广东省茂名市2023-2024学年高二年级下册教学质量监测数学试卷（含答案解析）

广东省茂名市2023-2024学年高二下学期教学质量监测数学试

卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合/=卜昌<05={x|x>o},则4r|5=()

A.（0,1）B.(0,4)C.(-1,0)D.(-4,0)

2.复数2=白（z•为虚数单位）在复平面内对应的点位于

1-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.函数/（x）=xl中|的图象大致为（

=4x交于48两点，则|明=（）

A.75B.5C.36D.475

5.已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为264,所有偶数项的和为253,

则此数列的项数是（）

A.43B.45C.47D.49

6.已知函数〃x)=K，则不等式的解集为()

A.(-8,0)B.Ip+o°I

试卷第1页，共4页

D.(-<»,O)uf|-,+<x>

c.°4

7.函数/(x)=2sin(0x+p),(^>0,0<°<g)满足/⑼=1,且>=/(x)在区间-々,0

上有且仅有3个零点，则实数。的取值范围为()

1319

A.(5,7)D.[4,8)

B.5C.T'T

8.如图，棱长为2的正方体288-441〃中,BP=ABBt,皿=〃南，A,〃e(0』),

则下列说法不正确的是()

A.2=必时，gC]//平面2尸。

B.2时，四面体工产。口的体积为定值

C.〃=；时，32e(O,l),使得4。，平面0尸/

413

D.若三棱锥P-C&)的外接球表面积为:万，则4=:

44

二、多选题

9.已知向量入石不共线且£%=0,则下列结论一定正确的是()

A.a=6或1=。B.aLb

c.|5+S|=|a-Z；|D.a，.在£+B上的投影向量相等

10.掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为加，"，记事件/="加+〃＞9”,

B="rm为偶数”,C="〃?+〃为奇数"，则＜)

A.〃(/)=:B.p(/忸)=：C.p(/|C)=gD.B与C互斥

11.已知函数了卜卜三--^^-为工+方，其中实数a,beR,且。＞0,贝!]()

A.当。=1时，/(x)没有极值点

B.当/(x)有且仅有3个零点时，

试卷第2页，共4页

C.当6=§〃时，/(X+1)为奇函数

D.当心《〔三+瓦+②]时，过点2(0,m)作曲线/(X)的切线有且只有1条

三、填空题

12.已知圆锥的底面直径为2拒，母线长为2,则此圆锥的体积是.

71

13.已知数列仇7｝是首项为:，公比为;的等比数列，且为+&+%+…+*<100,则"

的最大值为.

22

14.已知双曲线E：斗-2=1(。>0，6>0)的左、右焦点分别为片，%过点月的直

ab

——3——

线与y轴交于点8,与E交于点A,且点片在以为直径的圆上，则£的

渐近线方程为.

四、解答题

15.如图，正三棱柱/BC-44cl中，。为BC边的中点.

B

(1)证明：48//平面/。6；

⑵若/8=2'三棱锥CTOG的体积为求二面角的余弦值.

16.已知函数/(x)=(x+a)ln尤+1,aeR.

⑴若/'(x)在点(1,1)处的切线的斜率为1,求“X)的极值;

(2)若4=1,证明:当0<x<l时，/(x)<x.

17.锐角V48C中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,且樨=2csin]/+1

⑴求角C的大小；

试卷第3页，共4页

11

⑵若缶=3c,求----------1----------的值.

tanAtanB

18.已知椭圆E：二+4=1（。>6>0）的一个顶点为离心率为".

ab2

（1）求E的方程;

⑵设直线（"eR且〃N-1）与E交于不同的两点8,C,若直线5M与E交

于另一点。，则直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

19.某同学参加趣味答题比赛，规则如下：第1次答题时，若答对则得2分，否则得1分;

从第2次答题开始，若答对则获得上一次答题得分的2倍，否则得1分，该同学每次答对的

概率都为答错的概率都为I,且每次答对与否相互独立.记第〃次答题得分为X”

⑴求。（入3=4）；

（2）求（”22）的分布列和期望；

（3）在游戏开始前，该同学有两个选择，①从第2次开始，若第〃次得分刚好为〃时，则该同

学获得胜利，游戏结束.②从第1次开始，若第”次得分刚好为2〃时，则该同学获得胜利，

游戏结束.已知共有4次答题环节，求该同学选择哪个方案获得胜利的概率更大.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案BBABCDCCBCAC

题号11

答案BCD

1.B

【分析】求出集合A,根据集合的交集运算进行求解.

