人教版九年级数学上册专项复习：定点定长构造辅助圆（解析版）

专题24定点定长构造辅助圆

1.如图，已知AB=AC=AE）,NCBD=2NBDC,NE4c=44。，则NC4D的度数为（）

【解答】解：如图，AB—AC=AD,

:.点、B、C、£＞在以点A为圆心，

以至的长为半径的圆上；

Z.CBD=2ZBDC,

NCAD=2NCBD,ZBAC=2.ZBDC,

:.ZCAD^2ZBAC,而ZE4C=44。，

.•.NC4D=88°,

故选：B.

2.如图，在四边形ABCD中，AB=AC^AD,N54c=50。则ZBDC的大小是（）

【解答】解：由AB=AC=AD,ZBAC=50°,则可添加辅助圆,

有ZBDC=-ABAC=25°,

2

故选：D.

3.如图，在矩形ABC。中，已知AB=3,3c=4,点P是3c边上一动点（点尸不与B,C重合）,

连接互，作点3关于直线"的对称点V,则线段MC的最小值为（）

A.2B.-C.3D.所

2

【解答】解：连接4度,

•点3和M关于AP对称，

：.AB=AM=3,

在以A圆心，3为半径的圆上，

.,.当A,M,C三点共线时，CM最短,

AC=\l32+42=5,AM=AB=3,

:.CM=5-3=2,

故选：A.

4.如图，正方形ABCD中，E1为AB中点，FEYAB,AF=2AE,FC交BD于O,则NDOC的

度数为（）

D

A.60°B.67.5°C.75°D.54°

【解答】解：如图，连接上、BF.

FE±AB,AE=EB，

:.FA=FB,

AF=2AE,

,.AF=AB=FB,

「.AAFB是等边三角形，

AF=AD=AB,

.•.点A是ADB尸的外接圆的圆心，

/.ZFDB=-ZFAB=30°,

2

，四边形是正方形，

:.AD=BC,ZDAB=ZABC=90°,ZADB=ZDBC=45°,

..ZFAD=NFBC,

..AFAD=AFBC，

ZADF=ZFCB=15°f

/.ZDOC=Z.OBC+ZOCB=60°.

解法二：连接BE.易知NFCB=15。，ZDOC=ZOBC+ZFCB=45°+15°=60°

故选：A.

5.如图，已知等边AAFC的边长为8,以AB为直径的圆交于点P.以C为圆心，CF长为半

径作图，D是:C上一动点，E为比＞的中点，当AE最大时，8D的长为（）

A.4如B.4A/5C.4石+2D.12

【解答】解：点。在C上运动时，点E在以尸为圆心的圆上运动，要使AE最大，则AE过尸,

AABC是等边二角形，AB是直径，

EF±BC,

是3c的中点,

E为3。的中点，

二砂为ABCD的中位线，

:.CD//EF,

:.CD±BC,

BC=8,CD=4,

故BD=』BC?+CD?=J64+16=4百,

故选：B.

填空题(共6小题)

6.如图，点A,3的坐标分别为A(4,0),8(0,4),C为坐标平面内一点，3C=2,点”为线段AC

的中点，连接OM,OM的最大值为1+20.

【解答】解：C为坐标平面内一点，BC=2,

.•.点C的运动轨迹是在半径为2的3上，

如图，取OD=Q4=4,连接OD,

,点M为线段AC的中点，

:.OM是AACD的中位线，

:.OM=-CD,

2

二。加最大值时，CD取最大值，此时£＞、B、C三点共线，

此时在RtAOBD中，BD=A/42+42=4五,

:.CD=2+4y/2,

二。州的最大值是1+20.

故答案为：1+2直.

7.如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD,S.ZCAD=3ZBAC,若NDBC=42。，则NC4D=

84°ZBDC=.

:.点B,C,。在以A为圆心的圆上,

ZDBC=42°,

ZCAD=2ZDBC=84°,

ZCAD=3ZBAC,

，NBAC」NC4r>=28。,

3

ZBDC=-ZBAC,

2

:.ZBDC=-x28°=14°.

