2024-2025学年北京市某中学高三年级上册开学调研数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市清华大学附属中学高三上学期开学调研

数学试卷

一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合A-{-1,0,1},集合B={xGZ|x2-2x<0},那么4UB等于()

A.{-1}B.{0,1}C.[0,1,2}D.[-1,0,1,2}

2.设复数z满足(2—i)z=2+i,则z在复平面内所对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.设a,瓦ceR,且b>c,下列不等式恒成立的是()

A,a+b2>a+c2B.a2+b>a2+cC.ab2>ac2D.a2b>a2c

4.下列函数中，在区间(0,+8)上单调递增的是()

A./(x)=-In%B./(x)=—C./(x)=--D.f(x)=3|x-11

5.若圆％2+8%+y2-6y+6=o与久轴，y轴均有公共点，则实数m的取值范围是()

A.(-00,9]B.(-00,16]C.[9,25)D.[16,25)

6.已知抛物线第2=4y的焦点为F,点/在抛物线上，四|=6,则线段”的中点的纵坐标为()

57

A.-B.-C.3D.4

7.在△ABC中，(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB),贝此。=()

A.?B.?C.胡D.警

o336

8.已知a,06R.则“a=0+kn,kGZ"是"sin2a=sin2£”的()

A.充分而不必要条件B,必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的4算力需求呈指数级增长.现有

一台计算机每秒能进行)X1015次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行2128次运算，那么处理

这段自然语言的翻译所需时间约为(参考数据：lg2«0,301,100-431«2.698)()

A.2.698x1022秒B2.698x1()23秒c2.698X1()24秒D2.698X1()25秒

10.一组学生站成一排,若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这

组学生人数的最大值是()

A.5B.6C.7D.8

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二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.已知双曲线C的焦点为(一2,0)和(2,0),离心率为的，则C的方程为.

12.已知平面内四个不同的点48,&。满足.|祠=|丽|=|可，若而=*卷+而)，贝山福硝

13.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍薨［c/nhn加0”的五面体

(如下图)，四边形力BCD为矩形，棱EF〃4B.若此几何体中，AB=6,EF=2,-4DE和人BCF者B是边长为4

的等边三角形，则此几何体的体积为.

①当a=0时，/0)的值域为；

②若关于久的方程/(-X)=/(久)恰有5个不同的实根，贝加的取值范围是.

2n

15.已知数列｛an｝满足的=a,an+i=J泊+(=1,2,3,…)，贝ij

①当a=—1时，存在keN*,使得以=2：

②当a=1时，｛&J为递增数列，且an<2恒成立;

③存在a6R,使得｛斯｝中既有最大值，又有最小值；

④对任意的aeR,存在的6N*,当n>rio时，|an—2|〈/恒成立.

其中，所有正确结论的序号为.

三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题12分)

已知函数/(%)=Asin(2a%+^)-2sin2(tox-^),其中4eR,a)>0.请从条件①、条件②、条件③这三个

条件中选择两个作为已知，使函数/(%)存在且唯一确定，并解答下列问题.

条件①：f(0)=|；

条件②：/(X)最大值为避-1；

条件③：/⑺在区间［砌上单调，且b-a最大值为全

(1)求函数的对称中心；

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(2)若方程f(x)=寺在区间(0,m)内有且仅有1个实根，求小的取值范围.

17.(本小题12分)

在四棱锥P-4BCD中，E,F分别为4&PB的中点，PA1平面ABCD,BC1PC.

H

⑴若DE〃平面PBC,求证：AD=DC；

Q)若AC=BC=2,直线BC与平面2FC所成的角为45。，求P2的长.

18.(本小题12分)

某学校为提升学生的科学素养，所有学生在学年中完成规定的科普学习任务，并通过科普测试获得相应科

普过程性积分.现从该校随机抽取60名学生，获得其科普测试成绩(百分制，且均为整数)及相应过程性积分

数据，整理如下表：

科普测试成绩X科普过程性积分人数

90<x<100320

75<%<90210

60<%<75115

0<%<60015

用频率估计概率.