【详解】由题可得/=卜|三<o}={x|-l<x<4},则4口8=(0,4),

故选：B

2.B

【详解】,对应点为(-：，3,位于第二象限，选B.

1-z22222

3.A

【分析】先判断函数奇偶性得函数为奇函数，故排除C,D,在根据0<x<l时，/(x)<0排

除B,进而得答案.

【详解】因为/(-x)=-xlnr|=-xln|x|=-/(x),

所以/'⑺是奇函数，排除C,D.

当0<x<l时，In|x|<0,/(x)<0,排除B.

故选：A.

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

4.B

【分析】证明直线过焦点，再利用焦半径公式和韦达定理即可得到答案.

【详解】将2x+y-2=0与抛物线C：/=4无联立得X2-3X+1=0,

设工(巧,力),2(/,%),

答案第1页，共14页

显然抛物线焦点坐标为(1,0),令X=l,即2+y-2=0,贝!|歹=0,则直线过焦点,

贝U@=芯+/+P=3+2=5.

故选：B.

5.C

【分析】根据等差数列的性质与其前〃项和的性质求解即可.

【详解】设该等差数列中有2〃+l,(〃之l,〃£N*)项，其中偶数项有〃项，奇数项有〃+1项,

“1+。2〃+1x(〃+1)

设等差数列｛册｝的前n项和为S“，则变=—•••+?“2

3偶02+“4+06+…+出xn

(.S4〃+1264

；｛。"｝为等差数列，，4+。2"+1=出+。20，；•]=---=忘，解得”=23,

D偶〃J

，2〃+1=47,.,.此数列的项数是47项.

故选：C.

6.D

【分析】证明函数的奇偶性，再分析出其单调性，从而得到|2工-1]>|尤-1],解出即可.

12]一(—]丫1_丫2

【详解】由/(对=上二可得-6R且〃-x)=，=：，则/(x)为偶函数，

1+X1+01+工

—(1+国+2

小)=

F41+x2ij

因为歹=/+1在(_叫0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，则〉=/+1>0恒成立,

则/(%)在(0,y)单调递减，在(f,0)单调递增，

2

v/(2x-1)</(x-1),/.|2x-11>|x-11,解得工<0或x>:.

故选：D.

7.C

【分析】代入/'(0)=1解出夕=2,再利用整体法得到-?+2e(-3兀,-2可，解出即可.

636

IT7T

【详解】/(0)=2sin^=1,0<^<—(P=—,

26

(ITAjrTT7T〃)7TTT

.-./W=2sinax+-\,因为xe--,0,®>0,贝1］。》+二€

V6J36366

答案第2页，共14页

7T

因为y=f（%）在区间-§,0上有且仅有3个零点，且歹=5由、在零点0之前的三个零点依

次为_3兀,一2兀,一兀,

Tico兀/cc「&力/口「1319、

贝！J一~^-十:£（一3兀，一2兀］,触得。£—•

36［_21）

故选：C.

8.C

【分析】利用线面平行的判定推理判断A；由线面平行确定点。到平面22P的距离是定值

判断B；由空间向量数量积的运算律计算判断C；求出外接球半径计算判断D.

【详解】对于A,当几=〃时，所=通-丽=2（网-瓯）=2瓦干］,即尸。/ABG，

而尸Qu平面。/。，46^平面。/。，因此gC"/平面。尸。，A正确；

对于B,正方体NBCD-44G〃中，当2=g时，尸面积是定值，

又BCJ/AD、,N2u平面4D1尸，平面401尸，则8G〃平面/。尸，

于是点。到平面/口尸的距离是定值，因此四面体/P0A的体积为定值，B正确；

对于C,当〃=；时，A^Q=BQ-BAi=^BCl-（BA+BBi）=-BA-^BBi+^BC,

^\AP=BP-BA=^BB-BA,则福.万=（"-：函+；丽《丽一丽

1»2--->2

=+BA=4-22^0,因此4。不垂直于4P,不存在2e（0,l）,使得4。，平面

D.PA,C错误；

对于D,显然平面/BCD,则三棱锥与以线段B48C,AP为棱的长方体有相

同的外接球，

令球半径为R,则2R=衣+22+（2㈤2=2正+2,

417r3

球的表面积5=4或2=4/+2）兀=——,解得力=—,D正确.

