例析对“投影向量”与“数量投影”的理解与应用-2024年高考数学复习（上海专用）

【原卷版】例析对“投影向量”与“数量投影”的理解与应用

《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确了“向量的投影是从高维空间到低维子空间的一种线性变换”,

将平面向量投影的结果由“数量”变为“向量”，并引入了“投影向量”的概念；沪教版2020数学必修第二册新

增了“821向量的投影“，就：投影向量（简称为投影）与数量投影进行了详解与比较；

一、对投影向量与数量投影的理解

1、投影向量的定义”8

如图：如果向量A5的起点A和终点3在直线/上的投影分别为A和8,A（

那么向量彳万叫做向量通在直线/上的投影向量（简称为：投影）；；」I

A'B'

理解：一个向量B在一个非零向量Z的方向的投影，就是向量B在向量Z的任意一条所在直线上的投影，因

为这些直线都是平行的，所以，向量B在一个非零向量3的方向的投影是唯一确定的;

特殊地，如图，若两个向量共起点。；

即：OA=a,OB=b,过点3作直线Q4的垂线，垂足为3’,

则而就是向量B在向量£上的投影向量；

2、投影向量的计算公式

以一点。为起点，；

作：OA=a,OB=b,把射线Q4、08的夹角称为向量£、向量B的夹角，记作：＜%石＞；

<a,b>e[0,7r]；

/<a,b>e\0,—

0BA

BA

—>—*](_»_.,,

<a,b>=—,又称向量垂直，记作Q_L/?；

2

O(B>A

B,

71

<a,b>E5'"

B

(1)0(5')(2)

当＜Z,B＞为锐角（如图（1））时，。5’与Zo方向相同,

|b|cos<a.b>-

2=|OB|=|b|cos<a.b>,所以OB=|b\cos<a,b>ao-----------------a；

|。|

当＜Z,B＞为直角（如图（2））时，2=0,所以砺=6；

当＜Z,B＞为钝角（如图（3））时，而与方向相反,

所以4=一|05|=-1|cosBOB=-1|cos(^--<a.b>)=\b\cos<a.b>

rri17I一7一Ib|cos<ab>-*

所以H06=|b|cos<a,b>ao=--------=；-------a；

|o|

当＜Z,B＞=o时，2=i^l,所以砺=|引£。=口£；

\a\

00

当<a,B>=»时，A,=—\b\,所以05=|B|cosJia。J"s冗a；

综上可知，对于任意的＜。，石＞£[0,"],都有OB=1B于os＜〃，B＞〃0J"c°s："，〃＞〃

|o|

3、数量投影的定义与求法

〃A

1

-为向量。的单位向量，那么

.h

向量B在向量a方向上的向量投影为：|B|cos<W,B>万J>Icos：a,」>£；

\a\

其中，实数囱cos<2,石〉(*)称为向量B在向量£方向上的数量投影；

理解：⑴当时；实数曲cos<£,B〉(*)大于0；

(2)当<a,b>=—时；实数网cos<a,B>(*)等于0；

2

(3)当<4,B时；实数的cosva,B>(*)小于0；

特别的：零向量在任何非零向量方向上的投影是零向量；而相应的数量投影的绝对值是该投影的模，因此,

这个数量投影等于0；

工典题例折

投影向量与数量投影相关题型例析

题型1、直接求投影向量与数量投影

求投影向量时，根据定义由投影向量与投影所在的向量共线，问题转化为利用该向量的数量投影与投

影所在向量方向上单位向量的积；特别注意：投影向量与数量投影的本质区别与联系；

例1、已知|a|=6,"为单位向量，当向量工的夹角<a,5〉分别等于(1)45。；(2)90°；(3)135°

时，求向量［在向量工上的投影向量；

【说明】本题考有了向量的投影的概念与运算，重点考直了运算能力；由投影向量与投影向量所在的向量

共线，问题转化为求向量间的数量投影与投影所在向量方向上单位向量的积；

例2、在AABC中，已知|通|=5,|反。=4,|正|=3,求:

⑴ABBC^

(2)就在Z百方向上的投影向量;

(3)不目在前方向上的数量投影;

【说明】掌握投影向量与数量投影的概念与计算公式，是正确解答本题的基础；

题型2、已知投影向量与数量投影求与向量相关

已知投影向量求解向量的模、数量积等；

例3、已知向量a=(2,0),I=sina,,若向量B在向量£上的投影向量c=[g,o],则|a+1|=()

A.百B.77C.3D.7

【说明】本题考查向量投影的应用，考查分析理解的能力；

一一5-

例4、已知|a|=5,g|=4,与B同向的单位向量为e，若£在石上的投影向量为-§e，则之与B的夹角6=

()

A.60°B.120°C.135°D.150°

【说明】本题考直向量的投影，此类问题熟记公式是关键；

题型3、已知投影向量与数量投影求参数

根据已知投影向量与数量投影及其相关表示与计算方法，构建等式或不等式求相关待定的参数；

例5、已知向量Z=(—4,3),点B(2,-1),记彳万为通在向量£上的投影向量，若45'=京，

则2=.

例6、对任意平面向量荏=(x,y),将荏绕其起点A沿逆时针方向旋转。角后得到

向量AQ=(xcos"-ysin(p,xsincp+ycos。)，叫做把点3绕点A沿逆时针方向旋转夕角得到点Q,

已知平面内两点A(l,2),3(l+四，2—20)；

(1)若将点3绕点A沿逆时针方向旋转乙后得到点尸，求点P的坐标；

4

(2)已知向量〃二(0,2),向量方是向量AQ在向量〃方向上的投影向量，若对于任意的0,-,不

等式|B|2+cos2。一加＞0恒成立，求实数加的取值范围.

题型4、投影向量与数量投影与其他知识的交汇

注意向量的表示多样性，构建与转化与其他知识的交汇与综合;

___.AZ?1

例7、已知非零向量薪与前满足・3C=0,且鸟=则向量而在向量而

\AB\|AC|2

上的投影向量为（）

3-.3―►

A.-CBB.-CBC.——CBD.

222

【说明】本题整合了投影向量的概念与计算和平面几何性质的交汇；

例8、如图，设Ox,是平面内相交成。角的两条数轴，/分别是与x轴、＞轴同方向的单位向量.若

向量而=E+,则把有序数对（苍y）叫做而在斜坐标系中的坐标；

（1）若。=5，2=（1,1）3=（3,1）,求：B在G上的投影向量斜坐标.

(2)若Z=(l,l),b=(3,1),c=(2,-l),\c\<y/2,求cos?<a,I>的最小值.

【说明】关键点睛：利用平面向量数量积的运算性质，结合分式型函数的单调性是解题的关犍;

综上，现行高中数学新教材强化平面向量投影的学习，体现了数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的

一致性、方法的普适性、思维的系统性，有利于学生构建衔接自然、浑然一体的的高中数学知识体系；

脸|巩固练习

1、己知|引=8,75=24,则向量7在向量B上的投影向