(1)从该校全体学生中随机抽取一名学生，估计这名学生科普过程性积分不低于2分的概率；

(2)从该校全体学生中随机抽取三名学生，估计这三名学生的科普过程性积分之和恰好为6分的概率；

(3)从该校科普过程性积分不低于1分的学生中随机抽取两名学生，记这两名学生科普过程性积分之差的绝

对值不超过1的概率估计值记为P1，这两名学生科普过程性积分之差的绝对值不低于1的概率估计值记为

P2，试判断P1和P2的大小(结论不要求证明).

19.(本小题12分)

已知椭圆嗒+:=l(a>b>0)的离心率为号左、右顶点分别为.上、下顶点分别为当且，且△

4止止2面积为2.

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(1)求椭圆C的方程；

(2)点P是椭圆C上一点(不与顶点重合)，直线BiP与x轴交于点M,直线4止、BiP分别与直线42*82交于点

N、D,求证：-41。%与，&。用的面积相等.

20.(本小题12分)

设函数/(x)=。一砌戏，I为曲线C:y=f(x)在x=-1处的切线.

(1)求[的方程；

(2)求fQ)的极值;

(3)若曲线C除了切点之外都在直线的勺上方，求实数a的取值范围.

21.(本小题12分)

/alla12，，，aln\

设€N*,且WI都是奇数，根行九列的数表a=热。22…a2n满足.对任意的ie{l,2，…,m],j£

^mnl

{1,2,…,71},都有%,e{—1,1}.记S=Gtji+a；2+ain>Tj=alj+a2j_I+amj>若Si>0,则称第t行为“正

行"，若，<0,则称第/列为“负列”，记4中正行与负列的数目之和为G(4).

(1)设力1=1&—1&-14=1&1&-1&-1&1,直接写出GG4I),GQ42)的值：

\1&1&-1)

(2)求证：GQ4)N1；

(3)求GQ4)的最大值.

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参考答案

l.D

2.2

3.5

4.C

5.4

6.C

7.5

8.4

9.B

10.B

14.(0,+oo)

[-1.1)

15.②③④

16.(1)依题意，/(x)=Acos2a)x+cos(2o)x—^)—1=(A+^)cos2cox+^-sin2a)x—1,

若选②，/(%)max=+1)2+,-1=避一1，解得4=1或a=-2,

当A=1时，/(%)=V^sin(2cox+^)—1,当2=-2时，/(%)=V^sin(2cox—^)—1,

因此选②，可以求得两个不同函数，不符合题意，即条件②不可选；

于是选条件①③，由①知，/(0)=解得2=1,/(%)=7^sin(2d)x+?)-1,

由③知，函数/(%)的最小正周期为广，即学=兀，解得3=1,/(%)=4sin(2x+治)-1,函数/(%)唯一确

定，

由2%+耳=kj3kGZf得％=———,/cGZ,

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所以函数/(%)的对称中心为V+笫—l)(keZ).

(2)由⑴知，/(%)=V3sin(2x+^)-1,由/(%)=1,得sin(2%+$=易

当久G(0,租)时，2x+^e(^2m+$,依题意，sin(2x+刍=岑在(0冲)内有且仅有1个实根，

则得＜2??1+台］解得3＜血〈加，

TT

所以小的取值范围是不＜m＜n.

17.(1)因为P41平面ABCD,又BCu面4BCD,所以P41BC,

又BC1PC,PACPC=P,PA,PCu面PAC,

所以BC1面PAC,又力Cu面PAC,

所以BC1AC,

又DE〃平面PBC,DEu面力BCD,面ABCDCl面PBC=BC,所以DE〃BC,

故DE1AC,又E是4C的中点，

所以4D=DC.

(2)过8作BH1面AFC于H,连接HC,

TT

则NBC”为直线BC与平面力FC所成的角，所以NBCH=1，

又|4C|=\BC\=2,所以|HC|=\HB\=y/2,

设|P4|=a,由(1)知BC，"，所以|4B|=-4+4=2*,

又PA1平面4BCD,ABu面4BCD,所以P41AB,又F为PB中点，

所以的=杷用="2+8,又BC1PC,所以|CF|=匏8|=|＞2+8,

得到FE，4C,又4C=2,所以|EF|==*+1,得至口..。=，x2x*+1=

又SA/CB=3x2x2=2,^VF-ABC~^B-AFCY

得至灯卜2="*2+1x避,整理得到a2=4,

所以a=2.