44

故选：C

【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，进而确

定球半径求解.

9.BC

【分析】根据向量垂直的向量表示即可判断AB；根据向量加减法的几何意义或者根据向量

答案第3页，共14页

数量积的运算律即可判断C；举出反例即可判断D.

【详解】对AB,石=O,，Z_L几A选项错误；B选项正确;

对C,由向量加法和减法的几何意义，|£+H,|2-3是矩形的两条对角线长度是相等的，选

项C正确；

或者由。％=0,则/2abb=a-lab片，

则,+弓=,一可，则标可=标可，则归+同十一可，故C正确;

对D,根据矩形性质知£,5在2+刃上在£+5上的投影向量的模不一定相等,

如图所不：OA=a,OB=b,OC=a+b>且a_Lb，

Z，3在£+1上的投影向量分别为历，砺，故D选项错误.

故选：BC.

10.AC

【分析】列出所有满足题意的情况，根据古典概型公式即可判断A；求出事件5,AB,AC

的情况，再利用条件概率公式即可判断BC；再根据互斥事件的判定方法即可判断D.

【详解】掷一枚质地均匀的骰子两次的可能结果共有36种.

对A,事件/="小+">9”的可能结果有6种，

即/=｛（4,6）,（5,5）,（5,6）,（6,4）,（6,5）,（6,6）｝,."⑷=卷=:，选项A正确；

对B,事件3="mn为偶数”的可能结果有C；•煤+C；C=27种，

事件48="加〃为偶数且加+">9”的可能结果有5种，

.•〃（4|8）=以黑=福，选项B错误；

对C,事件C="M+〃为奇数”的可能结果有=18种，

P(AC}21

事件AC=-m+n为奇数且m+n>9”的可能结果有2种.p{A\C)=选项

r(C)1oy

答案第4页，共14页

C正确；

对D,样本点为⑶4)时，说明B与C不互斥，选项D不正确.

故选：AC.

11.BCD

【分析】对A,直接代入求导即可得到其极值点；对B,求导得到/'(x)的单调性，再根据

其零点个数得到不等式组，解出即可；对C,代入方=?〃，化简/(x+1)即可；对D,设切

点，求出切线方程，代入/(0,加)，再转化得转化为直线y=二及与g(x。)的交

a3a

点个数问题.

【详解】对A,当。=1时，fM=^x3-x2-3x+b,

贝2x—3=(x—3)(%+1),当一l<x<3时，/'(x)<0,

当了<-1或X<3时，f\x)>0,

所以x=—l,x=3分别是函数/(x)的极大值点和极小值点，选项A错误;

对B,当/(%)=_〃工2_3qx+b时，/<X)=Q(X+1)(X—3),

当一1cx<3,fXx)<0,当x<—l或x>3时，f\x)>0,

即/(%)在(-13)上单调递减，在和(3,+8)上单调递增.

—。+6〉0

当〃尤)有且仅有3个零点时，/(-1)>0且/(3)<0得3

-9a+b<0

得故B正确；

又寸C,当b―u日寸，/(x)=§d-cix^—3ax+u,

11a.

/(X+1)=y(x+l)3_Q(X+1)2—3a(x+l)H----a=—x3—,

33

a3.

设〃—4QX,定义域为R,且〃=一切(_')=一—x-Aax

3

所以/'(x+1)为奇函数，选项C正确;

对D,,・,/(0)=6<'|+，<加，，/(0,加)不在曲线/(无)上.

