电路基础教案（一）

教案首页课程名称电路基础专业班级层次高职授课教师职称课型（大、小）小学时2授课题目（章、节）第一章授课方式理论课（理论课；讨论课；实验课；实习/实训课；其他）教材及主要参考书电路基础教学目的与要求：深刻理解、牢固拿握电路的基本概念、基本定律和常用定理。寧握直流电路中回路和支路概念，掌握KCL和KVL的基本应用，对支路电流法冇深层次的应用。教学过程设计（内容、吋间安排、教学方法等）：直流电路的概述部分安排大约30分钟；支路电流部分安排1小时。采用多媒体教学，老师授课。教学重点、难点：重点：KCL、KVL,支路电流等解析方法。难点：采用这些定理进行电路的分析。教研室审阅意见：教研室主任签名：年月曰第—1_次（单元）课授课吋间：2006.2.27第2章电阻电路分析2.1图与电路方程一、图如前(1.3节)所述，当仅研究电路中各元件的相互连接关系时，一个二端元件可用一条线段來表示，称为支路；各支路的连接点画为黑点，称为节点(或结点)，这样，就能画出与原电路图相对应的线形图或拓扑图，简称为图。有时为了方便，也可把某些元件的串联组合(如数个电阻串联或电压源与电阻串联等)或并联组合(如数个电阻并联或电流源与电阻并联等)当作一条支路來看待。这里用图论图论是研究点和线连接关系的一门学问，是数学的一个分支。的一些知识來研究元件相互连接的规律性。图是节点和支路(图论中分别常称为顶点和边)的集合。每条支路的两端都必须连接到相应的节点上。移去一条支路并不把它相应的节点移去;而移去一个节点，则应当把与该节点相连的全部支路都同时移去。所以，图中不能冇不与节点相连的支路，但可以有孤立的节点，如图2.1・1(a)所示。全部节点都被支路所连通的图称为连通图，否则称为非连通图。图2.1-1(a)是非连通图，山图可知，它山相互分离的四个部分组成，称其分离度P=4；图2.1・1(b)是连通图，其分离度P=lo我们主要关心的是连通图。(°) (b)(°) (b)图2.1-1连通图与非连通图全部支路都标有方向对于不同的问题，支路方向的含义也不同。单向通行的道路、信号流图等，其中的方向表示只能按箭头方向运动，不能作反方向运动。我们这里的方向是支路电流的参考方向。的图称为有向图(如图2」・1(b)),否则称为无向图。如果有一个图G,从图G中去掉某些支路和某些节点所形成的图H,称为图G的子图。显然，子图H的所有支路和节点都包禽在图G中。因此，子图可定义为，包禽在图G内的图H称为图G的子图。例如,图2.1-2(b)和(c)都是图(a)中图G的子图。能够画在一个平面上，并FL除端点外所冇支路都没冇交叉的图称为平面图，否则称为非平面图。图2.1-3(a),无论把支路伸缩或是把支路拉伸到外侧，耍想把该图画在平面上，而各支路都不交叉是不可能的，因而它是非平面图。(a)图G (b)(a)图G (b)图G的子图(c)图G的子詔图2.1-2图与子图如图2.1-3(c),则各支路都不交叉,对于图2」・3(b),只要将支路2和如图2.1-3(c),则各支路都不交叉,而图（b）是平面图。二、回路、割集、树1.回路与某一节点相连的支路数称为该节点的次数或度数。如图2.1・4中，节点a的次数为3,节点b的次数为4。在图屮，从某一节点（可称为始点）出发，连续经过一些支路和节点，且各节点只经过一次（显然，其所经支路也只经过一次），最后到达另一节点（终点）的支路序列称为路径。（a）非平面图 （b）平面图 （c）图（〃）的拉伸图2.1-3平面图与非平面图图2・1-4图G图2.1・4中支路序列｛1｝, ｛2, 3｝, ｛4, 8, 7｝, ｛4, 5, 6, 7｝等都是节点a至c的路径。显然，路径屮始节点和终节点的次数为1,其余节点的次数为2o一个闭合路径，即始节点和终节点为同一节点的路径，称为回路。这样，始节点以及终节点的次数也为2。因此，回路町定义为：全部节点的次数均为2的连通子图称为回路。图2.1・4屮，支路集｛1, 3, 2｝、｛1, 3, 5, 4｝、｛2, 5, 4｝、｛2, 3, 7, 8, 4｝等都是图G的回路。在平而图中，构成冋路的各支路用成一个区域。在区域内部不包含支路和节点的冋路常称为网孔。图2」・4屮，｛1, 3, 2｝、 （2, 5, 4｝、 ｛5, 6, 8）＞ ｛3, 7, 6）都是网孔。支路集｛1,7,8,4｝称为外网孔，因为如果将平面图G画在球I何上，则从另一侧看去，支路集｛1,7,8,4｝也将围成一个区域，•口.该区域中没有其它支路和节点。2.割集在连通图G中，这样的支路集S称为割集，若从图G屮移去（或割断）属于S的所冇支路，则图G恰好被分成两个互相分离的部分，但只要少移去其中的一条支路，则图仍然是连通的。割集可定义为：把连通图分割为两个连通子图所需移去的最少支路集。图2」・