2

故答案为：84。，14°.

8.如图所示，AB=AC=AE),ND3c=18。，则NC4D=_36。

【解答】解：AB^AC=AD,

:.B,C、。三点在以点A为圆心，以AB为半径的圆上.

ZDBC=18°,

ZCAD=2ZDBC=36°.

故答案为：36°.

9.如图，四边形ABCD中，AE,"分别是BC,CD的中垂线，ZEAF=80°,NCBD=30。

则/ABC=40°,ZADC=

A

BD

E

【解答】解：连接AC,

AE.AF分别是3C、CD的中垂线，

AB=AC=AD，

，B、C、。在以A为圆心，AB为半径的圆上，

ZCBD=30°,

ZDAC=2ZDBC=60°,

AFVCD,CF=DF,

.\ZDAF=30°,

:.ZADC=6O°f

又-ZE4C=80°-30°=50°,

ZABC=ZACE=90°-50°=40°.

故答案为：40。，60°.

10.如图，AB=AC=AD,如果NZMC是NC4B的左倍，那么ND3C是4DC的—左一倍.

,•.点5、C、。在以A为圆心的圆上,

.\ZBDC=-ZCAB,NDBC=L/DAC,

22

ZDAC=k/CAB,

kk

ZDBC=-NCAB=一%2Z.BDC=kZBDC,

22

故答案为：k

11.如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=8,P是直线A5上的一个动点，AE=2,AAPE沿PE

翻折形成AFPE,连接PF、EF,则FC的最小值是_2屈-2_,点尸到线段BC的最短距离

是

【解答】解：连接CE,作EG_L3C于G,

.•.点尸在以E为圆心，AE为半径的圆上运动，

在RtACDE中，由勾股定理得，

CE=yjDE2+CD2=A/62+42=2A/13,

.•.尸C的最小值为CE-2=2岳-2,

ZDAB=ZABC=ZBGE=90。,

四边形ABGE是矩形，

.•.EG=AB=4,

.•.点F到线段BC的最短距离是2,

故答案为：2,2.

三.解答题(共9小题)

12.如图，在AABC中，AB=AC,过点3作跳＞_L3C,BD=BC,连接AD交3。于点尸.E是

CD的中点，连接？交3C于G.

(1)若AB=BD,求NADC的度数；

(2)若BC=4BF,且AB=4,求四边形AB0C的面积.

AB=AC,BD=BC,AB=BD,

,\AB=BC=AC9

.•.AABC是等边三角形，

/.ZABC=60°,

BA=BC=BD,

「.A、C>Z>三点在上，

/.ZADC=-ZABC=30°.

2

(2)如图2中，连接班;.

ZDBC=90°,DE=EC,

:.BE=EC=DE,AB=AC,

」.AE垂直平分BC,

:.BG=CG,设5G=CG=a,贝IJ3C=3D=2Q,

BF=-BC,

4

:.BF=FG,

BD//AG,

:.ABFD^AGFA,

BFBD1

--==1,

FGAG

BD=AG=2a,

在RtAABG中，AB2=AG2-^-BG2,

，16=〃2+4/,

216

a——,

5

64

T

13.如图，AB=AC=AD,ZCBD=2ZBDC,ABAC=40°,求NCW的度数.

【解答】解：AB=AC=AD,

:.B,C,。在以A为圆心，AB为半径的圆上,

Z.CAD=2Z.CBD,ABAC=2ZBDC,

NCBD=2ZBDC,ZBAC=40°,

:.ZCAD=-2ZBAC=S0°.

14.圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形.

(1)已知：如图1,OA=OB=OC,请利用圆规画出过A、B.C三点的圆.若Z4OB=70。，则

ZACB=_35。_.

如图，RtAABC中，ZABC=90°,ZBCA30°,AB^2.

