—12加+40,

\Pi\=\l2+(—m)2+(8—m)2

=yj3m2-12m+68,

[两=y](4—2+(—4—m)2+(6—m)2=

^3m2-12m+68,由耳•融=|万||或「cos60°,得3加2—12加+40=(34—12加+68)x(,整理，

得m2—4/7?+4=0,解得"2=2.故选B.

7.(2024•辽宁沈阳模拟)如图，甲站在水库底面上的点。处，乙站在水坝斜面上的点C处.已

知库底与水坝所成的二面角为150。，测得从。，C到库底与水坝的交线的距离分别为=

30^m,CB=40m,若/B=20m,则甲、乙两人相距()

A.10mB.10^47m

C.70mD.10^83m

答案D

解析由题意可得，虎=忌+施+就，则|求F=(£(+2&+^y=£(2+2^2+/2+

2苏•彳§+2方才就+2前•瑟，又rU=3(W3m,C5=40m,AB=20m,且库底与水坝所成的

2222o

二面角为150。，贝!］〈耳，庭〉=30°,^TlU|JDt||=(30A/3)+20+40+0+2x30^3x40xcos30

+0=8300,即|成|=10痴.故选D.

课时作业

A级:基础巩面素

11

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一、单项选择题

1.（2024•山西太原五中质检）如图，在三棱锥。一/8C中，M,N分别是。4,8c的中点，G

是八43。的重心，用基向量醇，彷，皮表示前，则下列表示正确的是（）

A.-O^+-Oh+-Ot

423

B.-O^+-O^+-Ot

222

C.-1况+1访+1带

633

D.1勿+1仍+』求

333

答案D

解析因为流=就+就」次+?初=1/+2（凉—/）=1川+4（劭+*）~OA\

232323

^--o^+-o^+-ot,所以鼠=血+流=1律一1@循+1历=1次+1份+1历.

6332633333

故选D.

2.已知空间任意一点。和不共线的三点4B,C,若赤=xN（+y彷+z求（x,y,zGR）,

则“x=2,>=—3,z=2”是“尸，A,B,。四点共面”的（）

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析由x+y+z=l,得尸，A,B,C四点共面，当尸，A,B,C四点共面时，x+y+z=l,

不能得出x=2,y=—3,z=2.故“x=2,y=—3,z=2”是“P,A,B,C四点共面''的充分不

必要条件.故选B.

3.已知空间向量。=（1,0,1）,b=（l,1,〃），且。力=3,则向量。与b的夹角为（）

A.-B.-

63

C."D.显

36

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答案A

解析由题意，得〃,力=1+0+〃=3,解得〃=2,又同=丫1+0+1=/,\b\=+1+4=^6,

所以cos〈a,b〉=^^~=厂3=黄,又〈eb>G[0,兀],所以〃与〃的夹角为三.故选A.

\a\\b\^2x^626

4.(2024・上海七宝中学开学考试)已知〃=(1,-1,3),5=(—1,4,-2),c=(l,5,x),

若〃，b,c三向量共面，则实数x=()

A.3B.4

C.5D.6

答案C

解析〃=(1,—1,3),〃=(—1,4,—2),c=(l,5,%),若mb,c三向量共面，可设c

=ma+nb,即(1,5,x)=(m,~m,3冽)+(—〃，4几，—2n)=(m—n,4n~m,3m—2n),所

1=m-n,m=3,

以,5=4H—冽，解得.〃=2,故选C.

x=3m—2n,x=5.

5.如图，在正方体45cz中，点尸是侧面的中心，若赤=0力+避+2/才1,

贝!Jx-y+z=()

A.-B.1

2

3

C.-D.2

2

答案B

解析因为彳^=彳5+方^=彳5+3（力++贝IX=

Ly=l,z=~,则x—y+2=l.故选B.

22

6.（2024•福建漳州模拟）已知空间单位向量访b,c两两垂直，则|〃+〃+c|=（）

A.3B.^6

C.3D.6

答案A

2222

解析由题意，得同=|〃=|c|=l,ab=0,〃,c=0,bc=0f\a+b+c\=（a+b+c）=a+b

+。2+2〃力+2〃,。+2〃,。=M+y+]2=3,・，♦|q+A+d=/.故选A.

7.（2023•湖南郴州模拟）已知空间/,B,C,。四点共面，且其中任意三点均不共线，设P

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为空间中任意一点，若前=5或—4降+狂匕贝!U=()

A.—2B.—1

C.0D.1

答案B

解析由筋=5成一4协+；1反得过)一河=5万一4协+/1反1,故防=5用一3或由

A,B,C,。四点共面，且其中任意三点均不共线，可得5—3+4=1,解得4=-1.

8.(2023•山东泰安模拟)已知正六棱柱/8CDEF—48clz)i£iB的底面边长为1,P是正六棱

柱内(不含表面)的一点，则N・前的取值范围是()

A.[?3B.[-?3

C,[?0D.[0,3

答案A

解析建立如图所示的空间直角坐标系，且4B=BC=CD=DE=EF=4F=1,由正六边形的

也o]p也ol

性质可得，/(0,0,0),3(1,0,0),凡2‘2'J,022'J,设P(x,y,z),其中

所以差=(1,0,O),Ap=(x,y,z),所以彳所以还•赤的取值范围是[―2,J

故选A.