设过点/(0,⑼的曲线/(x)切线的切点为1%,'|呼-氏-3.+6),,/(0)=b,

过点”(0,⑼的曲线/(x)切线的方程为>一［三片-办；-3ax0+b\=(ax；-2ax0-3a^(x-x0),

答案第5页，共14页

又点”(0,⑼在/(x)的切线上，有机-1三片一.q一350+方］=--2办0-30年，

即x；_gx；=^—,设g(x())=x；_|"X；,g(X)=x2_gx3,g\x)=2x-2A2=2x(1-x),

当x<0或x>l时，g'(x)<O,g(x)单调递减，

当0<x<l时，g'(x)>O,g(x)单调递增，

则g(x)极大值=g(D=|，g⑴极小值=g(0)=°，

+根据图象知且0)与了=?只有一个交点，选项D正确.

故选；BCD.

\T尸喏

1

-

3

【点睛】关键点点睛：本题D选项的关键是设出切点坐标，写出切线方程，将/(0,刈代入

切线方程得焉-,最后转化为直线y=生心与函数g(x)的交点个数问题.

3aa

2百

129.71

3

【分析】求出圆锥的高，再利用圆锥的体积公式即可求出答案.

【详解】记圆锥的底面半径为「，母线为/,高为d,

则d=J/2-/=j22-(应)2=后,:"=#7=除71,

故答案为：述「

3

13.99

【分析】根据给定条件，求出数列｛g｝的通项公式，再利用分组求和法及等比数列前〃项和

公式求和，然后借助数列单调性求解即得.

【详解】依题意，31=沁尸,则%=2+1,

-(1-—)1

数列｛«„｝的前n项和5“=~台+"="+1--,显然数列｛4｝是递增数列，

3

答案第6页，共14页

而Io。=100+1一5>100,59=99+1一:<100,

所以使得多+4+〃3+…+*<1。。成立的n的最大值为99.

故答案为：99

14J生

14.y=±-x

5

【分析】设M阊=2机，则忸阊=3机=忸周,|“周=2a+2m,利用勾股定理得到

4

a=m,则得到cos/片48=］，最后再利用余弦定理得到齐次方程即可.

【详解】依题意，设以阊=2加,则忸闾=3%二忸周,以片|=2。+2-,

因为点片在以45为直径的圆上，贝］/4巧5=90°,

在中，9次之+（2〃+2加了=25加之，贝lJ（〃+3加）（。一加）=0,

故〃=加或Q=-3加（舍去），所以M耳I=4〃，M阊=2见忸闾=忸周=3〃,

AF,4£_4

贝”451=5。，故cos/片

AD5a5

16/+4〃2_4r24

所以在△4片8中，cos/£盟=1"+的牝=3,

一2x4ax2a5

整理得5°2=9。2,则5（。2+62）=9〃2,贝心〃=4/,则5=

故E的渐近线方程为y=士亭工.

故答案为：»=±2亚x.

5

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用双曲线的定义和勾股定理得到cos/片/月=，4，最

后再利用余弦定理得到齐次方程，

15.（1）证明见解析

答案第7页，共14页

⑵孚

【分析】(1)证明。£〃4台，利用线面平行的判定即可证明；

(2)利用等体积法求出CQ=2,再建立合适的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利

用面面角的夹角公式即可.

【详解】(1)连接4C,与NG交于点£，连接DE，

分别为8cMe边的中点，.•.DE//4B；

又DEu平面4DG,4台0平面4DC、,:.AXBH平面ADQ.

(2)七棱锥c—ADG=匕棱锥G_zoc=§℃1.S/QC

_C£V3_V3

------,———,..CU,—Zf

323

正三棱柱48C-48cl中，平面4BC,

又V/3C是正三角形，。是BC边的中点，

又BCCBB\=B,且月u平面88℃，平面BBCC，

取的中点2，则。CD4,两两垂直，

故以。为原点，。4。民。口分别为x,y,z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系;

则0(0,0,0),/(△,0,0),G(0,-1,2),C(0,-1,0),

DA=(V3,0,0),DCX=(0,-1,2),CQ=(0,0,2),CA=(A1,0),

记平面O/G,平面NC。的法向量分别为％=(xqi，Z|),〃2=(々，%/2)，

答案第8页，共14页

=0|2?2—0

-y1+2Z[=0=0[V3X2+y2=0

故可取4=l,x2=1,则%=(0,2,1),%=(l,-V3,0),

n-n_

/.COS々，〃2=x2

同同V5x25

又二面角LC所成的平面角是锐角，故其余弦值为"

16.(1)极小值为」■+1,无极大值

e

(2)证明见解析

【分析】(1)由/''(1)=1求出。，再由导数求出极值即可；

(2)令g(x)=/(x)-x,得g，(x)=lnx+j再构造函数〃(x)=lnx+：,利用导数求出

〃(x)>〃(1)>0可得g卜)的单调性，结合g⑴在0<x<1上范围情况可得答案.