(2)已知，如图2.点P为AC边的中点，将AC沿54方向平移2个单位长度，点A、P、C的

对应点分别为点D、E、F,求四边形友WC的面积和N3E4的大小.

(3)如图3,将AC边沿3c方向平移。个单位至DF,是否存在这样的。，使得直线DF上有一点

Q,满足ZBQA=45。且此时四边形B4Z）式的面积最大？若存在，求出四边形B4D尸面积的最大值

及平移距离心若不存在，说明理由.

【解答】（1）以。为圆心，为半径作辅助圆，如图,

ZAOB=JO0,

.•.ZACB=35°,

故答案为35。.

(2)连接PB,PE,如图,

RtAABC中，ZABC=9Q°,ZBCA=30°,AB=2.

;.AC=4,ABAC=60°,BC=26.

P为RtAABC斜边AC中点，

:.BP=-AC=2,

2

线段AC平移到OF之后，AB=AD=PE=2,BP=AE=2,

，四边形为菱形,

Za4c=60°,

:.ZBEA=30°,

CF//BD,且ZABC=90°,

二四边形7c为直角梯形，

;.S=L(BD+CF)xBC=Lx6x26=66,

22

(3)如图所示，

当AC边沿3c方向平移2个单位至DF时，

满足ZBQA=45°且此时四边形BADF的面积最大，

此时直角梯形AB/Z)的最大面积为，

S=-X(BF+A0XAB=-X(2^+2+2)X2=4+273.

22

15.在RtAABC中，ZABC=9Q°,BELAC,EG、跖分别平分/AEB和NCEB,求证：BG=BF.

【解答】解：连接GF,取GF中点O,连接30,EO,

BE±AC,

ZAEB=ZBEC=90°,

EG、£F分别平分Z4J组和NCEB,

:.ZGEB=ZFEB=45°,

:.ZGEF=90°,

在RtAGBF和RtAGEF中，BO,EO分别是斜边的中线,

：.BO=GO=FO,EO=GO=FO,

:.BO=EO=GO=FO,

:.G,B、F、E四点在以。为圆心，80为半径的圆上,

ZBGF=ZBEF=45°,

二.△GB尸是等腰直角三角形，

:.GB=FB.

0

X

16.如图，在AABC中，AB^AC,DE垂直平分AC,且NCB£>=30。，连接团)

(1)求证：AB^AD；

(2)设交3c于点P,若43P是等腰三角形，求NABC的度数.

【解答】解：(1)证明：作ABDC的外接圆，延长DE交圆于点F,连接CF、AF,如图所示,

则有ZDBC=ZDFC=30°.

DE1垂直平分AC,

:.AF^FC,

:.ZAFE=ZCFE=30°,

:.ZAFC=60°,

」.AAFC是等边三角形,

.\AF=AC.

AB^AC,

.\AF=AC=AB,

.•.点A为所作圆的圆心，

:.AB=AD.

(2)①若B4=PB,

贝=

AB=AC,

:.ZABC-ZACB.

ZDAC=2ZDBC=60°,

:.ZAPB=ZPAC-^-ZACB=60°-^-ZACB,

ZAPB=60°ZABC.

ZABC+ZBAP+ZAPB=180°,

/.3ZABC+60°=180°,

解得：ZABC=40°

②若BA=BP,

同理可得：ZABC=20°.

此时P与。重合，

则。与石重合，

不符合题意，故舍去.

综上所述：当尸是等腰三角形时，NABC的度数为40。或20。.

辅助线是几何解题中沟通条件与结论的桥梁.在众多类型的辅助线中，辅助圆作为一条曲线型辅助

线，显得独特而隐蔽.

性质：如图①，ZACB=ZADB=90°,则点D在经过A,B,C三点的圆上.

【问题解决】

运用上述材料中的信息解决以下问题：

(1)如图②，已知==

求证：ZADB^2ZACB.

(2)如图③，点A,3位于直线/两侧.用尺规在直线/上作出点C,使得Z4CB=90。.(要求:

要有画图痕迹，不用写画法)

(3)如图④，在四边形ABCD中，NC4D=90。，C6_LO5,点尸在C4的延长线上，连接DF,

ZADF=ZABD.