5屮，支路集｛1, 2, 4｝、 [2, 3, 6, 5｝、 ｛4, 5, 6, 3, 1｝、｛4, 5, 6,7)等都是割集，如图中的虚线所示。3・树树是图论中一个非常重要的概念。包禽连通图G中的所有节点，但不包禽冋路的连通子图，称为图G的树。图2-1-5割集图2.1-6中画出了图G(图(a)所示)的几种树(如图(b))。可见，同一个图有许多种树。图G中，组成树的支路称为树支，不属于树的支路称为连支。例如图2.1-6中，若选树支为｛4, 5, 6, 7),则支路｛1, 2, 3, 8｝为连支。一个冇n个节点，b条支路的连通图G,其任何一个树的树支数T=n-1 (2」・1)对应于任一棵树的连支数L=b-T=b-n+l (2.1・2)这是因为，若把图G的n个节点连接成一棵树时，第一条支路连接2个节点，此后每增加1条新支路就连接上1个新节点，直到把n个节点连接成树，所以树支数比节点数少lo(a)图G卩)图G(a)图G卩)图G的几科椅图2.1-6图G的树例如2.1・6(a)的连通图G,共有5个节点，8条支路，其树支数T=4,连支数L=40由树以及回路、割集的定义可知，在连通图G屮，由于树是连通的，因而任何割集至少包含1条树支；由于树不包禽冋路，因而任何冋路至少包禽1条连支。4.基本回路和基本割集在连通图G中，任意选定一个树，由于树连接了图G的全部节点(但不包含回路)，因而在树上增加一条连支，此连支与其它树支就构成一个回路。仅包含一条连支(其余为树支)的冋路称为单连支冋路或基本冋路。全部单连支回路组成了基本回路组。对于冇n个节点，b条支路的连通图，一个基本回路组中有口仅有L=b-n+l个基本回路。图2.1-7(a)中，支路｛2, 3, 5, 8｝是树，回路｛1,3, 2｝、 ｛2, 5, 4｝、 ｛5, 6, 8｝和｛3, 7, 8, 5｝都是基本回路。在连通图G中，任意选定一个树，由于树是连通的，因而移去一条树支，此树支与移去的其它连支就形成一个割集仅包含一条树支(其余为连支)的割集称为单树支割集或基本割集。全部单树支割集组成基本割集组。对于冇n个节点的连通图，一个基本割集组中有且仅有T=n・l个基本割集。图2.1-7(b)中，支路集｛2,3,5,8｝是树，割集｛1,2, 4｝、｛1,3,7｝、 ｛4,5,6,7｝和｛8,6,7｝都是基本割集。(a)基本回路 (b)基本割集It支一一—連支图2.1-7基本回路和基本割集在冇向图中还应规定基本冋路和基本割集的方向。我们选定，基本回路的方向与该回路中连支的方向一致；基本割集的方向与该割集中树支的方向一致，如图2」・8所示。三、KCL和KVL的独立方程设某电路的拓扑图如图2.1-9(a)所示，对其各节点和支路分别编号，支路的参考方向(即支路电流的方向，支路电压取关联参考方向)如图所示。对于节点a、b、c、d可列出KCL方程(电流流出节点取“+”号，流入取“』号)为il+i2+i4=0・i2+i3+i5=0・il・i3+・i6=0-i4-i5-i6=0在以上方程组中，每一个支路电流都!B现两次，其前面的符号一次为另一次为这是因为每一个支路都连接2个节点，支路电流必从一个节点流出，而从另一节点流入。因此，将以上其中的任意3个方程相加，就得到另一个方程。也就是说，式(2」・3)中的4个方程中，最多有3个是相互独立的。如果取图2」・9(a)屮的树为｛4, 5, 6｝,如图(b)所示，容易看出，与节点a、b、c相连的支路集｛1, 2,4｝、｛2, 3, 5｝、｛1, 3, 6｝都是基本割集。由于每个基本割集都包含一条其它基本割集所不包含的树支，因此，按KCL所列的基本割集的电流方程是互相独立的。也就是说，图2.1-9(a)的方程式(2.1・3)屮有3个方程是互相独立的。对于有n个节点的连通图，有n・l个基本割集，因而根据KCL可列出ml个独立方程。由于按KCL列写基本割集电流方程需要选树和确定基本割集，手续较繁，因而在电路分析中，通常都列写节点电流方程。图2.1-8基本回路和基本割集的［（町 ⑹图2.1-9KCL的独立方程可以证明，对于有n个节点的连通图，任选n-1个节点所列的KCL方程都是独立的。这些方程所对应的节点称为独立节点，另外一个节点选为参考节点。