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18.(1)由图表可知从样本空间中随机抽取一名学生，

科普过程性积分不低于2分的人数的频率为［"

oUZ

所以估计全校学生中随机抽取一人，该生科普过程性积分不低于2分的概率为今

(2)随机抽取三人，得分为6分的可能有：

情况L1人0分,2人3分;

情况2：1人1分，1人2分,1人3分；

情况3：3人都是2分，

结合图表知得。分，1分，2分，3分的概率分别为

151,151,,101201

604，P60夕“606P603，

所以随机抽取3人得6分的概率为

CXX2CXXC3

P=3Z©+3|2X|X1+(1)=^,

⑶根据题意从样本中科普过程性积分不低于1分的学生中抽取1人，得1分、2分、3分的频率依次为民小

所以从全校科普过程性积分不低于1分的学生中随机抽取1名学生其积分，为1分、2分、3分的概率估计依

、〃在124

"'为手函，

则任意取2名同学，其积分之差的绝对值不超过1的可能有：口分，1分｝;｛1分，2分｝;｛2分，2分｝;｛2

分，3分｝;｛3分，3分｝五种可能，

f112,22,c24,4457

H1rPlPI=3X-+2X-X-+-X-+2X-X-+-X-=—,

任意取2名同学，其积分之差的绝对值不低于1的可能有：｛1分，2分｝;口分，3分｝;｛2分，3分｝三种可

能，

0121nl4…2452

即RnP2=2x-x-+2x-x-+2x-x-=—,

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显然P2<P1-

ra2=b2+c2

19.⑴由题意可得上=牛，注意到a>b>0,c>0,解得a=2,6=l,c=避，故椭圆方程为［+

Ra2=24

y2=1；

由题意&(—2,0)4(2,0),81(0,1),&(o,—l),

因为点P不与椭圆顶点重合，所以直线8止斜率存在且不为0,且不等于土看

所以设为By=kx+1,(々中0,k±1),

y=kx+1

联立,空+y2=1=(1+4fc2)%2+8kx=0,显然4=64k2>0,

.47

由韦达定理可知孙+0=孙=1；*,从而孙=kxP+1=~^2+1=:造2,

_8kl-4/c2\

1+4H'1+4k2)

在y=kx+1中令y=0,得％=所以M(-?0),

4

1X

y-X--r41+¥

=，%—L-1所以D

易知力%:、联立-+n4

yfcxy\d

」

1；4庐_1-4/f2_(1-21)(1+2/c)_1+2/c

注意到直线公尸的斜率为心止

-8k2=2(1—4々+4H)=-2(1-202-=2(1一2幻'

1+4M

12k

所以&P:y=2(1-2小(%+2)，

11，_1

y=-x—1X~~~k

联立；_21+2k所以N(-

(X+2)今y=---1

y―2(l-2/c)Z2k

记点力i到DN的距离、点%到DM的距离依次为-DNCBZ-DM，

则S"N=同i・mT.夫.=I法t部

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1+2/c

同理S.BZDM=露2-DM-\DM\=Y而%•后次|H^+||=

k(l-2/c)

综上所述，“1DN与"2。时的面积相等，命题得证.

20.(1)易知f'(x)=(x-a+l)ex,所以r(―1)=-p

所以/的方程为：y=一?0+1)-^4^=_%_i

即为ax+ey+1+2a=0.