【详解】(1)/(x)=lnx+T(x>0),

若/(x)在点(14)处的切线的斜率为1,则/'(1)=1+。=1,解得0=0,

所以/(x)=xlnx+l,/'(x)=lnx+l(x>0),

令/■[x)=lnx+l=0,解得x=L

e

当0<x<(时，尸⑸<0,所以/(x)单调递减，

当时，f'Q)>0,所以/'(X)单调递增，

答案第9页，共14页

所以/'(力在》=,有极小值，/|-|=-ln-+l=--+l,无极大值；

eyeJeee

(2)若a=l,则/(x)=(x+l)lnx+l,

令g(x)=/(x)-x，

所以g<x)=Inx+"I-1=Inx+—,

令〃(x)=g，(x)=lnx+L贝=

XXXX

当0〈尤<1时，八’(久)<0，所以八(久)单调递减，所以〃(无)>刈1)=1>0,

即g[x)>0,所以g(x)在(0,1)上单调递增,

所以gG)<g⑴=2皿+1-1=0,

可得g(无)=/(x)-x<0,即y(x)<x.

17.(1)C=]

【分析】(1)根据正弦定理化边为角，再利用两角和的正弦公式展开化简即可得到tanC=石,

则得到角C的大小；

(2)记Q=3冽，则。=也加，再利用余弦定理得6=加或6=2加，再分类讨论即可.

【详解】(1)由正弦定理得：

GsinB=2sinC—sinA+cosA=sinCsin4+J^inCcosA,

(22J

,,,百sinB=百sin(4+C)=百sinAcosC+VJsinCcosA，

sinCsin4=6sin4cosC,又sin4w0,

兀

tanC=VJ,又C£(0,71),C=—.

(2)记”=3加，贝iJc=J7加；

由余弦定理cosC二---------，即一二-------------，

2ab26mb

:.b=m,或6=2m，

答案第10页，共14页

b2+c2-a21+7-9

6=7"时，角A对的边最大，且cos/==----j=<C,

2bc2>/72V7

则A是钝角，舍去;

24+7—9V7

6=2冽时，角A对的边最大，且cos/=----------=----=-=——>C,符合.

2bc4V714

又4£（0,兀）,.二sin4=J1—=3Atan4=3y3;

』（14）14V7

a2+c2-b29+7-4

cos5=—,又Be（0,7i）,

lac6777

.]11_2__7®

tanAtanB373@9

18.（吁+/=i；

⑵过定点，定点坐标为（-4,0）.

【分析】（1）首先得到6=1,再根据离心率和。,仇c关系即可得到方程组，解出即可；

（2）设直线8M的方程为x=wy-l,B（XQj,£＞（X2，%），C（Xi，f）,联立椭圆方程得到韦达

定理式，计算直线CD的方程，令y=0化解即可.

【详解】（1）由题意可得，b=l,

a2=c2+1

又由“c1，得。=2,C=A/J,

、a2

所以E的方程为'+「=1.

（2）显然直线的斜率不为0,

设直线W的方程为》=阳-1,3（再,必卜。（工2，%）,。（国,-必）,

x=my

由,且+2T消去X整理得（4+/）y1-2my-3=0,

彳+V一

VmeR,A=（-2m）2-4（4+m2）（-3）=16（m2+3）>0,

答案第11页，共14页

二匚［、［2m-3

所以必+%=丁^，乂,%=7TF'

4+m4+m

直线CD的方程为y=3；1y-(x-%)+%,

再-x2

根据BC的对称性可知，若直线CD恒过定点，则定点在x轴上,

令尸。，解得x=x/见3=心国

%+为M+%

_（优%-1）%+（优%T）%一2呻%

1

M+%

--3

2m--------w

------4+"_1=-4

2