对于图2.1・9（a）的连通图，若选树支为｛4,5,6）,如图2.1-10中实线所示，则支路｛1,2, 3｝为连支（图屮虚线所示）。于是有基木冋路｛1, 6, 4｝、｛2, 5, 4｝、｛3,6,5｝,将它们分别编号为I、II、III,选基本回路方向与连支方向一致。按KVL,可列击回路电压方程（支路电压AJ回路方向一致取“+"号，支路电压与回路方向和反取号）为u1-u4+u6=0u2・u4+u6=0-u3-u5+u6=0由于每个基本回路都包含i条其它基本回路所不包含的连支，因此，上述基本回路方程是互相独立的，即图2」・10的基本回路方程式（2」・4）的3个方程是互和独立的。对于it个节点，b条支路的连通图，有L=b-n+l个基本冋路，根据KVL可列出L二b・n+l个相互独立的电压方程。在电路分析中，对于平而图，也常根据KVL列写网孔方程。可以证明，平而电路中网孔数为b-n+1个，按KVL所列写的网孔电压方程也是相互独立的。

图2.1-10KVL的独立方程2.2 2b法和支路法一、2b法对一个具有b条支路和n个节点的电路，当以支路电压和支路电流为变量列写方程时,共有2b个未知变量。根据KCL町列出(n・l)个独立方程；根据KVL可列出(b-n+1)个独立方程；根据元件的伏安关系，每条支路乂可列出b个支路电压和电流关系方程。于是所列出的2b个方程，足以用来求解b个支路电压和b个支路电流。这种选取未知变量列方程求解电路的方法称为2b法。下面通过一个示例来介绍它的具体步骤。设有如图2.2・1(a)的电路，其各电源和电阻均已知。我们把R1和受控源ri2的串联组合、R4与电压源的串联组合以及R6与电流源的并联组合各看作为一条支路。这样，图2.2・1(a)便有4个节点，6条支路，其拓扑图如图(b)所示。各支路电流与电压均为关联参考方向，图Q)所标示。图2.2-1(b)的独立节点数为ml=3。选节点a、b、c为独立节点，根据KCL可列得电流方程为il+i3・i4=0・i2+i3+i5=0・il—i3+i6=0这样，共得到6个独立方程(a)(a)图2.2-12b法示例ul=Rl订+ri2u2=R2i2u3=R3i3u4=R4i4-uS4u5=R5i5u6=R6(i6+iS6)=R6i+R6is6

6条支路共列出6个方程，显然，它们是独立的。这样，图2.2・1(a)的电路共有12个未知量,恰冇12个独立方程。求解方程式(2.2-1)、(2.2・2)和(2.2・3),就可求得各支路电压和电流。二、支路法如果以支路电流(或电圧)为电路变量列出方程，求解支路电流(或电压)，则称为支路电流(或电压)法。下而主要介绍支路电流法。以图2.2-1⑷为例。将式(2.2-3)的各支路电压代入式(2.2-2),消去各电压变量得Rlil+ri2-R3i3・R2i2=0R2i2+R5i5+R4i4-us4=0R3i3+R6i6+R6is6-R5i5=0整理后，可得Rlil+(r-R2)i2-R3i3=0R2i2+R4i4+R5i5=us4R3i3+R6i6-R5i5=-R6is6综上所述，支路电流法列写电路方程的步骤为：选定各支路电流的参考方向；对(ml)个独立节点，按KCL列出电流方程；选定(b-n+1)个独立回路，指定回路绕行方向，根据KVL,按式(225)的形式列出电压方程。支路电流法共冇b个方程，能直接解得b个支路电流，这比2b法方便了许多。不过支路电流法要求每一条支路的电压都能用支路电流来表示，否则就难以写成如式(2.2-5)的形式。例2.2-1如图2.2-2的电路，求各支路电流。解图2.2・2的电路中，如将电压源(受控电压源)与电阻的串联组合看作是1条支路，则该电路共有2个节点，3条支路。用支路电流法可列出1个KCL方程，2个KVL方程。选节点a为独立节点，可列出KCL方程为一订+i2+i3=0 (2.2・6a)选网孔为独立回路，如图所示。对列出KVL方程为3il+i2=9—i2+2i3=-2.5il—i2+2i3=-2.5il(2.2・6b)(2.2・6c)或写为2.5il一i2+2i3=0图2.2-2图2.2-2例2・2-l由式(2.2・6)的3个方程可解得il=2A,i2=3A,i3=-lA。例2.2-2如图2.2-3(a)的电路,求电流订、i5和电压u2、u2。解在图2.2-3(a)的电路中，我们把us耳R1的串联组合看作是1条支路，把受控源和R5分别看作是2条支路。这样，共有5条支路，3个节点。因而可列出2个KCL方程和3个KVL方程选节点a和b为独立节点，可列出KCL方程为il-i2+i3=0i