二、多项选择题

9.(2024•辽宁大连质检)如图，在三棱柱/BC—N/iG中，M,N分别是31cl上的点,

且AW=2/iM,C\N=2BiN.设曲=a,就=Z>,A2I—C,若NR4c=90°,ZBAAi—ZCAAi—

60°,/2=/C=44i=l,则下列说法中正确的是()

B

14

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A.Mk=-a+-b+-c

333

B.硒=?

C.

D.cos=-

6

答案BD

解析\+4G+=^BA\~\~AC=^[AA\——AC)—+

1看1+1就=1仅+1〃+lc,故A错误；由题可知同=|臼=|c|=l,a6=0,ac=bc=~,.\\Mk\2

333332

2222,,,

=^(«+6+c)=^(a+6+c+2a6+2ac+26c)=^)|A^|=^,故B正确；•；/^i=a+c,

B^i=c~\~b—a,则7f^17j?i=(a+c>(c+b—a)=ab—a2+c2+fc-c=^)|A^i|2=(«+c)2=a2+c2

+2a，c=3,则|/j?iF=(c+6—a)2=c2+Z>2+a2+26,c—21rb—2«c=3,贝

Acos〈用i,纪i〉==——=t故C错误，D正确.故选BD.

|M||^i|3x36

10.如图所示，在平行四边形/BCD中，AB=AC=\,Z.ACD=9Q°,沿它的对角线NC将

A4CD折起，使与CA成60。角，则此时8,。两点间的距离可能为()

A.也B.^3

C.2D.3

答案AC

解析：四边形48CD为平行四边形，又//CO=90。，.•.NC4B=90。，.•.就•设)

=0,就•南=0,•.,在空间四边形4BCD中，A8与CD成60。角，，〈用,劭〉=60。或120。，

又就=用+就+B,：.\Bt)\2^\B^\2+\At\2+\cb\2+2Bl-At+2Bi-cb+2At-ct)=3+

2xlxixCos〈弦,衽＞),当〈放,近)=60。时，|动产=4,二.|成)尸2,即此时2,。两点间的

距离为2；当回I,神＞=120。时，\Bt)\2=2,：.\Bt)\=yj2,即此时瓦。两点间的距离为仍.

综上所述，B,。两点间的距离为2或旭.

11.(2023•贵州名校三模)如图，在三棱柱N3C—/山Ci中，尸为空间一点，且满足前=4岌十

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2025年高考数学复习讲义及练习解析

廨I,九〃W[0,1],贝U()

A.当九=0时，点P在棱ABi上

B.当彳=〃时，点尸在线段81。上

C.当必=1时，点尸在棱8cl上

D.当4+〃=1时，点P在线段SC上

答案ACD

解析当4=0时，磨=〃屈1,又〃G[0,1],所以点尸在棱321上，故A正确；当力=〃时，BP

=4(武+说1)=2诧1,4W[0,1],所以点P在线段3cl上，故B错误；当”=1时，Bp=XBt

+诟1,所以而方=焉有=16诂1,/£[0,1],所以点尸在棱3C1上，故C正确；当4+〃=1

时，〃=1一九所以丽=/1就+(1—4说1，即新力=4历匕2G[0,1],所以点尸在线段21c上，

故D正确.故选ACD.

三、填空题

12.(2024•广东汕头期末)若向量。=(1,1,x),6=(1,2,1),c=(l,1,1)满足条件(c—a)”

=-2,则工=.

答案2

解析c—a=(0,0,1—x),(c—a),2Z>=(0,0,1—x)'(2,4,2)=2—2x=-2,解得x

=2.

13.(2023•福建厦门一中检测)如图，已知正方体/BCD-/®。。，E是上底面4。的中心，若

就'=x(彳&+衣'+公')，贝!Jx=；若盛=G+m盛+“疝,则加+〃=.

答案11

解析因为就』静+期)+箱-静+友+及\所以x=l.因为%=1(箱，+就，)=:小+

22

3(彳2+2§+幺20=彳矛+，^+，^，所以机+“=1.

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2025年高考数学复习讲义及练习解析

14.(2024•湖北武汉模拟)已知点/(I,2,3),BQ,1,2),尸(1,1,2),0(0,0,0),点0

在直线O尸上运动，则当齿•途取得最小值时，点。的坐标为.

答案U33J

解析设。(x,y,z),因为/(I,2,3),2(2,1,2),P(l,1,2),则由点。在直线O尸上

可得，存在实数力使得双=4源，所以双=义演=(九九2A),则0(九九2A),所以工=(1

-A,2—2,3—24),Qh=(2—2,1—A,2—22),所以-2)(2-4)+(2—2)(1-4)+(3

—2A)(2—2A)=2(3A2—8A+5),根据二次函数的性质可得，当力=：时，0力,。&取得最小值一

此时点。的坐标为GF?43f)l.

B级4素养提升练

15.(多选)(2023•黑龙江哈尔滨期中)如图，在