求证：DF是AACD外接圆的切线.

B

'、、4B

—

BD

图①图②图③图④

【解答】解：(1)如图②，由D4=DB=OC,可知

点A,B,C在以。为圆心，D4为半径的圆上.

所以，ZADB=2ZACB.

(2)如图③，点C],C2就是所要求作的点.

(3)如图④，取CD的中点。为圆心，CD为直径作圆O,则O是AACD的外接圆;

:.ZACD^ZABD.

ZADF=ZABD,

:.ZACD^ZADF.

ZACD+ZADC=90°,

:.ZADF+ZADC=90°.

:.ZCDF^90°.

即CD±DF.

:.DF是AACD外接圆的切线.

18.在RtAABC中，N4=90。，AC=AB=4,D,E分别是边AB,AC的中点，若等腰RtAADE

绕点A逆时针旋转，得到等腰设旋转角为c(0<a,180。)，记直线22与Cg的交点

为尸.

(1)如图1,当夕=90。时，线段8R的长等于_2指线段C耳的长等于—；(直接填写结果)

(2)如图2,当£=135。时，求证：BD、=CE],且BD]_LCE；；

(3)求点P到AB所在直线的距离的最大值.(直接写出结果)

【解答】⑴解:ZA=90°,AC=AB=4,D,E分别是边AB,AC的中点,

.-.AE=AD=2,

,等腰RtAADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△ARg,设旋转角为«(0<a”180°),

.•.当c=90。时，AE]=2,ZEXAE=90°,

22

BDt=74+2=2A/5,E°=〃+2」=2百；

故答案为：26，275；

(2)证明：当a=135。时，如图2,

Rt△AR6是由RtAADE绕点A逆时针旋转135°得到,

AR=AE},NRAB=ZEtAC=135°,

在△QA8和△&AC中

AD,=AEt

<ZDtAB=ZEtAC,

AB=AC

△AAB=△E,AC(SAS),

BD,=C%且ZD,BA=ZEtCA,

记直线BDt与AC交于点F,

:.ZBFA=ZCFP,

:.NCPF=NFAB=9QP,

BD]_LCE]；

(3)解：如图3,作「G_LAB,交相所在直线于点G,

2，片在以A为圆心，AD为半径的圆上,

当82所在直线与A相切时，直线82与Cg的交点尸到直线钻的距离最大,

此时四边形ARPEi是正方形，PD、=2,则*=川=26,

故NAB尸=30°,

则尸8=2+2』，

故点尸到AB所在直线的距离的最大值为：PG=l+6

ZC=90°,AC=6,BC=8,点尸在边AC上，并且CF=2,点E为

3C边上的动点，将AFCE沿直线£F翻折，点C落在点尸处，求点尸到边相距离的最小值.

【解答】解：如图，延长FP交于

FP=CF=2,

二.点尸在以尸为圆心，CF为半径的圆上运动,

当用JLAB时，点尸到AB的距离最小,

ZA=ZA,ZAMF=ZC=90°,

:.^AMF^\ACB,

AF_FM

耘一记‘

CF=2,AC=6,BC=8,

...AF=4,AB=y/AC2+BC2=10,

4FM

—=--------J

108

:.FM=3.2,

PF=CF=2,

PM=1.2,

.•.点P到边加距离的最小值为1.2.

20.如图，AABC中，AC=BC=4,ZACB=9Q°,过点C任作一条直线CD,将线段3c沿直线CD

翻折得线段CE,直线AE交直线CD于点歹.

(1)小智同学通过思考推得当点E在AB上方时，的角度是不变的，请按小智的思路帮助小

智完成以下推理过程：

AC=BC=EC,

:.A,B、石三点在以。为圆心以AC为半径的圆上

:.ZAEB=-ZACB=°.

2

(2)若BE=2,求CF的长.

(3)线段M