(2)由上知f'(x)=0有x=a-1,

当工变化时，/(均与/O)的变化情况如下表：

X(―8,a—lCL—1(a-1,+

f'M—0+

f(x)单调递减-ea-1单调递增

所以当x=a-1时，函数/(x)有极小值，极小值为—e"i,无极大值；

(3)若曲线C除了切点之外都在直线/的上方，

即"%)一(一?%-归*)=(%-。)^+%+^^>0,当且仅当％=-1时取得等号,

令g(%)=(%—a)ex+%+工警。,则g'(%)=(%—a+l)ex+p

令/i(x)=(x—a+l)ex,则/i'(x)=(x—a+2)ex,

令八'(久)=0有x=a—2,

当x变化时，〃(x)与％(久)的变化情况如下表：

X(—8,a—2CL—2(a-2,+

h'(x}—0+

/l(x)单调递减-ea~2单调递增

所以当X=6[-2时，函数八(久)有极小值，极小值为-e-2,也是最小值,

显然当x<a-2时，h(x)<0,且X-—8时，h(x)无限趋向于零，

又h(a-l)=0,作出其大致图象如下：

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y=(x-a+l)ey

牛2

__\px

若aWO,则g'Q)可由h(x)向下平移—?个单位得到，又g'(—1)=0,

此时在(一8,-1)上gQ)单调递减，(-1,+8)上g(x)单调递增，

所以g(x)Ng(—l)=O,符合题意；

V

j/=(x-a+l)ey

y=(x-a+l)e^-^|

若a>0,则g'Q)可由八0)向上平移照个单位得到，

此时令m(%)=ex-x—l^mf(x)=ex—l,

不难得出力>0时,m'(x)>0,即tn。)此时单调递增，

%<0时，m'(x)<0,即租(%)此时单调递减，

即m(%)>m(0)=0,所以e%>x+1恒成立,

则e°T>a^-->£今g'(x)min=。'(4—2)=+^<0,

cccc

由于且%T-8时，/l(%)无限趋向于零，所以当八(%)向上平移时，在(-8,a-2)之间必有一个零点，

而%>。一1时，/i(x)>0,所以(。一2以一1)之间也必有一个零点，

不妨设两个零点依次为打,第2(%1<%2)，故在(一8,巧),(无2,+8)上6(%)>0,即g(%)单调递增，在(%1,%2)上

g'(x)<0,即g(%)单调递减,

%-—8时，(%-口)/<0,5+匕包=?(%+2)+：<0,即此时有g(%)<0,不符题意；

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综上aWO,所以实数a的取值范围为(-8,0].

/-1&—1&1\

21.(1)数表41=1&一1&一1,由题意可得Si=-1,S2=—1,S3=1,

\1&1&-1)

故只有第3行是“正行”；

T1=1,T2=-1,T3=-1,故第2,3列是“负列”，第1列不是“负列”.

故G(&)=l+2=3；

数表42=1&1&-1&-1&1,由题意可得S1=—1,S2=l,s3=-1,

故只有第2行是“正行”；

Ti=1,T2=1,T3=-1,T4=—3,北=1，故第3,4列是“负列”，第1,2,5列不是“负列

故GG42)=l+2=3.

综上所述，GQ4I)=3,GQ42)=3.

(2)用反证法证明GQ4)NL

由数目之和GQ4)6N,假设G(4)=0,

即数表4没有“正行”，也没有“负列”.

即任意lWiWm,SiW0,则数表中所有数和£之1StWO；

且任意lW/Wzi,TRO,则数表中所有数的和£：=i4NO；

故数表中所有数的和为0,

由题意任意的i6[1,2,E,a(jG(-1,1},

即数表中1的个数与-1的个数相同.

所以数表中必有偶数个数，

但由于小,n均为奇数，数表中共有nm个数，nrn为奇数，

这与数表中必有偶数个数矛盾.

故假设错误，GQ4)=0不成立.

故G(4)>1成立.

(3)当n=l时，数表为ni行1列数，

若G(4)=m+l,则各行都为1,则这1列数这和m>0,不可能为“负列”；

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自

由数表A=:,GQ4)=m.

W

故当几=1时，G(2)最大为m；

同理可知当巾=1时，G(2)最大为n.

当m>3,n23时，G(4)<m+n—2.

下面用反证法证明.

假设GQ4)+1,则满足条件的数表分三类：

GQ4)=m+n,即小行都是“正行”且n列都是“负列”；

或G(A)=m+n-l,其中6行都是“正行”，n—1列是“负列”；

或GQ4)=m+n-l,其中m-l行是“正行”，n列都是“负列”.

①若G(4)=m+n,6行都是“正行”且几列都是“负列”：

即任意lWiWm,$>0,则数表中所有数和£21£>0；

且任意lW/Wn,Tj<0,则数表中所有数的和蜀=iT/<0；

故产生矛盾，此类情况不可能；

②若G(4)=m+n-l,m行都是“正行”且n-1列是“负列”：

由加行都是“正行”，由题意可知，每行各数之和都为正数，

由题意任意的iGG[1,2,ayG{-1,1},

则每行n个数中1的个数必大于-1的个数，即至少有审个1,

故数表中所有数中至少有她产个1;

由九-1列是“负列”，由题意可知这n-1列中每列各数之和都为负数，

则每列小个数中-1的个数必大于1的个数，即至少有画3个-1,

故数表中所有数中至少有。一1芋+D个-